2025--2026学年苏科版九年级数学上册第一次提优练习(范围：1.1---1.3)(含答案)

九年级数学第一次提优练习(范围：1.1---1.3)(20250913) 【本节知识点】 1、一元二次方程的定义： . 【典型例题】 1．（2025春•沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　 ） A．x﹣2＝0 B．x3+1＝0 C．x2﹣6x﹣8＝0 D． 2．（2024秋•易门县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　 　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 3．（2024秋•沙坪坝区）若x＝a为方程x2﹣7x+6＝0的一个解，则代数式2013﹣2a2+14a的值为（　　 ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 4．（2024秋•古丈县期末）将方程2x2+1＝3（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为　 　 ． 【本节知识点】 2、一元二次方程的解法： 、 、 、 . 【典型例题】 1．（2024秋•卫辉市期末）选用恰当的方法解方程： （1）（x+3）2＝2x+6； （2）． （1）（2x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2﹣4x﹣7＝0； （3）x（3x﹣5）＝6x﹣10； （4）（x﹣1）（x+2）＝4． 2．（2025春•雨花区校级期末）若一元二次方程（k﹣5）x2+3x+k2﹣25＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．5或﹣5 3．（2025春•霍邱县月考）关于x的一元二次方程（x﹣2）2﹣16＝0的解是　 　 ． 4．（2025春•合肥校级月考）若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　 　 ． 5．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　 　 ． 6．（2024春•宁波期中）若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　 　 ． 7．（2025春•雨花区校级期末）若（x2+y2+2）（x2+y2+3）＝12，则x2+y2＝　 　 ． 【本节知识点】 3、一元二次方程的根的判别式： (1)当b2-4ac 0时，原方程有两个不相等的实数根. (2)当b2-4ac 0时，原方程有两个相等的实数根. (3)当b2-4ac 0时，原方程没有实数根. 4、一元二次方程的根与系数的关系：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根. 则x1+x2= ;x1٠x2= ; 【典型例题】 1．（2025春•海淀区校级期末）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 2．（2025•南通）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ． 3．（2023春•兴庆区校级期中）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形的面积是 　 　 ． 4．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 5．（2025春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． (1)求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 6．（2025•高青县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 7．（2025春•钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【综合运用】 1．（2024秋•邗江区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　 　） A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4 2．（2025春•雨花区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣4＝8x是一元二次方程，则m的值是（　 　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 3．（2024秋•朝阳期末）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（　 　） A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0 4．（2024秋•祁阳市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到的方程是（　 　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣4）2＝9 5．（2025•武威二模）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ 　） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（ 　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 7．（2024秋•常宁市期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中正确的是（　　 ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 8．（2025•东港区校级模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有实数根，则a的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 9．（2025春•海宁）已知实数a，b满足4a2+4b＝n，b2+8a＝n，b≠2a，n为自然数，则n的最小值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 10．（2025春•郧阳区期末）若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论：①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则．②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解．④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（　 　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025春•合肥校级期末）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最大值是（　　 ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 12．（2025春•仓山区期末）设m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　 　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 13．（2025春•邗江区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0），下列说法：①若a﹣c＝b，则b2+4ac≥0；②若方程ax2﹣c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx﹣c＝0必有两个不相等的实根； ③若x＝c是方程ax2+bx﹣c＝0的一个根，则一定有ac+b﹣1＝0成立；④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的根，则b2+4ac＝（2ax0+b）2,其中正确的是（　　 ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 二．填空题 14．（2024秋•古丈县期末）将方程2x2+1＝3（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为　 　 ． 15．（2025•南山区校级三模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　 　 ． 16．（2025•江都区一模）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 17．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 18．（2025春•靖江市校级月考）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　 　 ． 19．（2025春•射阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 20．（2025春•徐汇区校级期末）方程（x﹣4）2＝2（x﹣4）的解是　 　 ． 21．（2025春•工业园区）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A 　 　 B．（填写“＞”或“＜”或“＝”） 22．（2025•靖江市）若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第　 　 象限． 23．（2025春•宜秀区校级月考）若实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　 　 ． 24．（2025•蒙阴县三模）阅读下面的问题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 参照上述解题方法，则x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为　 　 ． 25．（2025•岳池县模拟）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，例如：1※2＝m×12×2﹣2×1﹣1＝2m﹣3．若关于x的一元二次方程x※1＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　 ． 26．（2025•临湘市模拟）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　 　 ． 27．（2025•思明区校级模拟）已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　 　 ． 28．（2025•鼓楼区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+mn+3n+2的值为 　 　 ． 29．（2025春•沙坪坝区校级月考）实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则的值是 　 　 ． 30．（2025春•上城区校级期中）在解方程x2+mx﹣n＝0时，小王看错了m，解得方程的根为6与﹣1；小李看错了n，解得方程的根为2与﹣7，则原方程的解为 　 　 ． 三．解答题 31．（2024秋•衡山县期末）解方程： （1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）； （2）2x2﹣5x﹣2＝0． （3）2x2﹣4x+1＝0； （4）x（2x+4）＝10+5x． （5）x2+4x﹣5＝0； （6）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0． 32．（2025春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 33．（2025春•琅琊区校级期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值是 ． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 34．（2024秋•富锦市期末）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 35．（2025春•牟平区期末）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 36．（2025春•运城校级期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，即x＝﹣2时（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 即x2+4x+5的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是正整数）的形式 　 　 ； ②配方：x2﹣6x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； 【探究问题】 （2）①已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝ 　 　 ； ②已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数x、y满足﹣x2+5x+y﹣10＝0，当x＝ 　 　 时，y﹣x最小值为 　 　 ． 37．（2025春•菏泽月考）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即m2+n2，则称这个数是“完美数”．例如：因为20＝22+42，所以20是“完美数”；再比如：m2+2mn+5n2＝（m+n）2+（2n）2（m，n是正整数），所以m2+2mn+5n2也是“完美数”． （1）判断58是否是“完美数”，并说明理由； （2）已知W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； （3）已知a2+4b2﹣2a+4b+2＝0，求3a+2b的值． 38．（2025春•碧江区 校级月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　 　 ； 探究问题： （2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求x﹣2y的最大值． 39．（2024秋•通榆县期末）材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求出t﹣s的值． 40．（2025•鲤城区校级模拟）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、，且c＜5，求c的最大值． 九年级数学第一次提优练习(20250913)(答案) (范围：1.1---1.3) 【本节知识点】 1、一元二次方程的定义： . 【典型例题】 1．（2025春•沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　 C ） A．x﹣2＝0 B．x3+1＝0 C．x2﹣6x﹣8＝0 D． 2．（2024秋•易门县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　 B 　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 3．（2024秋•沙坪坝区）若x＝a为方程x2﹣7x+6＝0的一个解，则代数式2013﹣2a2+14a的值为（　D ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 4．（2024秋•古丈县期末）将方程2x2+1＝3（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为　2x2﹣3x+7＝0 　 ． 【本节知识点】 2、一元二次方程的解法： 、 、 、 . 【典型例题】 1．（2024秋•卫辉市期末）选用恰当的方法解方程： （1）（x+3）2＝2x+6； （2）． （3）（2x﹣3）2﹣9＝0； 解：（1）（x+3）2＝2（x+3），（x+3）2﹣2（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+3﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）∵， ∴2+16＝18，∴， ∴， （3）（2x﹣3）2﹣9＝0，∴（2x﹣3）2＝9．∴2x﹣3＝3或2x﹣3＝﹣3．∴x＝3或x＝0． （4）x2﹣4x﹣7＝0； （5）x（3x﹣5）＝6x﹣10； （6）（x﹣1）（x+2）＝4． （4）x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11．∴（x﹣2）2＝11．∴x﹣2＝±．∴x＝2或x＝2． （5）x（3x﹣5）＝6x﹣10，∴x（3x﹣5）﹣2（3x﹣5）＝0．∴（x﹣2）（3x﹣5）＝0．∴x＝2或x． （6）（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣2＝4．∴x2+x﹣6＝0．∴（x+3）（x﹣2）＝0．∴x＝﹣3或x＝2． 2．（2025春•雨花区校级期末）若一元二次方程（k﹣5）x2+3x+k2﹣25＝0的一个根为0，则k的值为（ C ） A．0 B．5 C．﹣5 D．5或﹣5 3．（2025春•霍邱县月考）关于x的一元二次方程（x﹣2）2﹣16＝0的解是　x1＝6，x2＝﹣2　 ． 4．（2025春•合肥校级月考）若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　 -3 　 ． 5．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 或﹣3 　 ． 6．（2024春•宁波期中）若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　 ± 　 ． 7．（2025春•雨花区校级期末）若（x2+y2+2）（x2+y2+3）＝12，则x2+y2＝　 1 　 ． 【本节知识点】 3、一元二次方程的根的判别式： (1)当b2-4ac ＞ 0时，原方程有两个不相等的实数根. (2)当b2-4ac = 0时，原方程有两个相等的实数根. (3)当b2-4ac ＜ 0时，原方程没有实数根. 4、一元二次方程的根与系数的关系：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根. 则x1+x2= ;x1٠x2= ; 【典型例题】 1．（2025春•海淀区校级期末）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 5 　 ． 2．（2025•南通）若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤3且k≠2 ． 3．（2023春•兴庆区校级期中）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形的面积是 　 2 　 ． 4．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　 且m≠0 　 ． 5．（2025春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． (1)求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． （1）证明：Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×m×（﹣5）＝4m2﹣12m+9+20m＝4m2+8m+9＝4（m+1）2+5． ∵（m+1）2≥0，∴4（m+1）2+5＞0，即Δ＞0， ∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝﹣2时，原方程为2x2﹣7x+5＝0，即（2x﹣5）（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2， ∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1＝2， ∴等腰三角形的三边只能为1，，，∴等腰三角形的周长为16． 6．（2025•高青县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m， ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣6m+9+4m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由两根关系得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m， ∵，∴，即（m﹣3）2﹣3（﹣m）＝7，即m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝2，m2＝1． 7．（2025春•钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． （1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc，9＝（k+2）2﹣2×2k，解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），故△ABC的周长C＝5； （3）解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1，解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b，解得x2，所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根，则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根，所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3，解得b＝﹣3，c＝2． 【综合运用】 1．（2024秋•邗江区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　D 　） A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4 2．（2025春•雨花区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣4＝8x是一元二次方程，则m的值是（　B 　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 3．（2024秋•朝阳期末）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（　B 　） A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0 4．（2024秋•祁阳市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到的方程是（　C 　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣4）2＝9 5．（2025•武威二模）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ A 　） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（ C　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β， ∴α+β＝﹣b，αβ＝c， ∵关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1， ∴α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b， ∴﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1，由，解得， ∴α﹣1+β﹣1＝1﹣2＝﹣1，（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝c+b+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3， ∴以两实数根分别为α﹣1，β﹣1的方程是x2+x﹣3＝0，故选：C． 7．（2024秋•常宁市期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．其中正确的是（　B ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 解：∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∴b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2， ∵（a﹣c）2≥0，∴b2﹣4ac≥0，故①正确． ∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴0﹣4ac＞0，即4ac＜0． 又∵Δ＝b2﹣4ac，且b2≥0，∴Δ＞0，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故②正确． ∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②．故选：B． 8．（2025•东港区校级模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有实数根，则a的取值范围是（　D　） A． B． C． D． 解：由条件可知x2﹣2x﹣3a＝3，即x2﹣2x﹣3（a+1）＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝4+12（a+1）≥0， 解得：．故选：D． 9．（2025春•海宁）已知实数a，b满足4a2+4b＝n，b2+8a＝n，b≠2a，n为自然数，则n的最小值是（　C　） A．11 B．12 C．13 D．14 解：由条件可知4a2+4b＝b2+8a，整理得b2﹣4a2﹣4b+8a＝0， （b2﹣4a2）﹣4（b﹣2a）＝0，（b﹣2a）（b+2a）﹣4（b﹣2a）＝0， （b﹣2a）（b+2a﹣4）＝0．∵b≠2a，∴b+2a﹣4＝0，即b＝4﹣2a． 将b＝4﹣2a代入4a2+4b＝n，得：n＝4a2+4（4﹣2a）＝4（a﹣1）2+12． 由条件可知4﹣2a≠2a，即a≠1，故（a﹣1）2＞0．即n＝4（a﹣1）2+12＞12， 因n为自然数，故n的最小值是13，此时，此时，符合题意，故选：C． 10．（2025春•郧阳区期末）若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论：①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则．②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解．④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（　B　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝﹣2代入方程得4c﹣4+1＝0，解得，故①错误； ②一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程为cx2+bx+a＝0，则联立得：， 两式相减得到（a﹣c）x2+c﹣a＝0，则（a﹣c）（x2﹣1）＝0， 由于x2﹣1＝0，解得：x＝±1，故有公共解x＝±1，前提需要a﹣b+c＝0或a+b+c＝0故②不正确； ③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＜0， 而倒方程为cx2﹣2x+a＝0，那么根的判别式也为Δ＜0，故它的倒方程也无解，故③正确； ④当ac＜0时，一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；故选：B． 11．（2025春•合肥校级期末）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最大值是（　D ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解：∵关于x的一元二次方程 2（x﹣1）2﹣1＝0与 （a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”， ∴第二个方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可以写成的形式， ∴展开得：， ∴a+1＝a2，b﹣2＝﹣2a2，﹣2＝a2﹣1，解得：a2＝﹣1，a＝﹣2，b＝4， ∴ax2+bx+2024＝﹣2x2+4x+2024＝﹣2（x﹣1）2+2026， ∵﹣2（x﹣1）2≤0，∴﹣2（x﹣1）2+2026≤2026，∴ax2+bx+2024能取的最大值是2026．故选：D． 12．（2025春•仓山区期末）设m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　B 　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解：∵关于x的一元二次方程 2（x﹣1）2﹣1＝0与 （a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”， ∴第二个方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可以写成的形式， ∴展开得：， ∴a+1＝a2，b﹣2＝﹣2a2，﹣2＝a2﹣1，解得：a2＝﹣1，a＝﹣2，b＝4， ∴ax2+bx+2024＝﹣2x2+4x+2024＝﹣2（x﹣1）2+2026， ∵﹣2（x﹣1）2≤0，∴﹣2（x﹣1）2+2026≤2026，∴ax2+bx+2024能取的最大值是2026．故选：D． 13．（2025春•邗江区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0），下列说法：①若a﹣c＝b，则b2+4ac≥0；②若方程ax2﹣c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx﹣c＝0必有两个不相等的实根； ③若x＝c是方程ax2+bx﹣c＝0的一个根，则一定有ac+b﹣1＝0成立；④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的根，则b2+4ac＝（2ax0+b）2,其中正确的是（　A ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 解：∵关于x的一元二次方程 2（x﹣1）2﹣1＝0与 （a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”， ∴第二个方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可以写成的形式， ∴展开得：， ∴a+1＝a2，b﹣2＝﹣2a2，﹣2＝a2﹣1，解得：a2＝﹣1，a＝﹣2，b＝4， ∴ax2+bx+2024＝﹣2x2+4x+2024＝﹣2（x﹣1）2+2026， ∵﹣2（x﹣1）2≤0，∴﹣2（x﹣1）2+2026≤2026，∴ax2+bx+2024能取的最大值是2026．故选：D． 二．填空题 14．（2024秋•古丈县期末）将方程2x2+1＝3（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为　2x2﹣3x+7＝0 　 ． 15．（2025•南山区校级三模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　 2026　 ． 16．（2025•江都区）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣1且k≠0 ． 17．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　 且m≠0 　 ． 解：∵【x，x+1】★（mx）＝0，【a，b】★c＝ac+b，∴x•mx+x+1＝0， ∴mx2+x+1＝0，即【x，x+1】★（mx）＝mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4×m×1＝1﹣4m＞0，且m≠0，解得：且m≠0，故答案为：且m≠0． 18．（2025春•靖江市校级月考）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+2b﹣3c的值为 　 ﹣2 　 ． 解：由条件可知a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a+11＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+2b﹣3c＝3+2×（﹣1）﹣3×1＝﹣2，故答案为：﹣2． 19．（2025春•射阳县校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜2且m≠1　 ． 解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（m﹣1）＝8﹣4m＞0，且m﹣1≠0， 解得：m＜2且m≠1．故答案为：m＜2且m≠1． 20．（2025春•徐汇区校级期末）方程（x﹣4）2＝2（x﹣4）的解是　x1＝4，x2＝6 　 ． 21．（2025春•工业园区）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A 　 ＜ 　 B．（填写“＞”或“＜”或“＝”） 解：∵B﹣A＝（x2+2x+2y）﹣（﹣y2+4x﹣3）＝x2﹣2x+y2+2y+3＝（x﹣1）2+（y+1）2+1＞0， ∴A＜B，故答案为：＜． 22．（2025•靖江市）若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第　 三 　 象限． 解：由题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＞0，解得：k＜2，∴k﹣2＜0， ∴函数y＝（k﹣2）x+1过第一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三． 23．（2025春•宜秀区校级月考）若实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　 1 　 ． 解：设a＝x2+y2，则a（a+3）＝4， a2+3a﹣4＝0，即（a+4）（a﹣1）＝0，解得：a1＝﹣4，a2＝1， ∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1．故答案为：1． 24．（2025•蒙阴县三模）阅读下面的问题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 参照上述解题方法，则x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为　x1＝1；x2＝﹣2　 ． 解：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）； （2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2， 综上所述，原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2，故答案为：x1＝1；x2＝﹣2． 25．（2025•岳池县模拟）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，例如：1※2＝m×12×2﹣2×1﹣1＝2m﹣3．若关于x的一元二次方程x※1＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 -1 　 ． 解：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，∴x※1＝mx2﹣2x﹣1＝0， ∵方程有2个相等的实数根，∴Δ＝4+4m＝0，∴m＝﹣1；故答案为：﹣1． 26．（2025•临湘市模拟）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　 2 　 ． 解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根， ∴m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，m+n＝2022，mn＝2023， ∴m2﹣2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1， ∴（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝2023﹣2022+1＝2， 故答案是：2． 27．（2025•思明区校级模拟）已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　﹣5＜k＜﹣1　 ． 解：∵m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．∴m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0， ∴m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根， ∵Δ＝42﹣4（﹣k﹣1）＞0，解得k＞﹣5， 根据根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1，即mn＝k+1， ∵m，n异号，∴k+1＜0，解得k＜﹣1，∴k的取值范围为﹣5＜k＜﹣1．故答案为：﹣5＜k＜﹣1． 28．（2025•鼓楼区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+mn+3n+2的值为 　 11 　 ． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m+n＝3，mn＝﹣2025，且m2﹣3m﹣2025＝0， 则m2﹣3m＝2025， ∴m2+mn+3n+2＝m2﹣3m+mn+3（m+n）+2＝2025+（﹣2025）+3×3+2＝11．故答案为：11． 29．（2025春•沙坪坝区校级月考）实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则的值是 　 3 　 ． 解：∵实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n， ∴m与n为方程x2﹣3x+2＝0的两个根，∴m+n＝3，mn＝1，则原式3．故答案为：3． 30．（2025春•上城区校级期中）在解方程x2+mx﹣n＝0时，小王看错了m，解得方程的根为6与﹣1；小李看错了n，解得方程的根为2与﹣7，则原方程的解为 　x1＝1，x2＝﹣6 　 ． 解：根据根与系数关系得，﹣n＝6×（﹣1），﹣m＝2﹣7，解得：n＝6，m＝5， ∴原方程为x2+5x﹣6＝0，（x﹣1）（x+6）＝0，x﹣1＝0或x+6＝0，∴x1＝1，x2＝﹣6， 故答案为：x1＝1，x2＝﹣6． 三．解答题 31．（2024秋•衡山县期末）解方程： （1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）； （2）2x2﹣5x﹣2＝0． （3）2x2﹣4x+1＝0； 解： （1）∵（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x＝1或x＝3，∴x1＝1，x2＝3； （2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝41＞0， ∴x，∴． （3）x2﹣2x，x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，∴x﹣1＝±，∴x1＝1，x2＝1； （4）x（2x+4）＝10+5x． （5）x2+4x﹣5＝0； （6）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0． 解：（4） 2x（x+2）﹣5（x+2）＝0，（x+2）（2x﹣5）＝0，∴x+2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝﹣2，x2． （5）（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1； （6）x（x﹣3）+4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x+4）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝3． 32．（2025春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 解：（1）由于Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根； （2）由于（x+1）（x+m﹣1）＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣m+1， ∵此方程有一个根是负数，∴﹣m+1≥0，∴m的取值范围是m≤1． 33．（2025春•琅琊区校级期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 解：（1）y2+10y+27＝y2+10y+25+2＝（y+5）2+2， ∵（y+5）2≥0，∴（y+5）2+2≥2，∴y2+10y+27的最小值是2； （2）8﹣m2+4m＝﹣（m2﹣4m）+8＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8＝﹣（m﹣2）2+12， ∵﹣（m﹣2）2≤0，∴﹣（m﹣2）2+12≤12，∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12； （3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b）＝4a2+b2+11﹣12a+2b＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0，∴4a2+b2+11＞12a﹣2b． 34．（2024秋•富锦市期末）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． （1）解：当a＝3，b＝4时，c＝±5，相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0； （2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 35．（2025春•牟平区期末）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形；理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形；理由如下： 根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为2x2+2x＝0， 2x（x+1）＝0，2x＝0或x+1＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 36．（2025春•运城校级期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，即x＝﹣2时（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 即x2+4x+5的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是正整数）的形式 　22+32　 ； ②配方：x2﹣6x+　9　 ＝（x﹣　3　 ）2； 【探究问题】 （2）①已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝ 　﹣1　 ； ②已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数x、y满足﹣x2+5x+y﹣10＝0，当x＝ 　3　 时，y﹣x最小值为 　1　 ． 解：【解决问题】 （1）①∵13是“完美数”，∴13＝22+32； ②配方：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故答案为：①22+32；②9，3； 【探究问题】 （2）①∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0，∴x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝﹣1，故答案为：﹣1； ②k＝13，理由如下： ∵S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），∴S＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13， ∴S＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13， ∵S为“完美数”，∴k﹣13＝0，即k＝13； 【拓展结论】 （3）∵﹣x2+5x+y﹣10＝0，∴﹣x2+6x﹣9+y﹣x﹣1＝0，∴y﹣x＝x2﹣6x+9+1，∴y﹣x＝（x﹣3）2+1， ∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+1≥1，∴当x＝3时，（x﹣3）2+1有最小值1， 即当x＝3 时，y﹣x最小值为1．故答案为：3，1． 37．（2025春•菏泽月考）若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即m2+n2，则称这个数是“完美数”．例如：因为20＝22+42，所以20是“完美数”；再比如：m2+2mn+5n2＝（m+n）2+（2n）2（m，n是正整数），所以m2+2mn+5n2也是“完美数”． （1）判断58是否是“完美数”，并说明理由； （2）已知W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； （3）已知a2+4b2﹣2a+4b+2＝0，求3a+2b的值． 解：（1）58是“完美数”．理由如下： ∵58＝32+72，∴符合“完美数”的定义． （2）由题意得，W＝5a2+4ab+4b2﹣4a+k＝（a+2b）2+（4a2﹣4a+k）． ∴要使W为“完美数”，需4a2﹣4a+k是完全平方式．∴k＝1． （3）由题意，∵a2+4b2﹣2a+4b+2＝0，∴（a﹣1）2+（2b+1）2＝0．∴a＝1，． ∴． 38．（2025春•碧江区 校级月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　29＝22+52　 ； 探究问题： （2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数x、y满足，求x﹣2y的最大值． 解：（1）根据题意得：29＝22+52，故答案为：29＝22+52． （2）当k＝13时，S为“完美数”，理由如下： 当k＝13时， ∴S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）＝（x+2）2+（2y﹣3）2， ∵x，y是整数，∴x+2，2y﹣3也是整数，∴S是一个“完美数”． （3）由题意，∵，∴， ∴x﹣2y＝x﹣2（x2﹣5x+5）＝﹣2x2+6x﹣10＝﹣2（x2﹣3x）﹣10 ， 又∵，∴．∴x﹣2y的最大值为：． 39．（2024秋•通榆县期末）材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 　　 ；x1x2＝ 　　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求出t﹣s的值． 解：（1）∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，∴，，故答案为：； （2）由题意可知，， ∴． （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，s≠t， ∴实数s、t是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴，， ∴，∴，即或 40．（2025•鲤城区校级模拟）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、，且c＜5，求c的最大值． 解：（1）当m≠n时，由题意知，m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根，∴， ∴原式， 当m＝n，则原式＝1+1＝2；综上所述，原式的值为或2； （2）∵，∴将a、b看作是方程 的两实数根， ∵，而 c＜5，∴（5﹣c）3≥64，∴5﹣c≥4，即c≤1，∴c的最大值为1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $