1.3全等三角形的判定（二）-ASA讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（二）-ASA》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.   探索并理解 “ 角边角 ” （ASA）判定定理，能准确表述其内容。 2.   会运用 “ ASA ” 判定定理证明两个三角形全等。 3.   通过观察、猜想、验证、推理等过程，培养逻辑思维能力和空间观念。 ) ( 二．重点难点 1.   重点：掌握 “ ASA ” 判定定理，并能运用它判定两个三角形全等。 2.   难点：准确找出证明三角形全等所需的条件，特别是 “ 两角及其夹边 ” ，以及在复杂图形中灵活运用 “ ASA ” 定理。 ) ( 三． 课前预习 1.全等三角形的概念：能够______的两个三角形叫做全等三角形。 【答案】 完全重合 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角______。 【答案】 相等；相等 3. 回顾之前学过的全等三角形判定方法：______（SAS），即两边和它们的______对应相等的两个三角形全等。 【答案】 边角边；夹角 ) 四．课堂探秘 （一）探究ASA判定方法 【活动】 （1）用纸板挡住两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?果能，你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗? 【答案】 第一个图形不可以画出与其他同学画的完全重合的三角形；第二个图可以画出与其他同学画的完全重合的三角形。 【解析】对于第一个被纸板挡住一部分的三角形，我们仅能看到它的一个角。在三角形中，只知道一个角的度数，其他边和角的情况有无数种可能性。例如，我们可以以这个角为基础，随意改变另外两条边的长度和角度，都能构成不同的三角形。所以仅根据这一个角的信息，不能唯一确定这个三角形，也就不能画出与其他同学画的完全重合的三角形，即不可以画出。对于第二个被纸板挡住一部分的三角形，我们看到了两个角以及这两个角的夹边。根据三角形全等的角边角（ASA）判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。也就是说，当我们知道一个三角形的两个角以及它们的夹边时，这个三角形的形状和大小就被唯一确定了。所以我们可以根据这两个角和夹边画出唯一的一个三角形，并且这个三角形与其他同学依据同样条件画出的三角形是完全重合的，即可以画出。 2.如图，给定△ABC，在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C'，使得∠B'=∠B,∠C =∠C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 作法 1.作 B'C' =BC; 2.在 B'C'的同侧分别作∠MB'C'=∠B, ∠NCB'=∠C,B'M,C'N 相交于点A'.△A'B'C'即为所求. 通过叠合发现△A'B'C'和△ABC可以完全重合. 通过实践，人们得到了如下基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”“ASA”). 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在△ABC 和△ A′B′C′中 ∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）. 3.深入理解ASA中的夹边 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （二）. “角边角”（ASA）判定定理的应用 例1. 如图点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF. 求证:△ABC≌△DEF. 证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵BF=CE,∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA). 例2.如图,∠ACB=90°,CD=BE,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E. 求证:△ACD≌△CBE. 证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠E=90°,∴∠B+∠BCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD.在△ACD和△CBE中,∴△ACD≌△CBE(ASA). 3.已知:如图所示,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E.求证:BC=DC. 证明:∵∠BCE=∠DCA,∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠BCA=∠DCE.在△BCA和△DCE中,∴△BCA≌△DCE(ASA),∴BC=DC. 例4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC = CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？ 解：∵ AB⊥BC，DE⊥BF，∴ ∠B =∠EDC = 90°.在△ABC和△EDC中， ∴ △ABC≌△EDC(ASA).∴ AB=DE. 【总结与思考】 1.ASA与SAS的区别：SAS（边角边）是“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”。ASA强调的是两角及其夹边，而SAS强调的是两边及其夹角。二者的条件不同，在应用时需要准确判断题目所给条件符合哪种判定定理。 2.应用ASA判定定理的常见错误与注意事项 (1)条件混淆：容易将ASA与其他判定定理的条件混淆，比如误把不是夹边的边当作ASA中的夹边。因此，在使用时要仔细辨别相等的边是否是两个相等角的夹边。 (2)角的对应关系错误：在寻找对应角时出错，没有正确对应相等的角。需要严格按照三角形的对应顶点来确定对应角和对应边。 (3)隐含条件挖掘不足：有些题目中，角或边相等的条件不会直接给出，而是以隐含的形式存在，如对顶角相等、公共边、平行线的同位角或内错角相等 等，需要仔细观察图形，挖掘这些隐含条件，才能正确使用ASA判定三角形全等。 五．课堂检测 1. 如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是(　　) A. 带①和②去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 都带去 【答案】C 【解析】①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形；②仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形；③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定．故C选项正确．故选：C． 2.如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　　) A. ∠BAD=∠CAD B. ∠BAC=99° C. BD=AC D. ∠B=45° 【答案】A 【解析】∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADB和△ADC中，∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA）．故A正确．故选A． 3.如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】选择AB=AC；理由如下：在△ABD和△ACE中,∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C，∴ABD≌△ACE(ASA)；故选B 4.如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项错误；B、不是对应边相等，故本选项错误；C、不是对应边相等，故本选项错误；D、， ，又，，，故本选项正确；故选：D． 5.如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是　　.  【答案】ASA 【解析】从图中可以看到，三角形露出了两个角以及这两个角的夹边。这意味着我们知道了原三角形的两个内角的度数以及这两个内角所夹的边的长度。所以小明画图的依据是ASA（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。 6．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，还需添加一个条件________，并给予证明． 【解析】解法一；添加条件：AE＝AF，证明：在△AED与△AFD中，因为AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，所以△AED≌△AFD(SAS)． 解法二；添加条件：∠EDA＝∠FDA，证明：在△AED和△AFD中，因为∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，所以△AED≌△AFD(ASA)． 7.如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD. 证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵AF∥DE，，∴∠AFB＝∠DEC.又∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（ASA） ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）. 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=BD，求证：BF=AC． 证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°， ∴∠DBF=∠DAC，在△BDF和△ADC中， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴BF=AC． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 【答案】：重合 2.两边及其______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______”。 【答案】：夹角、边角边、SAS 3.两角和它们的______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______”。 【答案】：夹边、角边角、ASA 4.在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E ，______，则△ABC ≌△DEF（ASA） 。 【答案】：AB = DE （二）强化训练 一．选择题 1．下列各组条件中，能确定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 【答案】B　 【解析】A项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；B项，可利用“ASA”判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；D项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意．故选B. 2．如图1所示，已知△ABC的六个元素，则图2中甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的图形是(　　) 图1　　　　 图2　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B　 【解析】图甲中，50°角并不是a，c边的夹角，没有基本事实支持图甲与△ABC全等；图乙中，边a，c及其夹角50° 与△ABC中边a，c及其夹角50°对应相等，符合“SAS”基本事实，说明图乙与△ABC全等；图丙中由三角形内角和为180°得到第三个角是58°，58°，50°角及其夹边a与△ABC中58°，50°角及其夹边a对应相等，符合“ASA”基本事实，说明图丙与△ABC全等．因此应选择B. 3．如图AD，BC相交于点O，∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，下列结论中，错误的是(　　) A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．OC＝OB D．OA＝OB 【答案】 C　 【解析】在△ABC与△BAD中，∵∴△ABC≌△BAD.(ASA)∴∠C＝∠D，AC＝BD.进而可推出△ACO≌△BDO，∴OA＝OB.故错误的是C选项． 4．如图所示，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若使△ABC≌△A′B′C′，还需要(　　) A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′ C．AC＝A′C′ D．以上都对 【答案】D　 【解析】 选项A可利用ASA得到△ABC≌△A′B′C′.选项B中，因为∠B＝180°－∠A－∠C，∠B′＝180°－∠A′∠C′，因为∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，所以∠B＝∠B′，即转化为选项A.选项C中可由SAS判定△ABC≌△A′B′C′. 5．如图所示，已知AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是(　　) A．AC＝EF B．AC∥EF C．∠B＝∠E D．不用补充 【答案】B　 【解析】 因为AB∥DE，所以∠B＝∠D.若AC∥EF，所以∠ACB＝∠EFD.又CD＝BF，所以DF＝BC.根据ASA可得△ABC≌△EDF. 6．下列各组条件中，能确定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 【答案】B 【解析】A项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；B项，可利用“ASA”判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；D项，不能确定△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意．故选B. 7.根据下列已知条件,能画出唯一△ABC的是(　　) A.∠A=50°,∠B=70°,AB=6 B.∠C=90°,AB=10 C.AB=10,BC=4,AC=4 D.AB=5,BC=8,∠A=40° 【答案】A　 【解析】A.根据ASA可画出唯一三角形。B.只有一边一角，画出的三角形不唯一。 C.不能画出三角形。D.两边已知，但不是夹角，画出的三角形不唯一。故选: A 8.如图AB平分∠CAD,若要用“ASA”判定△ACP≌△ADP,则需增加的一个条件是(　　) A.CP=DP B.∠APC=∠APD C.AD=AC D.∠ACP=∠ADP 【答案】B 【解析】因为AB平分∠CAD，根据角平分线的定义，所以∠CAP = ∠DAP ，同时在△ACP和△ADP中，AP是公共边。根据“ASA”判定定理分析选项 选项A：CP = DP，这是两边相等，不满足“ASA”两角及其夹边相等的条件，所以A选项错误。选项B：∠APC = ∠APD，此时在△ACP和△ADP中，∠CAP = ∠DAP ，AP = AP（公共边），∠APC = ∠APD，满足两角及其夹边对应相等，符合“ASA”判定定理，所以B选项正确。选项C：AD = AC，这是两边相等，不满足“ASA”两角及其夹边相等的条件，所以C选项错误。选项D：∠ACP = ∠ADP，这是两角相等，但不是两角及其夹边对应相等，不满足“ASA”判定定理，所以D选项错误。 9.如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 【答案】A　 【解析】在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).故选A. 10.如图,在△DEC和△BFA中,点A,E,F,C在同一直线上,已知AB∥CD,且AB=CD,若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是(　　) A.EC=FA　　　　 B.∠A=∠C C.∠D=∠B D.BF=DE 【答案】C　 【解析】∵AB∥CD,∴∠A=∠C,添加∠D=∠B,在△DEC和△BFA中, ∴△DEC≌△BFA(ASA).故选C. 二．填空题 11.如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，能运用ASA直接说明△ADC≌△AEB，你添加的条件是________．（不添加任何字母和辅助线） 【答案】∠ADC=∠AEB. 【解析】∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA. 12.如图在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAD=∠CAE=30°，AC=AE，∠C=∠E，则∠B=__度． 【答案】75 【解析】∵∠BAD=∠CAE=30°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB=AD， ∴∠B=×(180°−30°)＝75°，答案为75 13.如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件:　　　　　,使△ABC≌△DEF.  【答案】　∠A=∠D(答案不唯一) 【解析】　∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵AB=DE,∴当添加∠A=∠D时,根据ASA可判定△ABC≌△DEF(答案不唯一). 14.如图,在△ABC中,BF⊥AC于点F,AD⊥BC于点D,BF与AD相交于点E.若AD=BD, BC=8,DC=3,则AE=　　　　.  【答案】2 【解析】　∵BF⊥AC,AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=∠BFC=90°,∵∠DAC+∠C+∠ADC=180°, ∠FBC+∠C+∠BFC=180°,∴∠DAC=∠FBC,在△ADC和△BDE中, ∴△ADC≌△BDE(ASA),∴DE=DC=3,AD=BD,∵BD=BC-DC=5,∴AE=AD-DE=BD-DE=5-3=2. 15.如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为2 cm2,则阴影部分的面积为　　　　cm2.  【答案】1 【解析】如图,延长AP交BC于D,∵CP平分∠ACB,∴∠ACP=∠DCP,∵AP⊥CP, ∴∠APC=∠DPC=90°,在△ACP与△DCP中,∴△ACP≌△DCP(ASA), ∴AP=DP,∴S△ABP=S△ABD,S△ACP=S△ACD,∴阴影部分的面积=S△ABC=×2=1(cm2). 16..如图，要在湖两岸A，B两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A、B两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，这时测得DE＝50米，则AB＝_米． 【答案】50 【解析】因为BC＝CD，DE⊥BF，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=DE，∠ACB=∠ECD所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB=DE，因为DE=50,所以AB=50，故答案为50． 17.如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠1,BD=CF=3,BE=2,则BC=　　　　.  【答案】5 【解析】　∵∠BDE+∠1+∠CDF=180°,∠CFD+∠C+∠CDF=180°,∠C=∠1, ∴∠BDE=∠CFD.在△BED和△CDF中,∴△BED≌△CDF(ASA),∴CD=BE=2, ∵BD=3,∴BC=BD+CD=3+2=5. 18.如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3.则DC=_________. 【答案】3 【解析】　∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠ECD,在△ACB和△ECD中, ∴△ACB≌△ECD(ASA),∴CD=BC=3. 19. 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是　　　　m.  【答案】120　 【解析】∵AC⊥BD,∴∠CAD=∠CAB=90°.在△ACD和△ACB中,∵ ∴△ACD≌△ACB,(ASA)∴AB=AD=120 m 20.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 【答案】8 【解析】∵∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBC=90°， ∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，又AC=AB，∴△AEC≌△BAD（ASA），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8.故答案为8. 三．解答题 21.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E. 求证：BC=ED． 证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC (ASA)，∴BC=DC． ，∴BC=DC． 22.如图在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB， AC上，且DE‖AC,DF‖AB. 求证:△EBD≌△FDC 证明：∵DE // AC,DF//AB, ∴∠EDB=∠C,∠B =∠FDC(两直线平行,同位角相等). ∵ D是BC的中点，∴.BD=DC.在△EBD 和△FDC中， ∴△EBD≌△FDC(ASA). 23.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC，∠B =∠C. 求证：（1）AD = AE；（2）BD = CE. 证明：（1）在△ACD和△ABE中，∴ △ACD≌△ABE(ASA).∴ AD = AE， （2）∵ AB = AC，AD = AE，∴ AB-AD = AC-AE，即BD = CE. 24.如图所示,点M是线段AB上一点,ED经过点M,连结AE、BD,过点B作BF∥AE交ED于F,且EM=FM. (1)若AE=5,求BF的长; (2)若∠AEC=90°,∠DBF=∠CAE,求证:CD=FE. 解：(1)∵BF∥AE,∴∠MFB=∠MEA,在△AEM与△BFM中, ∴△AEM≌△BFM(ASA),∴BF=AE=5. （2）证明:由(1)知BF=AE,∠MFB=∠MEA,∵∠AEC=90°,∴∠MFB=90°,∴∠BFD=90°, ∴∠BFD=∠AEC,在△AEC与△BFD中,∴△AEC≌△BFD(ASA),∴EC=FD, ∴EF+FC=FC+CD,∴CD=FE. 25.如图,小刚站在河边的点A处,在河对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处,接着再向前走了20步到达D处,然后他左转90°继续行走,当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线上时,他共走了100步. (1)根据题意,画出示意图; (2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由. 解：(1)所画示意图如下: (2)在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(ASA),∴AB=DE. ∵小刚共走了100步,其中走完AD用了40步,∴走完DE用了60步, ∵一步大约50厘米,∴DE=60×0.5=30米,∴AB=DE=30米. 答:估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米. 26.如图，A、E、C在一条直线上，已知：B、F是直线AC的同侧两点，且∠A＝∠BEF＝∠C，AB＝CE． （1）求证：∠B＝∠FEC； （2）求证：AE＝FC． 解：（1）证明：∵∠BEC＝∠A+∠ABE，且∠BEC＝∠BEF+∠FEC，且∠A＝∠BEF， ∴∠B＝∠FEC； （2）在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEF（ASA）∴AE＝CF． 27.【推理能力】点D在△ABC的边AB所在直线上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180°. 【提出问题】(1)如图1,若点D在边BA的延长线上,求证:AD+BC=BE; 【类比探究】(2)如图2,若点D在线段AB上,请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系,并证明; 【拓展延伸】(3)如图3,若点D在线段AB的延长线上,请直接写出线段AD,BC与BE之间的数量关系. 　 图1 图2 图3 解：(1)证明:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠BCD+∠DCF=180°,∴∠EAB=∠BCD, 在△EAB和△DCB中,∴△EAB≌△DCB(ASA),∴BE=BD,AB=BC, ∵BD=AD+AB,∴AD+BC=BE. (2)BC-AD=BE.证明如下:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠BCD+∠DCF=180°,∴∠EAB=∠BCD, 在△EAB和△DCB中,∴△EAB≌△DCB(ASA),∴BE=BD,AB=BC, ∵BD=AB-AD,∴BC-AD=BE. (3)AD-BC=BE.:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠DCB+∠DCF=180°, ∴∠EAB=∠DCB,在△EAB和△DCB中,∴△EAB≌△DCB(ASA), ∴BE=BD,AB=BC,∵BD=AD-AB,∴AD-BC=BE. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（二）-ASA》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.   探索并理解 “ 角边角 ” （ASA）判定定理，能准确表述其内容。 2.   会运用 “ ASA ” 判定定理证明两个三角形全等。 3.   通过观察、猜想、验证、推理等过程，培养逻辑思维能力和空间观念。 ) ( 二．重点难点 1.   重点：掌握 “ ASA ” 判定定理，并能运用它判定两个三角形全等。 2.   难点：准确找出证明三角形全等所需的条件，特别是 “ 两角及其夹边 ” ，以及在复杂图形中灵活运用 “ ASA ” 定理。 ) ( 三． 课前预习 1.全等三角形的概念：能够______的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角______。 3. 回顾之前学过的全等三角形判定方法：______（SAS），即两边和它们的______对应相等的两个三角形全等。 ) 四．课堂探秘 （一）探究ASA判定方法 【活动】 （1）用纸板挡住两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?果能，你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗? 2.如图，给定△ABC，在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C'，使得∠B'=∠B,∠C =∠C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 通过实践，人们得到了如下基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”“ASA”). 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在△ABC 和△ A′B′C′中 ∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）. 3.深入理解ASA中的夹边 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （二）. “角边角”（ASA）判定定理的应用 例1. 如图点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF. 求证:△ABC≌△DEF. 例2.如图,∠ACB=90°,CD=BE,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E. 求证:△ACD≌△CBE. 3.已知:如图所示,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E.求证:BC=DC. 例4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC = CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？ 【总结与思考】 1.ASA与SAS的区别：SAS（边角边）是“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”。ASA强调的是两角及其夹边，而SAS强调的是两边及其夹角。二者的条件不同，在应用时需要准确判断题目所给条件符合哪种判定定理。 2.应用ASA判定定理的常见错误与注意事项 (1)条件混淆：容易将ASA与其他判定定理的条件混淆，比如误把不是夹边的边当作ASA中的夹边。因此，在使用时要仔细辨别相等的边是否是两个相等角的夹边。 (2)角的对应关系错误：在寻找对应角时出错，没有正确对应相等的角。需要严格按照三角形的对应顶点来确定对应角和对应边。 (3)隐含条件挖掘不足：有些题目中，角或边相等的条件不会直接给出，而是以隐含的形式存在，如对顶角相等、公共边、平行线的同位角或内错角相等 等，需要仔细观察图形，挖掘这些隐含条件，才能正确使用ASA判定三角形全等。 五．课堂检测 1. 如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是(　　) A. 带①和②去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 都带去 2.如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　　) A. ∠BAD=∠CAD B. ∠BAC=99° C. BD=AC D. ∠B=45° 3.如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 4.如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　） A. B. C. D. 5.如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是　　.  6．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，还需添加一个条件________，并给予证明． 7.如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD. 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=BD，求证：BF=AC． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 2.两边及其______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______”。 3.两角和它们的______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______”。 4.在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E ，______，则△ABC ≌△DEF（ASA） 。 （二）强化训练 一．选择题 1．下列各组条件中，能确定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 2．如图1所示，已知△ABC的六个元素，则图2中甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的图形是(　　) 图1　　　　 图2　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．如图AD，BC相交于点O，∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，下列结论中，错误的是(　　) A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．OC＝OB D．OA＝OB 4．如图所示，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若使△ABC≌△A′B′C′，还需要(　　) A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′ C．AC＝A′C′ D．以上都对 5．如图所示，已知AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是(　　) A．AC＝EF B．AC∥EF C．∠B＝∠E D．不用补充 6．下列各组条件中，能确定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 7.根据下列已知条件,能画出唯一△ABC的是(　　) A.∠A=50°,∠B=70°,AB=6 B.∠C=90°,AB=10 C.AB=10,BC=4,AC=4 D.AB=5,BC=8,∠A=40° 8.如图AB平分∠CAD,若要用“ASA”判定△ACP≌△ADP,则需增加的一个条件是(　　) A.CP=DP B.∠APC=∠APD C.AD=AC D.∠ACP=∠ADP 9.如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 10.如图,在△DEC和△BFA中,点A,E,F,C在同一直线上,已知AB∥CD,且AB=CD,若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是(　　) A.EC=FA　　　　 B.∠A=∠C C.∠D=∠B D.BF=DE 二．填空题 11.如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，能运用ASA直接说明△ADC≌△AEB，你添加的条件是________．（不添加任何字母和辅助线） 12.如图在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAD=∠CAE=30°，AC=AE，∠C=∠E，则∠B=__度． 13.如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件:　　　　　,使△ABC≌△DEF.  14.如图,在△ABC中,BF⊥AC于点F,AD⊥BC于点D,BF与AD相交于点E.若AD=BD, BC=8,DC=3,则AE=　　　　.  15.如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为2 cm2,则阴影部分的面积为　　　　cm2.  16..如图，要在湖两岸A，B两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A、B两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，这时测得DE＝50米，则AB＝_米． 17.如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠1,BD=CF=3,BE=2,则BC=　　　　.  18.如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3.则DC=_________. 19. 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是　　　　m.  20.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 三．解答题 21.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E. 求证：BC=ED． 22.如图在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB， AC上，且DE‖AC,DF‖AB. 求证:△EBD≌△FDC 23.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC，∠B =∠C. 求证：（1）AD = AE；（2）BD = CE. 24.如图所示,点M是线段AB上一点,ED经过点M,连结AE、BD,过点B作BF∥AE交ED于F,且EM=FM. (1)若AE=5,求BF的长; (2)若∠AEC=90°,∠DBF=∠CAE,求证:CD=FE. 25.如图,小刚站在河边的点A处,在河对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处,接着再向前走了20步到达D处,然后他左转90°继续行走,当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线上时,他共走了100步. (1)根据题意,画出示意图; (2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由. 26.如图，A、E、C在一条直线上，已知：B、F是直线AC的同侧两点，且∠A＝∠BEF＝∠C，AB＝CE． （1）求证：∠B＝∠FEC； （2）求证：AE＝FC． 27.【推理能力】点D在△ABC的边AB所在直线上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180°. 【提出问题】(1)如图1,若点D在边BA的延长线上,求证:AD+BC=BE; 【类比探究】(2)如图2,若点D在线段AB上,请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系,并证明; 【拓展延伸】(3)如图3,若点D在线段AB的延长线上,请直接写出线段AD,BC与BE之间的数量关系. 　 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $