2025-2026学年苏科版八年级数学上册周日提升练习一(1.1--1.3SSS)　

八年级数学周日提升练习一(20250913) 【知识小记】 1、三角形三边的关系是 . 2、三角形的边角之间的关系是大角对 ，大边对 . 【常见例子】 1、（2024秋•沙市区期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　 ） A．1cm，2cm，3cm B．6cm，8cm，13cm C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm 2、（2024秋•获嘉县期末）一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为x，则x的值可能是（　 　） A．1 B．2 C．8 D．12 3、（2025春•汝州市期末）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为　 　 ． 4、（2025春•龙泉驿区期末）已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为x cm（x是整数），则三角形周长最大为　 　 cm． 5、（2024秋•秦皇岛期末）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　 　） A． B． C． D． 6、（2024秋•大祥区期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 　 cm2． 7、（2025春•达川区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 8、（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，则BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ，△BCD与△ACD的面积差为　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 9、（2025春•玉田县校级月考）如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D． （1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系； （2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系． 10、（2025春•雁江区期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠B＝32°，∠C＝60°，则：①∠DAC的度数是 ；②∠DAE的度数是 ． （2）若AB⊥AC，AC＝3，AB＝4，BC＝5，求AD的长． 【知识小记】 3、全等三角形的性质是：全等三角形的对应边 ，对应角 . 4、判定两个三角形全等的方法有： ； ； ； ； 【常见例子】 1、（2024秋•获嘉县期末）如图，点A，B，C在同一直线上，在△ADC和△BCE中，CD＝CE， ∠E＝∠ACD，添加下列一个条件，仍不能判定△ADC≌△BCE的是（　 　） A．AD＝BC B．AD∥BE C．∠D＝∠ACE D．AC＝BE 2、（2025春•余江区校级月考）根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　 ） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 3、（2025春•开江县）如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　 　） A．2 B．3 C．4 D．5 第2题图 第5题图 第6题图 第7题图 4、（2025春•项城市期末）下列选项中，可以判定△ABC≌△DEF的是（　 　） A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E C．∠A＝∠E，AC＝DF，∠C＝∠F D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF 5、（2025春•甘州区校级期末）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，再将木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　 　） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等； B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等； C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 6、（2024秋•天长市期末）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC≌△ADE，则需添加的条件是　 　 ． 7、（2025春•福田区校级期中）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　 　 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 8、（2024秋•云梦县期末）如图，ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC，求证：△BED≌△ABC． 9、（2024秋•红花岗区校级期中）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； 同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； 同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． 10、（2024•陇县二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 11、（2025•云南模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长． 12、（2025春•建平县期末）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 13、（2025春•萍乡期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，若∠BAC＝90°， ①试说明：△ABD≌△ACE； ②判断BC与EC的位置关系　 　 ，并说明理由； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β（如图2），则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【课外作业】 1．（2024秋•岳阳期末）若三角形的三边长分别为a+2，4，7，则a的可能的值为（ 　　） A．1 B．5 C．9 D．11 2．（2025•金水区校级开学）将一根12等分的小棒剪成三段，首尾相接围一个三角形，下面分别是剪第一刀的四种不同剪法．接着把剩下部分（剪刀右侧部分）再在等分处任意剪一刀分成两段．这样，最终得到的三段小棒都不能围成三角形的是剪法（　 　） A． B． C． D． 3．（2025•德惠市校级二模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•西双版纳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是边AC上两点，AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是（　 ） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高 第4题图 第6题图 第8题图 5．（2025春•静安区校级期末）下列说法正确的是（　 　） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形； B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形； C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D．边长为5cm的等边三角形都是全等三角形. 6．（2025春•江北区校级期末）如图，已知∠A＝∠D，∠B＝∠E，要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　 ） A．AF＝CD B．∠1＝∠2 C．AB＝EF D．EF∥CB 7．（2025春•崇明区期中）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　 ） A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 8．（2025春•阳山县期末）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD．下列五个选项：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，⑤∠1＝∠2，从中任选一个作为已知条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有（　 　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2025春•沈丘县期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　 　 ． 10．（2025春•郫都区期末）若a、b、c是三角形的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ 　 ． 11．（2025春•长安区期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝　 　 ． 12．（2025春•邯郸期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 13．（2024秋•任城区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：　 　 ，使△ABD≌△ACD． 14．（2025春•庆云县校级月考）如图，点E、F在BC上，BF＝CE，∠A＝∠D．请添加一个条件　 　 ，使△ABF≌△DCE． 15．（2025春•蒲城县期末）如图，在△ABC和△DEF中，点C，D，B，F在同一条直线上，已知∠A＝∠EDF，AC＝DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，你添加的条件是 　 　 ．（添加一个即可） 16．（2024秋•遂平县期末）如图，在四边形ABCD中，＝BC＝5cm，点E在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，点F的运动速度为 　 　 cm/s． 第15题图 第16题图 第17题图 17．（2025春•渠县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　 s时，△PEC与△QFC全等． 18．（2025春•龙川县校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 19．（2025春•城关区校级期末）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 20．（2024春•吉州区月考）如图所示∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，证明△AEB≌△AFC． 21．（2024秋•榆树市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t的值； （2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长． 八年级数学周日提升练习一(20250913)(答案) 【知识小记】 1、三角形三边的关系是 . 2、三角形的边角之间的关系是大角对 ，大边对 . 【常见例子】 1、（2024秋•沙市区期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　B ） A．1cm，2cm，3cm B．6cm，8cm，13cm C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm 2、（2024秋•获嘉县期末）一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为x，则x的值可能是（　C　） A．1 B．2 C．8 D．12 3、（2025春•汝州市期末）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为　21 　 ． 4、（2025春•龙泉驿区期末）已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为x cm（x是整数），则三角形周长最大为　 19 　 cm． 5、（2024秋•秦皇岛期末）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　D　） A． B． C． D． 6、（2024秋•大祥区期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 1 　 cm2． 7、（2025春•达川区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 解：（1）∵a＝2，b＝5，∴8﹣5＜c＜2+5，∴3＜c＜7； （2）∵3＜c＜5，第三边为奇数，∴第三边c＝5，∴该三角形为等腰三角形； （3）∵a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）＝a+b﹣3c． 8、（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，则BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ，△BCD与△ACD的面积差为 　0　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 解：（1）∵CD是中线，∴AD＝BD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD与△ACD的周长差为（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝（3+CD+BD）﹣（2+CD+AD）＝3﹣2+（CD﹣CD）+（BD﹣AD）＝1； ∵CD是中线，∴S△BCD＝S△ACD，∴S△BCD﹣S△ACD＝0．故答案为：1，0． （2）∵BE是角平分线，∠ABC＝62°，∴∠DBO∠ABC＝31°， ∵CD是△ABC的高，∴∠BDO＝90°，∴∠BOC＝∠DBO+∠BDO＝31°+90°＝121°． 9、（2025春•玉田县校级月考）如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D． （1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系； （2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系． 解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， ∴AB+BC+CA＞2BD； （2）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC， ∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC． 10、（2025春•雁江区期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠B＝32°，∠C＝60°，则：①∠DAC的度数是 30° ；②∠DAE的度数是 14° ． （2）若AB⊥AC，AC＝3，AB＝4，BC＝5，求AD的长． 解：（1）①由题意可得：AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°， ∵∠C＝60°，∴∠DAC＝30°； ②由题意可得：∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝32°，∠C＝60°，∴∠BAC＝88°， ∵AE是∠BAC的平分线，∴，∴∠DAE＝14°； （2）由题意可得：AB⊥AC，AD是高，∴， ，∴，∴可得：． 【知识小记】 3、全等三角形的性质是：全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 . 4、判定两个三角形全等的方法有： SAS ； ASA ； AAS ； SSS ； 【常见例子】 1、（2024秋•获嘉县期末）如图，点A，B，C在同一直线上，在△ADC和△BCE中，CD＝CE， ∠E＝∠ACD，添加下列一个条件，仍不能判定△ADC≌△BCE的是（　 A 　） A．AD＝BC B．AD∥BE C．∠D＝∠ACE D．AC＝BE 2、（2025春•余江区校级月考）根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　 C ） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 3、（2025春•开江县）如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　 A 　） A．2 B．3 C．4 D．5 第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 解：如图所示：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共3+0+1＝4个， 4、（2025春•项城市期末）下列选项中，可以判定△ABC≌△DEF的是（　D 　） A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E C．∠A＝∠E，AC＝DF，∠C＝∠F D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF 5、（2025春•甘州区校级期末）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，再将木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　D 　） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等； B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等； C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 6、（2024秋•天长市期末）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC≌△ADE，则需添加的条件是 AC＝AE或∠B＝∠D或∠C＝∠E 　 ． 7、（2025春•福田区校级期中）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　 1或　 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 解：当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ（SAS）， ∵P、Q运动的路程和时间相同，∴Q和P的运动速度相同是1cm/s； 当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP（SAS）， ∵APAB6＝3（cm），∴Q运动的时间是3÷1＝3（s）， ∵BP＝AC＝4cm，∴Q运动的速度是4÷3（cm/s）， ∴当点Q的运动速度为1或cm/s时，△ACP与△BPQ全等．故答案为：1或． 8、（2024秋•云梦县期末）如图，ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC，求证：△BED≌△ABC． 证明：∵ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC，∴∠EDB＝∠ACB， ∵ED＝BC，BD＝AC， 在△BED和△ABC中，，∴△BED≌△ABC（SAS）． 9、（2024秋•红花岗区校级期中）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 　SAS　 ； 同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 　AAS　 ； 同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 　ASA　 ； （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． （1）解：根据全等三角形的判定定理， 同学甲：在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）， 所以△ADB≌△AEC的理由是SAS，故答案为：SAS； 同学乙：在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS）， 所以△ADB≌△AEC的理由是AAS，故答案为：AAS； 同学丙：在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（ASA）， 所以△ADB≌△AEC的理由是ASA，故答案为：ASA； （2）证明：连接AO， 在△AEO和△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（SSS），∴∠AEO＝∠ADO， ∵∠AEO＝∠B+∠BOE，∠ADO＝∠C+∠DOC，∠BOE＝∠DOC，∴∠B＝∠C， 在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS）． 10、（2024•陇县二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°． ∵DC⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°．∴∠A＝∠BCD． ∵EF⊥AB，∴∠EFA＝∠BDC＝90°． ∵AE＝CB，∴△AEF≌△CBD（AAS）． 11、（2025•云南模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长． （1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC． 在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS）， （2）由（1）得△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5． 12、（2025春•建平县期末）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． （1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°，∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠E70°． 13、（2025春•萍乡期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，若∠BAC＝90°， ①试说明：△ABD≌△ACE； ②判断BC与EC的位置关系　垂直（或BC⊥EC）　 ，并说明理由； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β（如图2），则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）； ②BC⊥EC， 理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE， ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB， 又∵∠BAC＝90°，∴∠BCE＝90°，即BC⊥EC；故答案为：垂直（或BC⊥EC）； （2）α+β＝180°， 理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∵∠BAC＝α，∠BCE＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°． 【课外作业】 1．（2024秋•岳阳期末）若三角形的三边长分别为a+2，4，7，则a的可能的值为（ B　　） A．1 B．5 C．9 D．11 2．（2025•金水区校级开学）将一根12等分的小棒剪成三段，首尾相接围一个三角形，下面分别是剪第一刀的四种不同剪法．接着把剩下部分（剪刀右侧部分）再在等分处任意剪一刀分成两段．这样，最终得到的三段小棒都不能围成三角形的是剪法（　 D 　） A． B． C． D． 3．（2025•德惠市校级二模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　D　） A． B． C． D． 4．（2024秋•西双版纳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是边AC上两点，AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是（　 C ） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高 第4题图 第6题图 第8题图 5．（2025春•静安区校级期末）下列说法正确的是（　 D 　） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形； B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形； C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D．边长为5cm的等边三角形都是全等三角形. 6．（2025春•江北区校级期末）如图，已知∠A＝∠D，∠B＝∠E，要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　A ） A．AF＝CD B．∠1＝∠2 C．AB＝EF D．EF∥CB 7．（2025春•崇明区期中）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　C ） A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 8．（2025春•阳山县期末）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD．下列五个选项：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，⑤∠1＝∠2，从中任选一个作为已知条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有（　 B 　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2025春•沈丘县期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　15 　 ． 10．（2025春•郫都区）若a、b、c是三角形的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a+b﹣3c． 11．（2025春•长安区期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝　8cm或2cm　 ． 12．（2025春•邯郸期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 50° 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 13．（2024秋•任城区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD ，使△ABD≌△ACD． 14．（2025春•庆云县校级月考）如图，点E、F在BC上，BF＝CE，∠A＝∠D．请添加一个条件∠B＝∠C（答案不唯一） ，使△ABF≌△DCE． 15．（2025春•蒲城县期末）如图，在△ABC和△DEF中，点C，D，B，F在同一条直线上，已知∠A＝∠EDF，AC＝DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，你添加的条件是AB＝DE（答案不唯一）．（添加一个即可） 16．（2024秋•遂平县期末）如图，在四边形ABCD中，＝BC＝5cm，点E在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，点F的运动速度为 　 2或　 cm/s． 第15题图 第16题图 第17题图 17．（2025春•渠县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为 2或4 s时，△PEC与△QFC全等． 18．（2025春•龙川县校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 解：（1）∵∠1＝∠2＝35°，∴∠3＝∠1+∠2＝70°，∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB＝9cm，AC＝6cm， ∴AB﹣AC＝3， △ABD的周长减△ACD的周长＝AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3（cm）， ∴△ABD的周长比△ACD的周长大3cm． 19．（2025春•城关区校级期末）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系列不等式得，a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，﹣a﹣b+c＜0， ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）+（﹣a﹣b+c） ＝a+b+c﹣a﹣b+c﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝﹣2a+4c； （2）∵a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，∴|b﹣c|≥0，（a﹣c）2≥0， ∴根据非负数的性质得，b﹣c＝0且a﹣c＝0， 解得b＝c且a＝c，即a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形． 20．（2024春•吉州区月考）如图所示∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，证明△AEB≌△AFC． 解：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC ∴∠BAE＝∠CAF 在△AEB和△AFC中 ∴△AEB≌△AFC（AAS） 21．（2024秋•榆树市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t的值； （2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长． 解：（1）由题意得t+3t＝6+8，解得t（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为秒； （2）由题意可知AP＝t，则CP的长为； （3）当P在AC上，Q在BC上时， ∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5； 当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC， 由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5， 当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6， 综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $