3.2.2 奇偶性 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数奇偶性的判断 2 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 4 【题型3】利用函数的奇偶性求值 6 【题型4】根据函数的奇偶性求函数的解析式 8 【题型5】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 9 【题型6】利用函数的单调性与奇偶性解不等式 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数奇偶性的判断 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有-x∈D，即定义域关于原点对称，还需判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数，若f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数，若f(-x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，反之也成立. (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. (5)若f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数奇偶性的判断 （2025春•历城区期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于，，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于，，是幂函数，既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于，，是二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意； 故选：． 方法点拨 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： 【变式1】（2025•河北模拟）下列函数不是偶函数的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2025春•盐城期末）函数的奇偶性为　　 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【变式3】（2025•郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是　　 A． B． C． D． 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 （2024秋•双桥区期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．典例 （1）请补全函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间； （3）根据图象写出使的的取值集合． 【答案】（1）函数图象见解析． （2）． （3）或． 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可； （2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的的取值集合即可． 【解答】解：（1）由题意作出函数图象如图所示． （2）由图可知，单调递减区间为． （3）由图可知，使的的取值集合为或． 方法点拨 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【变式1】（2025•广东学业考试）偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2025•湖北三模）已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集　，，．　． 【变式3】（2024春•太和县期末）设奇函数的定义域为，，当，时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　 A． B． C．，， D．，， 【题型3】利用函数的奇偶性求值 （2024秋•榆阳区期末）已知为奇函数，当时，，则　　典例 A．1 B． C．7 D． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可． 【解答】因为为奇函数，所以， 所以（2）． 故选：． 方法点拨 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【变式1】（2025•十堰模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（7）　　 A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2025春•广东期中）已知定义域为的偶函数满足，则　　 A．3 B．2 C．6 D．10 【变式3】（2024秋•桦南县期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为　　 A． B． C． D． 【题型4】根据函数的奇偶性求函数的解析式 （2024秋•福贡县期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，可得的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，，， 又由函数为偶函数， 则； 故当时，． 故选：． 方法点拨 已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 【变式1】（2024秋•重庆期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•桃城区期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为　　 A． B． C． D．以上都不对 【变式3】（2023秋•丰城市期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 　　． 【题型5】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 （2025春•沧州月考）已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增．设，，，则，，的大小关系为　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先得到函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，结合即可得解． 【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以，， 又因为函数在上单调递减， 且， 所以，即． 故选：． 方法点拨 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【变式1】（2024秋•普宁市期末）设偶函数的定义域为，当，时，是增函数，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•漯河期中）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，（2），则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•沭阳县期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是　　 A． B． C． D． 【题型6】利用函数的单调性与奇偶性解不等式 （2025春•江西期末）已知奇函数的定义域为，当且，，时，恒成立，则不等式的解集为　　典例 A．，， B．，， C． D． 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可． 【解答】解：因为奇函数的定义域为，当且，，时，恒成立， 所以在，内单调递增， 由奇函数的性质，可知在，内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：． 方法点拨 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 【变式1】（2025春•揭阳期末）已知偶函数在区间，上单调递增，则满足（2）的的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【变式2】（2025•河南模拟）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•南阳期末）已知是定义域为的奇函数，（3），且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数奇偶性的判断 2 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 5 【题型3】利用函数的奇偶性求值 8 【题型4】根据函数的奇偶性求函数的解析式 10 【题型5】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 13 【题型6】利用函数的单调性与奇偶性解不等式 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数奇偶性的判断 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有-x∈D，即定义域关于原点对称，还需判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数，若f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数，若f(-x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，反之也成立. (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. (5)若f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数奇偶性的判断 （2025春•历城区期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于，，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于，，是幂函数，既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于，，是二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意； 故选：． 方法点拨 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： 【变式1】（2025•河北模拟）下列函数不是偶函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可求解． 【解答】解：为偶函数，为奇函数，为偶函数，，为偶函数． 故选：． 【变式2】（2025春•盐城期末）函数的奇偶性为　　 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】 【分析】结合函数奇偶性的定义即可求解． 【解答】解：函数定义域为， ， 所以为偶函数． 故选：． 【变式3】（2025•郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项． 【解答】解：是偶函数，错误； 是奇函数，正确； 和是非奇非偶函数，错误． 故选：． 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 （2024秋•双桥区期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．典例 （1）请补全函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间； （3）根据图象写出使的的取值集合． 【答案】（1）函数图象见解析． （2）． （3）或． 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可； （2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的的取值集合即可． 【解答】解：（1）由题意作出函数图象如图所示． （2）由图可知，单调递减区间为． （3）由图可知，使的的取值集合为或． 方法点拨 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【变式1】（2025•广东学业考试）偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可． 【解答】解：因为偶函数的图象关于轴对称． 故选：． 【变式2】（2025•湖北三模）已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集　，，．　． 【分析】由是奇函数得函数图象关于原点对称，由可得与符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果 【解答】解： ①当时，， 结合函数的图象可得，， （2）时，， 根据奇函数的图象关于原点对称可得，， 不等式的解集为，，． 故答案为：，，． 【变式3】（2024春•太和县期末）设奇函数的定义域为，，当，时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　 A． B． C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得到在，上的图象，然后根据图象解不等式即可． 【解答】解：因为函数是奇函数，所以在，上的图象关于坐标原点对称， 由在，上的图象，知它在，上的图象如图所示， 则不等式的解集为，，． 故选：． 【题型3】利用函数的奇偶性求值 （2024秋•榆阳区期末）已知为奇函数，当时，，则　　典例 A．1 B． C．7 D． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可． 【解答】因为为奇函数，所以， 所以（2）． 故选：． 方法点拨 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【变式1】（2025•十堰模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（7）　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【分析】结合已知奇偶性及周期性即可求解． 【解答】解：定义在上的偶函数满足， 则， 所以， 则（7）（1）． 故选：． 【变式2】（2025春•广东期中）已知定义域为的偶函数满足，则　　 A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】 【分析】根据偶函数的性质以及函数的对称性可解． 【解答】解：已知定义域为的偶函数， 则， 又满足， 当时，即， 则，则关于对称， 则（2）， 又（2），则（2）， 则． 故选：． 【变式3】（2024秋•桦南县期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由即可求解． 【解答】解：因为函数是定义域为的奇函数， ． 故选：． 【题型4】根据函数的奇偶性求函数的解析式 （2024秋•福贡县期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，可得的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，，， 又由函数为偶函数， 则； 故当时，． 故选：． 方法点拨 已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 【变式1】（2024秋•重庆期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，令，则，求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，令，则， 则， 又由为上的奇函数， 则． 故选：． 【变式2】（2024秋•桃城区期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为　　 A． B． C． D．以上都不对 【答案】 【分析】根据题意，当时，，求出的表达式，利用奇函数的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，， 则， 又由为偶函数，则． 故选：． 【变式3】（2023秋•丰城市期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 　　． 【分析】首先考虑时的情况，利用奇函数的定义即可获得函数值，然后考虑时的情况，任设， 则，利用已知条件：当时，和函数是定义在上的奇函数，化简即可获得时的解析式．最后写成分段函数的形式即可． 【解答】解：由题意可知： 当时，函数是定义在上的奇函数，，； 当时，任设，则，又因为：当时，， 所以：，又因为函数是定义在上的奇函数， ， ． 所以函数在上的解析式为：． 故答案为：． 【题型5】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 （2025春•沧州月考）已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增．设，，，则，，的大小关系为　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先得到函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，结合即可得解． 【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以，， 又因为函数在上单调递减， 且， 所以，即． 故选：． 方法点拨 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【变式1】（2024秋•普宁市期末）设偶函数的定义域为，当，时，是增函数，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数为偶函数，得到，（3），再利用，时，是增函数求解． 【解答】解：因为函数为偶函数， 所以，（3）， 因为当，时，是增函数， 又， 所以，即． 故选：． 【变式2】（2024秋•漯河期中）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，（2），则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】已知条件得出单调性与对称性，由对称性转化自变量值到同一个单调区间内，再由单调性比较大小． 【解答】解：根据题意，函数的定义域为，当时，恒成立， 则函数在上为单调增函数， 又由函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称， 故，（2）， 则有，即（2），即． 故选：． 【变式3】（2024秋•沭阳县期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据给定条件可得（3），再利用单调性比较大小即得． 【解答】解：依题意，（3），由在上单调递减， ，得， 所以． 故选：． 【题型6】利用函数的单调性与奇偶性解不等式 （2025春•江西期末）已知奇函数的定义域为，当且，，时，恒成立，则不等式的解集为　　典例 A．，， B．，， C． D． 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可． 【解答】解：因为奇函数的定义域为，当且，，时，恒成立， 所以在，内单调递增， 由奇函数的性质，可知在，内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：． 方法点拨 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 【变式1】（2025春•揭阳期末）已知偶函数在区间，上单调递增，则满足（2）的的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【答案】 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可． 【解答】解：因为为偶函数，且在区间，上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在区间，上单调递增， 而（2），则，所以， ． 故选：． 【变式2】（2025•河南模拟）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：因为奇函数在上单调递减，所以， 若， 则， 所以， 解得． 故选：． 【变式3】（2024秋•南阳期末）已知是定义域为的奇函数，（3），且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 【答案】 【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：因为是定义域为的奇函数，（3），且当时，单调递增， 故时，单调递增， 又（3）， 由不等式可得或， 解得或． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $