第22章 二次函数基础综合-课后练习　2025-2026学年人教版九年级数学上册

课后训—二次函数基础综合- 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一 二次函数的定义】 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A. 含有分式，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. ，若，原函数为一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键． 2．已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限． 【答案】二 【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断． 【详解】∵函数是关于 的二次函数， ∴且， 解得：， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键． 【题组二 二次函数的图象】 3．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（　　） A．a1＞a2＞a3 B．a1＞a3＞a2 C．a3＞a2＞a1 D．a2＞a1＞a3 【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0， ③y＝a3x2，开口向下，则a3＜0， 故a1＞a2＞a3． 故选：A． 4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知﹣a＜0，﹣c＞0，即a＞0，c＜0，两者相矛盾； B、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知﹣a＜0，﹣c＞0，即a＞0，c＜0，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知﹣a＞0，﹣c＜0，即a＜0，c＞0，两者相矛盾； D、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知﹣a＞0，﹣c＜0，即a＜0，c＞0，两者相吻合． 故选：D． （一般式） 5．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 6．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【解答】解：观察函数图象可知：＞0、c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴． 故选：C． 【题组三 二次函数的图象与性质综合】 （基础判断） 7．关于二次函数，下列说法中正确的是(    ) A．它的开口方向是向上 B．当时，随的增大而增大 C．它的顶点坐标是(－2, 1) D．当时，有最大值是 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，a＝﹣2， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误， 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B正确， 它的顶点坐标为（0，1），故选项C错误， 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （对称性） 8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1， ∴m＝﹣； 将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝； 故选：A． 9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点， 可知函数的对称轴x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝2； 故选：D． （增减性比较大小） 10．已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】先确定函数图像的对称轴，然后再判定开口方向向上，最后根据离对称轴越远，函数值越大即可解答 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，开口方向向上 ∴A点到对称轴的距离为1，B点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为3 ∵， ∴ ， 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，掌握“抛物线开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大”是解答本题的关键． 11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 【解答】解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）， 对称轴是直线x＝﹣＝1， 即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1， 即在对称轴的右侧y随x的增大而增大， A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1）， ∵2＜3＜4， ∴y3＞y1＞y2， 故选：A． （增减性求参数） 12．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， 故， 把代入二次函数可得， 当时，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 13．若关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据分式方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的图象和性质求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程解的情况求出的整数值，进而相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得， 解分式方程，得， ∵分式方程有整数解，且，， ∴的整数值可以为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：． （最值） 14．函数最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是（4，2），即可确定函数的最小值． 【详解】解：， ∴此函数的顶点坐标为， ∴又， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y取得最小值，最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键． 15．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1， 则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值． 故选：A． 【题组四 二次函数交点问题】 16．抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　 　． 【分析】由题意可知k+1≠0，又因为二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，所以Δ＝b2﹣4ac≥0，进而求出k的取值范围． 【解答】解：依题意，得 解得 ， 所以k的取值范围为k≤0且k≠﹣1， 故答案为：k≤0且k≠﹣1． 17．二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ． 【答案】10 【分析】令，可得方程，解方程即可求解． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键． 18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是　 ． 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分可知该抛物线的对称轴是直线x＝1，然后由抛物线的对称性求得该图象与x轴的另一个交点，即方程ax2+bx+c＝0的另一个解． 【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与A（3，0）关于直线x＝1对称， ∴另一个交点的坐标为（﹣1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的另一个解是x＝﹣1． 故答案为x＝﹣1或x＝3． 19．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 　 　． 【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝kx+m的解就是二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝x+m两个函数交点的横坐标， ∴ax2+bx+c＝kx+m的解是x1＝﹣4，x2＝2； 故答案是：x1＝﹣4，x2＝2． 20．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3 【分析】结合函数图象，写出抛物线在直线y2＝mx+n上方所对应的自变量的范围． 【解答】解：根据函数图象， 当x＜0或x＞3时，y1＞y2， 所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3． 故选：C． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后训—二次函数基础综合- 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一 二次函数的定义】 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限． 【题组二 二次函数的图象】 3．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（　　） A．a1＞a2＞a3 B．a1＞a3＞a2 C．a3＞a2＞a1 D．a2＞a1＞a3 4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 5．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C．D． 6．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【题组三 二次函数的图象与性质综合】 7．关于二次函数，下列说法中正确的是(    ) A．它的开口方向是向上 B．当时，随的增大而增大 C．它的顶点坐标是(－2, 1) D．当时，有最大值是 8．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（　　） A． B． C．1 D． 9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 10．已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______． 11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 12．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ． 13．若关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 14．函数最小值是 ． 15．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 【题组四 二次函数交点问题】 16．抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　 ． 17．二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ． 18．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是　 ． （18题） （19题） （20题） 19．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣4，﹣3），B（2，3）则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是 ． 20．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $