2.4 整式的加减 　课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

2.4 整式的加减 22251 2.4.1 同类项 22251 1.理解同类项的概念. 2.在根据同类项的概念在多项式中找同类项. 3.在学习中体会数学的分类思想. 学习目标 22251 观察超市货物摆放 情境导入 22251 下面9种商品可以分为哪几类？请同学们分一分. 蔬菜：___________________. 水果：___________________. 电器：___________________. 22251 5 举一反三：将下列代数式分类. 3x2y，-4xy2， -3， 5x2y， 2xy2， 5 3x2y和5x2y -4xy2和2xy2 -3和5 这些被归为同一类的项有什么相同特征? 探究新知 22251 3x2y和5x2y -4xy2和2xy2 -3和5 所含字母________. 相同字母的指数________. 相同 相同 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项. 注意：所有的常数项都是同类项. 二者缺一不可！ 两相同 22251 下列各组式子中，是同类项的有哪些？ ①xy2与 xy2； ②3ab2与4a2b； ③4abc与cab； ④b3与43； ⑤ 与6； ⑥5a2b3c与a2b3 . √ × √ × √ × 判断同类项的关键是“一相同”“一相等”“两无关”： ①“一相同”：所含字母完全相同； ②“一相等”：相同字母的指数都相等； ③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关. 试一试 22251 例1 指出下列多项式中的同类项： （1）3x-2y+1+3y-2x-5； （2）3x2y-2xy2+ . 解：（1）3x与-2x是同类项，-2y与3y是同类项，1与-5是同类项. （2）3x2y与- 是同类项，-2xy2与 是同类项. 寻找多项式中的同类项，注意带上前面的符号！ 典例分析 22251 解：要使3xky与-x2y是同类项，那么这两项中x的指数必须相等，即k=2. 所以当k=2时， 3xky与-x2y是同类项. 例2 k取何值时，3xky与-x2y是同类项？ 22251 1.同类项是（ ） A.含有相同字母 B.所含字母完全相同的项 C.所含字母相同且次数也相同的项 D.所含字母相同且相同字母的次数也分别相同的项 D 当堂检测 22251 2.将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来. 3x2y -2 4m 5xy2 -ab ba -6xy2 3 -4x2y m 22251 3.写出3ab2c3的一个同类项. 你能写出多少个？ 4.k取何值时，-3x2yk与4x2y6是同类项？ 解：2ab2c3， ab2c3， 4ab2c3…，可以写无数个. 解：要使-3x2yk与4x2y6是同类项，那么这两项中的字母x、y的指数必须分别相等，即k=6. 所以当k=6时， -3x2yk与4x2y6是同类项. 22251 5.若关于x、y的单项式2x｜2a+1｜y与 xy｜b｜是同类项，其中a、b互为倒数，求a2+2b的值. 解：根据题意，得｜2a+1｜=1，｜b｜=1， 所以a=0或-1，b=1或-1. 又因为a、b互为倒数，所以a=-1，b=-1. 当a=-1，b=-1时，a2+2b=(-1)2+2×(-1)=1-2=-1. 22251 同类项 ①“一相同”：所含字母完全相同； ②“一相等”：相同字母的指数都相等； ③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项. 注意 数学思想：分类、归纳 课堂总结 22251 2.4.2 合并同类项 22251 1.掌握合并同类项的法则，并能准确合并同类项. 2.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算. 22251 妈妈：2个包子和1根油条. 爸爸：3个包子和2根油条. 小明：1个包子和2根油条. 6个包子 5根油条 生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来 如果你是小明，你会怎么买？ 22251 1.运用运算律计算：8×2+5×2 =(8+5)×2=26. 2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y =(3+5)x2y =8x2y 如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化. 22251 对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并： 3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5 =3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5 加法的交换律 =(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5) 加法的结合律 =(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5) 乘法的分配律 =8x2y-2xy2+2 22251 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. 3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y 相加 不变 合并同类项 系数相加 字母及其指数不变 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变. 简记为：一相加，两不变 22251 例3 例1 合并下列多项式中的同类项： （1）2a2b-3a2b+ 解：原式 三项都是同类项 （2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3 原式=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3 =a3+b3 =a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3 22251 合并同类项的步骤： 1.找出同类项，项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项符号； 2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起； 3.根据合并同类项的法则合并同类项； 4.写出合并后的结果. 一找、二移、三合、四写 22251 解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1 例2 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3. 先合并同类项 =(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1 =2x2-1 当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17. 把x=-3直接代入多项式求值，比较一下，哪个解法更简便？ 先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便. 22251 例3 如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少?如果长方形的长为 a m呢? a a 解：我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为 a m，求窗框所需材料的长度. 22251 a a 如果长方形的长为a m，那么它的宽为 a m.由图不难知道，窗框所需材料的长度为 =(9+6+π)a =(15+π)a（m）. 要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可. 22251 a a 例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料的长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有 (15+π)a ≈(15+3.14)×0.4 =18.14×0.4 =7.256 ≈7.3(m). 所以，当长方形的长为 0.4m时，窗框所需材料的长度约为7.3m. 22251 a a 当a=0.5时， (15+π)a ≈(15+3.14)×0.5 =18.14×0.5 =9.07 ≈9.1(m). 当a=0.6时， (15+π)a ≈(15+3.14)×0.6 =18.14×0.6 =10.884 ≈10.9(m). 所以，当长方形的长为 0.5m时，窗框所需材料的长度约为9.1m；当长方形的长为 0.6m时，窗框所需材料的长度约为10.9m. 22251 1.若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项后，结果是______. 0 2.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： （1）3x-2x2+5+3x2-2x-5 解：3x-2x2+5+3x2-2x-5 =3x-2x-2x2+3x2+5-5 =(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5) =x+x2 （2） 6a2-5b2+2ab+5b2-6a2 解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2 =6a2-6a2-5b2+5b2+2ab =(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab =2ab 22251 3.求多项式的值：2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1. 解：2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1 =2x2-2x2-3xy-2xy+5xy+y2-2y+1 =(2-2)x2+(-3-2+5)xy+y2-2y+1 =y2-2y+1 当x = ，y =-1时，原式=(-1)2-2×(-1)+1=4. 22251 4.某环保组织有三个工作组，这三个组参加了植树造林活动，其中甲组植树x棵，乙组的植树棵数比甲组的2倍少5，丙组的植树棵数比甲组的一半多10. （1）这三个组一共植树多少棵? （2）当甲组植树40棵时，这三个组一共植树多少棵? 解：（1）根据题意，得乙组植树(2x-5)棵，丙组植树 ( x+10)棵， 所以这三个组一共植树x+2x-5+ x+10=(1+2+ )x+(-5+10)= x+5（棵）. （2）当x=40时， x+5= ×40+5=145（棵），所以这三个组一共植树145棵. 22251 同类项 ①“一相同”：所含字母完全相同； ②“一相等”：相同字母的指数都相等； ③“两无关”：与系数、字母的排列顺序无关. 合并同类项 ①系数相加 ②字母及其指数不变 一找、二移、三合、四写 步骤 法则 22251 2.4.3 去括号和添括号 22251 33 1.掌握去括号和添括号法则，能应用其将整式灵活变形，进行代数式化简和计算. 2.能利用去括号和添括号法则解决简单的问题. 22251 请同学们回忆一下有理数的加法结合律? a+(b+c)=a+b+c ① 22251 对于等式①，我们可以结合下面的实例来理解： 周三下午，校图书馆内起初有a位同学. 后来又有一些同学前来阅读，第一批来了b位同学，第二批又来了c位同学，则图书馆内共有________位同学. 我们还可以这样理解：后来两批一共来了________位同学，因而图书馆内共有________位同学. 