13.2 与三角形有关的线段（题型梳理）　　2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】三角形三边关系及应用 5 【题型2】三角形的稳定性 7 【题型3】与三角形的中线、高、角平分线有关的计算 9 【题型4】三角形的周长问题 14 【题型5】与三角形的面积问题 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 1．三角形的三边关系： （1）定理：三角形任意两边的和大于第三边． 如图，在中，a+b>c，b+c>a，a+c>b． （2）推论：三角形任意两边的差小于第三边． 如图，在中，|a－b|<c，|b－c|<a，|a－c|<b． （3）理论依据：两点之间，线段最短． 2．三角形的稳定性 （1）三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． （2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 【注意】四边形没有稳定性． 3．三角形的中线 （1）三角形的中线的定义：如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线，BD＝CD＝BC． （2）三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 4．三角形的角平分线 （1）定义：如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． （2）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点（三角形的内心）． 5．三角形的高 （1）定义：如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°（或AD⊥BC于D）； （2）三角形的高的画法： 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （3）三角形的高的位置： 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 三条高的位置 锐角三角形的三条高都在三角形的内部 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1．三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2．关于三角形的中线的理解 （1）三角形的中线是线段； （2）三角形三条中线全在三角形内部； （3）中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 3．关于三角形的角平分线的理解 （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线． 4．关于三角形的高的理解 （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心． 5．判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】三角形三边关系及应用 典例 （2024秋•商丘期末）如用三根木棒首尾相接围成△ABC，其中AC＝7cm，BC＝9cm，则木棒AB的长可能是（　　） A．1cm B．2cm C．15cm D．16cm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：∵三根木棒首尾相接围成△ABC，AC＝7cm，BC＝9cm， ∴9cm﹣7cm＜AB＜9cm+7cm， ∴2cm＜AB＜16cm， 故选：C． 方法点拨 若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 【变式1】　（2024秋•老河口市期末）用下列长度的三根木棒首尾顺次联结，能做成三角形框架的是（　　） A．1dm、2dm、3dm B．2dm、2dm、4dm C．3dm、2dm、3dm D．2dm、6dm、3dm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可以判断各个选项中的三条线段能否构成三角形，本题得以解决． 【解答】解：∵1+2＝3，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； ∵2+2＝4，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； ∵3+2＞3，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意； ∵2+3＜6，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】　（2025春•栾城区期末）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 【答案】B 【分析】首先根据三角形的三边关系确定x的取值范围，再去绝对值计算即可解答． 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式3】　（2025春•泉州期末）某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得CA＝8米，CB＝7米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：∵CA＝8米，CB＝7米， ∴8﹣7＜AB＜8+7，即1＜AB＜15． 故选：D． 【题型2】三角形的稳定性 典例 （2025春•碑林区校级期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 方法点拨 三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．四边形没有稳定性． 【变式1】　（2025春•于洪区期末）如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式2】　（2025春•南阳期末）下列图形不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性的性质判定即可． 【解答】解：A图形是三角形，具有稳定性，不符合题意； B图形是三角形，具有稳定性，不符合题意； C图形是三角形，不具有稳定性，不符合题意； D图形是四边形，不具有稳定性，符合题意； 故选：D． 【变式3】　（2025•常州校级一模）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答． 【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【题型3】与三角形的中线、高、角平分线有关的计算 典例 （2025•碑林区一模）如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【分析】由AD是边BC上的中线，得到BC＝2CD＝8（cm），根据AB+AC+BC＝20（cm），求得AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）． 【解答】解：∵AD是边BC上的垂线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 方法点拨 1．关于三角形的中线的理解 （1）三角形的中线是线段； （2）三角形三条中线全在三角形内部； （3）中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 2．“角平分线+平行”模型 如图，以下三个条件：①∠1=∠2；②DE∥AB；③∠1=∠3．已知其中两个，可以推出第三个一定成立．该结论常被应用于证明角相等或线平行． 3．高的有关计算 （1）已知底和面积求高：这是最直接的方法，适用于已知三角形底边长度和面积的情况． （2）已知边长和角度求高：适用于已知三角形两边及夹角或三边长度的情况． 【变式1】　（2025春•衡阳县期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 故答案为：10． 【变式2】　（2025春•秦都区期末）如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分线，点D在AC边上（不与点A、C重合），连接BD交CE于点F． （1）若BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝9，求△ABD与△BCD的周长之差； （2）若BD是△ABC的高，∠ACB＝68°，求∠BFC的度数． 【答案】（1）1； （2）124°． 【分析】（1）根据三角形中线的定义得到AD＝CD，利用三角形的周长公式表示出△ABD与△BCD的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到∠BDC＝90°，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD． ∵AB＝10，BC＝9， ∴△ABD的周长＝AD+BD+10，△BCD的周长＝CD+BD+9． ∴△ABD与△BCD的周长之和为AD+BD+10﹣（CD+BD+9） ＝AD+BD+10﹣CD﹣BD﹣9 ＝10﹣9 ＝1， 即△ABD与△BCD的周长之差为1； （2）∵BD是△ABC的高， ∴∠BDC＝90°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠BFC＝∠BDC+∠DCF＝90°+34°＝124°， 即∠BFC的度数为124°． 【变式3】　（2025春•裕华区校级期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【答案】（1）1； （2）121°． 【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角形的外角定理可得∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长+△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 【题型4】三角形的周长问题 典例 （2025春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是8cm，△ABD的周长是10cm，AB比AC长多少厘米？ 【答案】2厘米． 【分析】由三角形的中线定义得到BD＝CD，于是得到△ABD与△ACD周长的差＝AB﹣AC＝2厘未． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣8＝2（厘米）， ∴AB比AC长2厘米． 方法点拨 三角形的周长问题先将周长用线段的和表示，再分析题目中线段之间的数量关系，列式求解． 【变式1】　（2024秋•西安期末）如图，在△ABC中，CD是中线，已知BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝BD，然后根据三角形的周长的定义求出△DBC的周长﹣△ADC的周长＝BC﹣AC，代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵CD是垂线， ∴AD＝BD， ∴△DBC的周长﹣△ADC的周长＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC， ∵BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm， ∴25﹣△ADC的周长＝5， 解得，△ADC的周长＝20cm． 【变式2】　（2024秋•阎良区期末）已知△ABC，AD是BC边上的中线，且AC＝4，若△ABD的周长比△ACD的周长大5，求AB的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据中线的性质得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 由题意得，（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝5， 则AB﹣AC＝5，又AC＝4， 解得AB＝9． 【变式3】　（2024秋•吉首市校级期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 【答案】AC＝48，AB＝28． 【分析】由题意可得AC+CD＝60，AB+BD＝40，由中线的性质得AC＝2BC＝4CD＝4BD，故可求得AC＝48，即可求得AB＝28． 【解答】解：由题意知AC+CD+BD+AB＝100，AC+CD＝60，AB+BD＝40， ∵AC＝2BC，D为BC中点， ∴AC＝2BC＝4CD＝4BD， ∴， 即， 则BC＝24，CD＝BD＝12， 则AB＝40﹣BD＝40﹣12＝28． 且48＞28符合题意． 【题型5】与三角形的面积问题 典例 （2024秋•肥城市期末）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　　 ． 【答案】6． 【分析】根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【解答】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的垂足， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 方法点拨 1．三角形的面积只与底和高有关，而三角形的中线把三角形分成两个底边相等的三角形，由等底同高的三角形的面积相等可知，这两个小三角形的面积相等． 【变式1】　（2025春•雁塔区校级期末）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2】　（2023秋•桂林期末）如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积5（cm2）， ∵E是AB的中点， ∴△BDE的面积＝△ABD的面积2.5（cm2）， 故选：C． 【变式3】　（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积不等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 学科网（北京）股份有限公司 $