13.3 三角形的内角与外角（题型梳理）　　2025-2026学年人教版数学八年级上册

1．三角形内角和定理：

（1）定理：三角形三个内角的和等于180°．

（2）表示方法：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．

（3）三角形内角和的证明：

①剪拼法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角．

②利用“平行线的性质”证明：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角．

【注意】证明三角形内角和定理的方法很多，但其思路主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个角，再说明这个角是平角即可．

2．直角三角形的性质与判定：

（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．

如图，在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° ．

（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．

如图，在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形．

（3）直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．

3．三角形的外角

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角．

（2）三角形外角的性质

①三角形内角和定理的推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

如图，在 △ABC 中，∠ACD=∠CBA+∠CAB，∠CBF=∠ACB+∠CAB，∠BAE=∠CBA+∠ACB．

②三角形内角和定理的推论2：三角形的外角和等于360°．

如图，在 △ABC 中，∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．

③三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

如图，在 △ABC 中，∠ACD>∠CBA， ∠ACD>∠CAB；∠CBF>∠CAB， ∠CBF>∠ACB；∠BAE>∠ACB， ∠BAE>∠CBA．

1．因为三角形三个内角的和等于180°，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°．

2．三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三角形共有六个外角．在每个顶点处各取一个外角，则三角形的外角和为 360°．如图∠