由于_______和________均表示同一个量，于是，我们便可以得到等式①. a+b+c b+c a+(b+c) a+b+c a+(b+c) 22251 做一做：若图书馆内原有a位同学. 后来有些同学因上课要离开，第一批走了b位同学，第二批又走了c位同学. 试用两种方式写出图书馆内还剩下的同学数，你能从中发现什么关系？ 方法一：a-b-c 方法二：a-(b+c) 我们发现： a-(b+c)=a-b-c ② 22251 观察①②两个等式中括号和各项正负号的变化，你能发现什么规律？ ②a-(b+c)=a-b-c ①a+(b+c)=a+b+c 括号没了，正负号没变 括号没了，正负号却变了 22251 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号. 去括号后，括号内各项的正负号有什么变化？ （2）a-(b+c)=a-b-c （1）a+(b+c)=a+b+c 归纳： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号； 22251 例1 去括号： （1）a+(b-c)； （3）a+(-b+c)； （2）a-(b-c)； （4）a-(-b-c). 括号前面是“+” 括号前面是“-” 解：（1）a+(b-c)=a+b-c. （2）a-(b-c)=a-b+c. （3）a+(-b+c)=a-b+c. （4）a-(-b-c)=a+b+c. 22251 例2 先去括号，再合并同类项： （1）(x+y-z)+(x-y+z)-(x-y-z)； （2）(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)； 解：(x+y-z)+(x-y+z)-(x-y-z) =x+y-z+x-y+z-x+y+z =x+y+z (a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2) =a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 =4ab 22251 例2 先去括号，再合并同类项： （3）3(2x2-y2)-2(3y2-2x2) 3(2x2-y2)-2(3y2-2x2) =6x2-3y2-6y2+4x2 =10x2-9y2 . 22251 【变式】化简求值: a2b- [2a2b-(a-a2b)]，其中a= -1，b= -2. 解：原式=a2b- [2a2b-a+a2b] 当a=-1，b=-2时，原式=(-1)-2×(-1)2×(-2)=3. =a2b-2a2b+a-a2b =a-2a2b. 含有多重括号，必须将所有括号都去掉，主要有两种方法： 1.由里向外逐层去括号； 2.由外向里逐层去括号（注意将内层括号看成一项来处理）. 22251 我们知道： （2）a-b-c=a-(b+c) （1）a+b+c=a+(b+c) 正负号均不变 a+(b+c)=a+b+c ① a-(b+c)=a-b-c ② 那么： 正负号均改变 随着括号的添加，括号内各项的正负号有什么变化？ 22251 44 （2）a-b-c=a-(b+c) （1）a+b+c=a+(b+c) 正负号均不变 正负号均改变 添括号法则： 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号； 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号. 22251 在括号内填入适当的项： （1）x2-x+1=x2-( )； （2）2x2-3x-1=2x2+( )； （3）(a-b)-(c-d)=a-( ). x-1 -3x-1 b+c-d 22251 例3 计算： （1）214a+47a+53a （2）214a-39a-61a 解： 原式=214a+(47a+53a) =214a+100a =314a 原式=214a-(39a+61a) =214a-100a =114a 适当添加括号，可使计算简便. 添括号与去括号过程相反，添括号是否正确，可通过去括号检验. 22251 1.判断下列去括号是否正确，如果不正确，请说明错在哪里，并加以改正： （1）a-(b-c)=a-b-c； （2）-(a-b+c)=-a+b-c ； （3）c+2(a-b)=c+2a-b. × a-(b-c)=a-b+c √ × c+2(a-b)=c+2a-2b 22251 2.化简： （1）(x2-y2)-3(2x2-3y2)； （2）7a2b-(-4a2b+5ab2)-2(2a2b-3ab2). 解：原式=x2-y2-6x2+9y2 =-5x2+8y2 原式=7a2b+4a2b-5ab2-4a2b+6ab2 =7a2b+ab2 22251 3.计算： （1）117x+138x-38x （2）136x-87x+57x 解：原式=117x+(138x-38x) =117x+100x =217x 原式=136x-(87x-57x) =136x-30x =106x 22251 添括号法则： 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号； 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号. 去括号法则： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号； 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号. 22251 2.4.4 整式的加减 22251 1.知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算 2.能用整式加减运算解决实际问题 学习目标 22251 1.合并同类项的法则是什么? 把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变. （一相加，两不变） 2.去括号的法则是什么? 括号前面是“+”号，括号里各项都不改变正负号； 括号前面是“﹣”号，括号里各项都改变正负号. 复习导入 22251 某中学合唱团出场时第1排站了n位同学，从第2排起每排都比前一排多1位同学，一共站了4排，则该合唱团一共有_____位同学参加演唱. 要解决以上问题，我们可以先解决以下问题： （1）第二排，第三排，第四排各站了多少名学生? n+1，n+2，n+3. （2）一排到四排总共站了多少名学生? n+(n+1)+(n+2)+(n+3) 该整式如何化简？ 探究新知 22251 n+(n+1)+(n+2)+(n+3) 解：n+(n+1)+(n+2)+(n+3) =n+n+1+n+2+n+3 去括号 =(n+n+n+n)+(1+2+3) 交换、结合 =4n+6 合并同类项 思考： 结合已有的知识和经验，你能总结出整式加减运算的一般步骤吗？ 从这个整式的化简过程中，你发现了什么？ 22251 整式加减的一般步骤： （1）如果有括号，那么先去括号； （2）观察有无同类项； （3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 概括：先去括号，再合并同类项 注意：整式加减运算的结果仍然是整式. 归纳总结 22251 例1 求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差. 解：(x2-7x-2)-(-2x2+4x-1) =x2-7x-2+2x2-4x+1 =3x2-11x-1 先去括号 再合并同类项 为什么先用括号括起来？ 注意：整式加减的结果应是最简形式. 既不含同类项，也不含括号. 典例分析 22251 例2 计算：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3) 解：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3) =-2y3+3xy2-x2y-2xy2+2y3 =xy2-x2y 22251 整式化简求值的步骤 例3 先化简，再求值：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2， 其中x=1，y=-1. 解：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2 =(2x2y+4x2y)-(3xy2+5xy2) =6x2y-8xy2 当x=1，y=-1时， 原式=6×12×(-1)-8×1×(-1)2=-14. （1）化：利用整式加减的运算步骤将整式化简； （2）代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）算：根据有理数的运算法则进行计算. 22251 例4 例4 设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除，为什么？ 解：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d ) 显然 999a+99b+9c能被3整除. 因此，如果a+b+c+d能被3整除，那么abcd就能被3整除. 用字母表示数，通过数与式的运算，还可以进行简单的代数推理，说明一些数学结论的道理 22251 1.计算： （1）2x2y3+(-4x2y3)-(-3x2y3)； 解：原式=2x2y3-4x2y3+3x2y3 =(2-4+3)x2y3 =x2y3 （2）(8xy-3y2)-5xy-2(3xy-2x2). 原式=8xy-3y2-5xy-6xy+4x2 =4x2+8xy-5xy-6xy-3y2 =4x2-3xy-3y2 练一练 22251 2.先化简，再求值： （1）2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2)，其中a= ，b=3； 解：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2) =2a2-b2+2b2-a2-a2-2b2 =2a2-a2-a2+2b2-b2-2b2 =-b2 当a= ，b=3时，原式=-32=-9. 22251 阅读材料 用分离系数法进行整式的加减运算 合并同类项 整式的加减 “合并”各同类项的系数 把各同类项的系数进行加减 关键 22251 +） 计算 (x3-2x2-5) +(x-2x2-1)及(x3-2x2-5) - (x-2x2-1). x3 -2x2 -5 -2x2 +x -1 +） x3 -4x2 +x -6 x3 -2x2 -5 -2x2 +x -1 -） x3 -x -4 简化 1 -2 +0 -5 -2 +1 -1 1 -4 +1 -6 1 -2 +0 -5 -2 +1 -1 -） 1 +0 -1 -4 所以，(x3-2x2-5)+(x-2x2-1)=x3-4x2+x-6=x3-x-4. 分离系数法 将参与运算的整式按同 一个字母进行降幂排列 使两个整式的 各同类项对齐 典例分析 22251 现在让我们一起尝试用上面的方法解决下列计算问题： (1) (2x2-x-3) +(5-4x+x2)；(2) (3y3-5y2-6) - (y-2+3y2). 3x2 -5x +2 +） 2 -1 -3 1 -4 +5 3 -5 +2 (1) 解 3y3 -8y2-y -4 -） 3 -5 +0 -6 3 +1 -2 3 -8 -1 -4 (2) 所以，(2x2-x-3) +(5-4x+x2)=3x2-5x+2；(3y3-5y2-6)-(y-2+3y2)=3y3-8y2-y-4. 练一练 22251 1.整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项. 2.整式加减的最后结果中： （1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； （2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列； （3）不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3.整式求值的一般步骤： （1）整式化简； （2）代入数值计算； （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算. 课堂总结 22251 $