第22章 二次函数基础综合-讲义　2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数基础综合 知识梳理 1、 二次函数有关概念 1. 定义 一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量。 2.特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ②a,b,c是常数，ax²是二次项，a 是二次项系数 bx 是一次项，b 是一次项系数 c 是常数项 【注意】二次项系数，而b，c可以为零． 【归纳总结】判断函数是否为二次函数的方法：【注：化简后】 ①含有一个变量，且自变量的最高次数为2； ②二次项系数不等于0； ③等式两边都是整式． 2、 二次函数的图象与性质 （一）顶点式与一般式互化 1.公式对应 2.配方法 （二）二次函数两种形式对比 顶点式 （a≠0） 函数 二次函数（a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 在对称轴的左侧，即当x<h时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当x>h时，y随x的增大而增大． 简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当x<h时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当x>h时，y随x的增大而减小． 简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值， y最小值=k 抛物线有最高点，当x=h时，y有最大值， y最大值=k 一般式 （a≠0） 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大． 简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小． 简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 典例剖析 【考点一 二次函数的定义及有关概念】 【题型一 二次函数的判断】 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A.是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B.不是二次函数，故此选项不符合题意； C.，是二次函数，故此选项符合题意； D.，当时，不是二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其中都是常数，，熟练掌握二次函数的定义并灵活运用是解决本题的关键． 【变式】下列函数关系中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、化简得，不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 【题型二 根据二次函数的定义求参数】 2．若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为　3　． 【分析】根据二次函数的定义，令|a|﹣1＝2且a+3≠0即可解答． 【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数， ∴a＝﹣3（舍去），a＝3． 故答案为3． 【变式】已知是二次函数，则m＝　2　． 【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可． 【解答】解：∵是二次函数， ∴m+2≠0，m2﹣2＝2， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【考点二 二次函数的图象判断】 【题型一 特殊形式的二次函数的图象判断】 3．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④。则、、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4．（多选）在同一坐标中，二次函数y＝ax2和一次函数y＝ax的图象可能是（　　） A B C D 【分析】根据正比例函数和二次函数的性质，分别从a＞0和a＜0两种情况进行分析，一致者即为答案． 【解答】解：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上，直线y＝ax经过第一、三象限； 当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下，直线y＝ax经过第二、四象限， 故选：AD． 【变式】下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A B C D 【分析】根据直线直线y＝ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断． 【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误； B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误； C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误； D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确． 故选：D． 5．一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解． 【详解】解： A. 一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意； B. 一次函数中，二次函数中，，符合题意； C.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意； D.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意； 故选：B． 6．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的函数图象，可知，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象得， 二次函数图象开口向上， ∴二次项系数， 一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答． 【变式】如图，是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象大致为（　　） A B C D 【分析】根据一次函数的图象可以判断k和b的正负，从而可以判断二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象的开口方向和对称轴，从而可以解答本题． 【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得， k＞0，b＞0， ∴二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象开口向上，对称轴为x＝＞0， 故选：B． 【考点三 二次函数的图象与性质】 【题型一 基础判断】 7．抛物线，，的共同性质是（ ） ①都是开口向上；②都以点（0,0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 8．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下．据此判断即可求解． 【详解】解：，， 该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 顶点坐标为， 当时，， ∴图象与轴的交点坐标是 观察四个选项，选项B正确，符合题意． 故选：B． 【练习】关于抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标为（1，2） C．当x＝1时，y有最大值2 D．对称轴是直线x＝1 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝1＞0，得出开口向上，当x＝1时，y有最小值2，根据结论即可判断选项． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2中，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2）， ∴当x＝1时，y有最小值2， 故A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意； 故选：C． 【题型二 对称性】 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（　　） A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1 【分析】由二次函数的对称性可求得抛物线的对称轴 【解答】解： ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点， ∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣2， 故选：C． 10．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　 　． 【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案． 【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得 （﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称， m﹣1＝1﹣（﹣1）， 解得m＝3， 故答案为：3． 【变式】若，为抛物线上两点，则_______． 【答案】2016 【分析】，是抛物线上两点，可得，，当时，． 【详解】解：∵，是抛物线上两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴，解得， ∴，， 当时，， 故答案为：2016． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到，是解题的关键． 【题型三 增减性】 类型1：利用增减性比较大小 11．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2x2﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系． 【解答】解：∵二次函数的解析式为yy＝2x2﹣3， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ∴y2＜y1＜y3． 【变式】已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣，y3）在函数y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．（用“＜”连接） 【分析】先求得函数y═﹣2（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，再判断点（2，y2）的对称点的坐标为（0，y4），从而判断出y2＝y4． 【解答】解：∵对称轴为x＝1， ∴点（2，y2）的对称点的横坐标为0，即对称点坐标为（0，y4）， y2＝y4． ﹣＜﹣1＜0，由a＝﹣2，对称轴的左侧y随x的增大而增大，得 y3＜y1＜y4． 即y3＜y1＜y2， 故答案为：y3＜y1＜y2． 12．已知二次函数y＝ax2﹣ax﹣1（a＜0）的图象经过点A（﹣，y1）和点B（1，y2），则下列关系式正确的是（　　） A．0＜y1＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0 【分析】由题意可知抛物线开口向下，求得对称轴为直线x＝，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣ax﹣1（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，与y轴的交点为（0，﹣1）， ∴抛物线经过点（1，﹣1），当x＜时，y随x的增大而减小， ∴y2＝﹣1， ∴点A（﹣，y1）关于直线x＝的对称点为（，y1）， ∵二次函数y＝ax2﹣ax﹣1（a＜0）的图象经过点A（﹣，y1）和点B（1，y2），且＜1＜， ∴y1＜y2＜0， 故选：D． 【变式】已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点C关于直线x＝﹣1的对称点，再利用增减性即可解答． 【解答】解：∵2a﹣b＝0， ∴2a＝b， ∵y＝ax2+bx+4（a＜0）， ∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣1， ∴C（，y3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2﹣，y3）， ∵a＜0， ∴图象开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∵﹣2﹣＜﹣＜﹣， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 类型2：根据增减性求参数 13．已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论． 【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，即， 二次函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 14．若关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x﹣3，当x≤0时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．﹣2 C．8 D．4 【分析】由二次函数的性质，再解分式方程从而确定出a的取值，可求得答案． 【解答】解：∵y＝x2+（a﹣2）x﹣3， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣， ∴当x≤﹣时，y随x的增大而减小， ∵当x≤0时，y随x的增大而减小， ∴﹣≥0，解得a≤2， 解关于y的分式方程可得y＝﹣， ∵分式方程有整数解，且y＝﹣≠1， ∴a≠﹣3， ∴a能取的整数为﹣1，0，2， ∴所有整数a值的和为1． 故选：A． 【题型四 最值】 类型1：无范围限制 15．（1）抛物线y＝﹣x2+15有最　 　点，其坐标是 　． 【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0， ∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下， ∴该抛物线有最大值； 当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15； ∴顶点坐标是（0，15）． 故答案是：高、（0，15）． （2）二次函数的最大值为 ． 【答案】0 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴当时，函数有最大值0， 故答案为：0． 16．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值，则m＝　 　． 【分析】此题可以将原点坐标（0，0）代入y＝（m+1）x2+m2﹣9，求得m的值，然后根据有最大值确定m的值即可． 【解答】解：由于二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点， 代入（0，0）得：m2﹣9＝0， 解得：m＝3或m＝﹣3； 又∵有最大值， ∴m+1＜0， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3； 类型2：有范围限制 17．（1）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（　　） A．y≤5 B．y≤3 C．﹣3≤y≤3 D．﹣3≤y≤5 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5）， 将x＝﹣1代﹣1代入y＝﹣2x2+4x+3得y＝﹣2﹣4+3＝﹣3， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5， 故选：D． （2）在函数y＝x2+2x﹣2中，若2≤x≤5，那么函数y的最大值是　 　． 【分析】用配方法或顶点纵坐标公式，可求二次函数的最大值． 【解答】解：由原方程配方，得 y＝（x+1）2﹣3． ∵2≤x≤5， ∴当x＝5时，y最大＝33． 故答案为：33． 知识梳理 三．二次函数与x轴的交点个数、一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点情况 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0    2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0    1个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac<0    没有（0个）交点 无实数根 四、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于的一元二次方程=0的解 为何值时，函数的值为0？ → 令y=0,求x 确定抛物线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 → 找抛物线与x轴的交点 求关于的一元二次不等式＞0（≠0）的解集 当二次函数的函数值大于0时，对应自变量x的取值范围 确定抛物线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 典例剖析 【考点四 交点问题】 【题型一二次函数与x轴的交点个数的判断】 18．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点 【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；通过判断﹣3（x+1）2+1＝0的根的情况对D进行判断． 【解答】A．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象开口向下，故A选项不符合题意； B．对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意； C．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象的顶点坐标为（﹣1，1），故C选项符合题意； D．当y＝0时，﹣3（x+1）2+1＝﹣3x2﹣6x﹣2＝0，△＝36﹣24＝12＞0，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有2个交点，故D选项不符合题意； 故选：C． 19．如果关于x的分式方程有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴无交点，那么符合条件的所有整数a的值之和是（　　） A．7 B．8 C．4 D．5 【分析】先利用二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴无交点得到a的取值范围，解分式方程，结合a的取值范围与题意求出所有符合条件的a值，再相加即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴无交点， ∴22﹣4×1×a＜0， 解得：a＞1． 分式方程的解为：x＝． ∵分式方程有可能产生增根2， ∴， ∴a≠1． ∵关于x的分式方程有整数解，a＞1， ∴a＝3或4， ∴符合条件的所有整数a的值之和为：3+4＝7， 故选：A． 【变式】从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这六个数中，随机取出一个数，记为m，若m使关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+1的图象与x轴有交点，且使关于x的不等式组有解，则所有满足条件的m的绝对值的和是（　　） A．7 B．5 C．﹣1 D．﹣5 【分析】讨论函数关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+1的图象与x轴有交点，是一次函数与二次函数的情况，再结合不等式组的解求解． 【解答】解：关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+1的图象与x轴有交点， 当函数为一次函数时，m﹣1＝0，与x轴有交点； 当函数为二次函数时（m﹣1≠0），y＝（m﹣1）x2+mx+1＝[（m﹣1）x+1]（x+1），与x轴交点坐标（﹣1，0）（，0）， 故﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这六个数满足条件， 解关于x的不等式组得m﹣2≤x≤1﹣2m，有解， ∴m﹣2≤1﹣2m， 解得m≤1， 满足条件数为﹣3，﹣2，﹣1，0，1． ∴满足条件的m的绝对值的和＝3+2+1+0+1＝7， 故选：A． 【 题型二 交点坐标】 20．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求得值，令，解一元二次方程即可求得结论． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为， ∴． ∴， ∴二次函数． 令，则， 解得：，． ∴抛物线与与轴的另一个交点坐标是． 故答案为：． 【变式】如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 【分析】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值． 【解答】解： ∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根， ∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得， ﹣9+6+k＝0，解得k＝3， ∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0， ∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1． 故选：B． 【题型三 二次函数与方程、不等式关系】 21．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx+b的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝kx+b的解是 　 　． 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣kx﹣b＝0的解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝kx+b的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组的解为，， 即关于x的方程ax2﹣kx﹣b＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1． 所以方程ax2＝kx+b的解是x1＝﹣2，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 22．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 【分析】根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点， 根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6． 故选：A． 【变式】二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】利用图象法解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 将不等式转化为两个函数：与的交点问题， 由图可知：点在抛物线， 又∵满足直线的解析式， ∴两个函数的交点坐标为：，    由图象可知：当或时，， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数基础综合 知识梳理 1、 二次函数有关概念 1. 定义 一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量。 2.特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ②a,b,c是常数，ax²是二次项，a 是二次项系数 bx 是一次项，b 是一次项系数 c 是常数项 【注意】二次项系数，而b，c可以为零． 【归纳总结】判断函数是否为二次函数的方法：【注：化简后】 ①含有一个变量，且自变量的最高次数为2； ②二次项系数不等于0； ③等式两边都是整式． 2、 二次函数的图象与性质 （一）顶点式与一般式互化 1.公式对应 2.配方法 （二）二次函数两种形式对比 顶点式 （a≠0） 函数 二次函数（a≠0） 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大(小)值 抛物线有最 点，当 时，y有最 值， y最小值= 抛物线有最 点，当 时，y有最 值， y最大值= 一般式 （a≠0） 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大(小)值 抛物线有最 点，当 时，y有 最 值，y最小值= 抛物线有最 点，当 时，y有最 值， y最大值= 【考点一 二次函数的定义及有关概念】典例剖析 【题型一 二次函数的判断】 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】下列函数关系中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 根据二次函数的定义求参数】 2．若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为　 　． 【变式】已知是二次函数，则m＝　 　． 【考点二 二次函数的图象判断】 3．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④。则、、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）在同一坐标中，二次函数y＝ax2和一次函数y＝ax的图象可能是（　　） A B C D 【变式】下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A B C D 5．一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（　　）              A B C D 6．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A B C D 【变式】如图，是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象大致为（　　） A B C D 【考点三 二次函数的图象与性质】 【题型一 基础判断】 7．抛物线，，的共同性质是（ ） ①都是开口向上；②都以点（0,0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 【练习】关于抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标为（1，2） C．当x＝1时，y有最大值2 D．对称轴是直线x＝1 【题型二 对称性】 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（　　） A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1 10．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　 ． 【变式】若，为抛物线上两点，则_______． 【题型三 增减性】 类型1：利用增减性比较大小 11．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2x2﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 【变式】已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣，y3）在函数y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 ．（用“＜”连接） 12．已知二次函数y＝ax2﹣ax﹣1（a＜0）的图象经过点A（﹣，y1）和点B（1，y2），则下列关系式正确的是（　　） A．0＜y1＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0 【变式】已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 类型2：根据增减性求参数 13．已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______． 14．若关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x﹣3，当x≤0时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 【题型四 最值】 类型1：无范围限制 15．（1）抛物线y＝﹣x2+15有最　 　点，其坐标是　 　． （2）二次函数的最大值为 ． 16．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值，则m＝ 　． 类型2：有范围限制 17．（1）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（　　） A．y≤5 B．y≤3 C．﹣3≤y≤3 D．﹣3≤y≤5 （2）在函数y＝x2+2x﹣2中，若2≤x≤5，那么函数y的最大值是　 　． 知识梳理 三．二次函数与x轴的交点个数、一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点情况 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0    2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0    1个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac<0    没有（0个）交点 无实数根 四、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于的一元二次方程=0的解 为何值时，函数的值为0？ → 令y=0,求x 确定抛物线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 → 找抛物线与x轴的交点 求关于的一元二次不等式＞0（≠0）的解集 当二次函数的函数值大于0时，对应自变量x的取值范围 确定抛物线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 典例剖析 【考点四 交点问题】 【题型一二次函数与x轴的交点个数的判断】 18．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点 19．如果关于x的分式方程有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴无交点，那么符合条件的所有整数a的值之和是 【变式】从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这六个数中，随机取出一个数，记为m，若m使关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+1的图象与x轴有交点，且使关于x的不等式组有解，则所有满足条件的m的绝对值的和是 【 题型二 交点坐标】 20．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【变式】如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（　　） A． x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 【题型三 二次函数与方程、不等式关系】 21．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx+b的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝kx+b的解是 　 　． 22．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 【变式】二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ．    未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/22 21:49:59；用户：18875035424；邮箱：18875035424；学号：33225476 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $