13.3.1.1三角形的内角和（课件）　2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第一课时 三角形的内角和 学习目标 经历探究活动的过程,多角度探索并证明三角形内角和定理,体会证明的必要性. 获取添加辅助线的思路和方法,能用平行线的性质证明三角形内角和等于180 . 应用三角形内角和定理解决实际问题,提高发现问题和解决问题的能力. 情境导入 请你帮忙评判一下这些关于三角形内角和的观点 我是钝角三角形,我有一个钝角,我的内角和最大! 我是锐角三角形,我的形状最小,我的内角和也最小! 我是直角三角形, 我的形状最大, 我的内角和肯 定最大! 探究新知 知识点 三角形的内角和 在小学我们已经知道,三角形的内角和等于180 ,我们是如何验证这一结论的? (有误差) (只能对有限个三角形使用这些方法) 1 测量 2 剪拼方法 3 折叠方法 这样的方法获得的结论可靠吗? 这些验证不是数学证明,需要通过推理的方法来证明. 知识点 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180 . A B C 已知: ABC. 求证:∠A +∠B +∠C = 180 . ? 命题证明 画图写出 已知求证 证明过程 知识点 三角形的内角和 探 究 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗? A B C A B C B C B A B C A A B C 将三个角拼合到一起的目的是什么? 为了得到一个平角. 有了平角,根据平角定义,就得到了180 . 知识点 三角形的内角和 从下图给出的操作过程中,你能发现证明的思路吗? B B C C A l A B C l 1 2 3 4 5 直线 l 与 ABC 的边 BC 有什么关系? 直线 l∥BC 证明 思路 过点A作直线l//BC 由平行线的性质,转移∠B和∠C 由平角定义得到 180 知识点 三角形的内角和 A B C l 1 2 3 4 5 已知: ABC. 求证:∠A +∠B +∠C = 180 . 证明:如图,过点 A 作直线 l,使 l // BC. ∵l // BC,∴∠2 =∠4 (两直线平行 内错角相等) 同理 ∠3 =∠5. ∵∠1,∠4,∠5 组成平角 ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180 (等量代换). ∴∠1 +∠4 + ∠5 = 180 (平角定义). 还有其他证明方法吗? 知识点 三角形的内角和 三角形的内角和定理 A B C 三角形的内角和等于180 . 几何语言: 在 ABC 中, ∠A +∠B +∠C = 180 知识点 三角形的内角和 B B C A A l 从下图给出的操作过程中,你能发现其他证明的思路吗? 探 究 A B C l 1 2 3 4 5 知识点 三角形的内角和 证法2: 延长 BC,过点 C 作直线 l,使 l // AB. ∵l // AB,∴∠1 =∠4 (两直线平行 内错角相等) 且 ∠2 =∠5. ∵∠3,∠4,∠5 组成平角, ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180 (等量代换). ∴∠3 +∠4 + ∠5 = 180 (平角定义). A B C l 1 2 3 4 5 (两直线平行 同位角相等). 转化思想 通过前面的操作和证明过程,你有什么启发?你能用其他方法证明此定理吗? C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 借助平行线“移角”功能,将三个角转化成一个平角. 知识点 三角形的内角和 ①依据平角定义,得到180 除了构造平角得到180 外,还有其他方式吗? 思路②如何添加辅助线? 利用平行线的性质,转移角 添加平行线(辅助线) ②两直线平行,同旁内角互补 A B C l 2 1 F 1 4 2 3 D E A B C 知识点 三角形的内角和 证法三 证法四 针对训练 如图,说出各图中∠1 的度数. 30 105 1 (2) 80 50 1 (1) 22 1 (3) 50 45 68 ∠1 = 180 – 50 – 80 = 50 ∠1 = 180 – 105 – 30 = 45 ∠1 = 180 – 22 – 90 = 68 针对训练 【选自教材P12例题 第1题】 例1 A C B D 如图,在 ABC中,∠BAC= 40 ,∠B=75 ,AD是 ABC的角平分线. 求∠ADB的度数. 针对训练 【选自教材P12例题 第1题】 A C B D 解:由∠BAC = 40 ,AD 是 ABC 的角平分线,得 在 ABD 中, ∠ADB = 180 – ∠B – ∠BAD = 180 – 75 – 20 = 85 . 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 例2 下图是A,B,C 三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东 50 方向,B岛在 A 岛的北偏东80 方向, C岛在B岛的北偏西 40 方向. 从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB 呢? 北 北 C A B D E 80 40 ? 50 ? 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 分析:A,B,C三岛的连线构成 ABC,所求的∠ABC ,∠ACB 是 ABC 的内角. 如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求∠ACB. 北 北 C A B D E 80 40 ? 50 ? 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 解:∠CAB = ∠BAD – ∠CAD = 80 – 50 = 30 . 在 ABC 中, 答:从 B 岛看 A,C 两岛的视角∠ABC 是 60 , 从 C 岛看 A,B 两岛的视角∠ACB 是 90 . 所以∠ABE= 180 – ∠BAD = 180 – 80 =100 , 北 北 C A B D E 80 40 50 由 AD // BE,得∠BAD +∠ABE = 180 . ∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 100 – 40 = 60 . ∠ACB= 180 – ∠ABC – ∠CAB = 180 – 60 – 30 = 90 . 还有其他证明方法吗? 针对训练 【选自教材P12例题 第2题】 解:过点C作CF // AD,则CF // BE. 所以∠ABC = 180 – ∠BAD – ∠4 = 180 – 80 – 40 = 60 . 由 AD // BE,得 ∠BAD +∠ABE = 180 . 北 北 C A B D E 80 40 50 1 2 F 3 4 答:从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是 60 , 从C岛看A,B 两岛的视角∠ACB是90 . ∴∠1 = ∠3 ,∠2 = ∠4 (两直线平行 内错角相等) ∴∠ACB = ∠1 +∠2 = ∠3 +∠4 = 50 + 40 = 90 (等量代换) 随堂演练 【选自教材P13练习 第1题】 1. 如图,从A处观测C处的仰角∠CAD=30 ,从B处观测C处的仰角∠CBD=45 .从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度? C A B D 随堂演练 【选自教材P13练习 第1题】 C A B D 解:在 ABC 中, 在 BCD 中, ∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60 – 45 = 15 . ∠ACD = 180 – (∠BAD +∠CAD) = 180 – (30 + 90 ) = 60 . ∠BCD = 180 – (∠CBD +∠D) = 180 – (45 + 90 ) = 45 . 随堂演练 【选自教材P13练习 第2题】 2. 如图,在 ABC 中,∠A = 40 ,求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数. C A B D E 随堂演练 【选自教材P13练习 第2题】 C A B D E 解:在 ADE 中, 在 ABC 中, ∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140 + 140 = 280 . ∠ACD +∠AED = 180 –∠A = 180 – 40 = 140 . = 180 – 40 = 140 . ∠B +∠C = 180 – ∠A 随堂演练 3. 已知∠A、∠B、∠C是 ABC的三个内角. (1)若∠A = 95 ,∠B = 40 ,则∠C =_; (2)若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9,则∠C =_; (3)若∠A = 2∠B = 6∠C,则∠B =_. (1)∠C = 180 –∠A –∠B 45 (2)设∠A = 4x ,则∠B = 5x ,∠C = 9x ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90 54 (3)设∠C = x ,则∠A = 6x ,∠B = 3x ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 课堂小结 应用 证法 三角形的内角和等于180 求角度 转化为一个平角或同旁内角互补 $