专项素养巩固训练卷 (四)规律猜想探索专题　2025-2026学年北师大版数学七年级上册

专项素养巩固训练卷 (四) 规律猜想探索专题 (练题型) 解题策略规律探索问题的解题过程通常为从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→应用结论.规律猜想题一般分为两类： 第一类是数式规律猜想题，通常给定一些数字、代数式或等式，要求猜想或验证其中蕴含的规律或利用规律求值.解题策略：一般解法是先写出数、式的前几项，并且尽量用统一的结构表示出来，再通过横比(比较同一数式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同数式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，然后用表示序号的字母或其他字母写出通式，并进一步利用通式解决问题. 第二类是图形规律猜想题，根据一组相关图形的变化，总结其反映的规律或进一步利用规律解决问题.解题策略：一般从第一个图形开始，观察相邻两个图形的变化与图形序号之间的关系，归纳、猜想，得到变化规律，并用代数式表示出来，进一步地，可通过求代数式的值解决问题. 一、数列规律探索 类型1 数列变化规律型 1. (2022黑龙江牡丹江中考,10,★★☆)观察下列数据: 则第 12个数是 ( ) 2.(2023湖北恩施州中考，16，★★☆)观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： -2,4,-8,16,-32,64,…① 0,7,-4,21,-26,71,…② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ，取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 . 类型2 数阵排列型 3.(2023湖南常德中考改编，8，★★☆)观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的规律，若分数 排在第a行第b列，则a-b的值为 ( ) 14233/2 … A.2 003 B.2 004 C. 2 022 D.2 023 4. (★★☆)将正偶数2,4,6,8,…,按图①所示排列,从上到下分别称为第1行，第2行，……，从左到右分别称为第1列，第2列，⋯⋯，用如图②所示的方框在图①中任意框住16个数，将其中没有被阴影覆盖的四个数按顺时针顺序分别记为A，B,C,D. (1)在图①中,100排在第 行第 列. (2)A+B+C+D 的值能否为128? 如果能,请求出A 所表示的数；如果不能，请说明理由. (3)对A，B，C，D四个数，通过加减运算，使其结果是一个整数，写出相应的算式(写出一种即可)并说明理由. 类型3 循环往复型 5.(2023山东济宁中考,10,★★☆)已知一列均不为1的数a₁,a₂, 满足如下关系： 若 则a₂02₃的值是 ( ) C.-3 D.2 6.(★★☆)如图所示的是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2027次输出的结果为 . 二、计算规律探索 7. (★★☆)一列数 其中 (n为不小于2的整数)，则a₄的值为 ( ) 8. (2023湖南岳阳中考,13,★☆☆)观察下列式子: · 依此规律，则第n(n为正整数)个等式是 . 9. (★☆☆)观察下面的等式: 根据上面的等式归纳出一个一般的结论(用含 n的等式表示，n为正整数). 学科网（北京）股份有限公司 10.(★★☆)观察下列各式，解决问题. …… (1)仿照上例，计算： (2)根据上述等式，请你用自然数n(n≥1)表示一般规律： (3)根据你所总结的规律，计算 的值. 三、图形规律探索 类型1 图形累加型 11.(2024山东济宁梁山期中，18，★★☆)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第7个图形共有 个 12.(2024陕西渭南华阴期末，12，★★☆)淘气用珠子串出如图所示的饰品，第1个饰品有10颗珠子，第2个饰品有19颗珠子，第3个饰品有28颗珠子，……，按此规律串下去，第n个饰品有 颗珠子.(用含 n的式子表示) 13.新考向 规律探究题(2024 山西晋中期末，14，★★☆)某公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图所示方式铺设.若铺设这条小路共用去n块正六边形地砖，则用去正方形地砖 块(用含n的代数式表示). 类型2 图形递变型 14.情境题 数学文化(2024广东广州花都期末，10，★★☆)分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图所示的是分形的一种，第1个图案中有2个三角形，第2个图案中有4个三角形，第3个图案中有8个三角形，第4个图案中有16个三角形，……第6个图案中三角形的个数为 ( ) A.32 B.64 C.128 D.256 15. (2023 四川达州中考,9,★★☆)如图,四边形 ABCD 是边长为 的正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中， 的圆心为A，半径为AD；;A₁B₁的圆心为B，半径为 的圆心为C，半径为 的圆心为D，半径为..的圆心依次为A，B，C，D循环，则 的长是 ( ) B.2 023π D.2022π 16.(2024山西大同期中，15，★★☆)如图所示的是由同样大小的长方形按一定的规律组成的图形，其中第1个图形的面积为3cm²，第2个图形的面积为12 cm²，第3个图形的面积为27 cm²,······按此规律,第n个图形的面积为 cm². 17.一题多解(★★☆)将一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“○”的个数，则第30个图形中有 个“○”. 18. (2023安徽中考节选,18,★★☆)【观察思考】 【规律发现】 请用含 n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为 . (2)第1个图案中“★”的个数可表示为 第2个图案中“★”的个数可表示为 第3个图案中“★”的个数可表示为 第4个图案中“★”的个数可表示为4×2,……,第n个图案中“★”的个数可表示为 . 学科网（北京）股份有限公司 专项素养巩固训练卷(四)规律猜想探索专题(练题型) 试卷●P19 1. D根据给出的数据的特点可知第n个数是 所以第12个数是 故选 D. 方法解读 此题应分别从符号、分子、分母三个方面寻找规律，这里要特别注意符号规律的表示方法. 2.答案:1024(或2¹⁰); 解析：观察两行数可得规律，第①行数的第 n个数为(-2)"，第②行数的第n个数为( 所以第①行数的第10个数为( 第①行数的第2023个数为( 第②行数的第2023个数为( 因为 所以取每行数的第 2 023 个数，这两个数的和为 2 024. 3. C观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和相等，nm(m,n为正整数)排在第(m+n-1)行第n列, 所以 排在第2042行第20列, 所以a=2042,b=20, 所以a-b=2042-20=2 022.故选 C. 4.解析：(1)由题意得，每行有8个数，每个数都为偶数，第n行的最后一个数为16n，则100是第50个数. 因为50÷8=6……2,所以100这个数排在第7行第2列. 故答案为7；2. (2)不能.理由如下： 设A=x,则B=x+6,C=x+54,D=x+48, 所以A+B+C+D=x+x+6+x+54+x+48=4x+108, 当4x+108=128时,x=5. 因为x是偶数,所以A+B+C+D的值不能是128. (3)答案不唯一,如:A-B+C-D=0. 理由:A-B+C-D=x-(x+6)+x+54-(x+48) =x-x-6+x+54-x-48=0. 5. A a₁=2, …… 所以 an的值以 为一个循环. 因为2023÷4=505……3,所以a₂₀₂₃的值是- .故选A. 方法归纳 对于循环往复型规律探索题，关键是找出循环变化规律，如果从第1项开始，以m种情形为一个循环，那么第 n次的情形与n÷m的余数次的情形是相同的，整除时与循环里的最后一种情形相同. 6.答案:5 解析:当x=625时 当x=125时, 当x=25时 当x=5时, 当x=1时,x+4=5, 当x=5时 (2027-3)÷2=1012,所以输出的结果是5. 7. A 因为 所以 同理a₃= 故选A. 8.答案 解析：观察等式左边，可发现第 n个等式左边就是n的平方减去n；观察等式右边，可发现第n个等式右边就是n与n-1的积，所以第n(n为正整数)个等式是 9.解析：观察各等式，可以发现规律为 关键点拨 解决此类题的关键是通过观察写出通式，注意通式中的字母不一定是代表序号的字母. 10.解析: 故答案为2500. 则121+123+…+179=(1+3+5+7+…+179)-(1+3+5+7+…+119)=8100-3600=4500. 11.答案:18 解析：观察题中图形可得规律：第n个图形中★的个数是2n+4(n为正整数), 所以第7个图形中★的个数是2×7+4=18. 12.答案:(9n+1) 解析：由题中图形可知， 第1个饰品的珠子颗数为10=1×9+1； 第2个饰品的珠子颗数为19=2×9+1； 第3个饰品的珠子颗数为28=3×9+1； …… 所以第n个饰品的珠子颗数为9n+1. 13. 答案:(5n+1) 解析：由题图可知，若铺设小路用去1块正六边形地砖，则用去正方形地砖6块； 若铺设小路用去2块正六边形地砖，则用去正方形地砖(6+5)块; 若铺设小路用去3块正六边形地砖，则用去正方形地砖(6+5×2)块; …… 所以当铺设小路用去n块正六边形地砖时，用去正方形地砖[(6+5(n-1)]=(5n+1)块. 14. B 由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为2=2¹； 第2个图案中三角形的个数为4=2²； 第3个图案中三角形的个数为8 第4个图案中三角形的个数为 …… 所以第 n个图案中三角形的个数为2". 当n=6时, 即第6个图案中三角形的个数为64.故选 B. 15. A 由题意可得,,A₁B₁的半径为1，B₁C₁的半径为 ,C₁D₁的半径为2，D₁A₂的半径为 ,…… 所以后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大 所以A₂B₂的半径为3,A₃B₃的半径为5,A₄B₄的半径为7,…… 所以AnBn的半径为2n-1, 所以A₂₀₂₃B₂₀₂₃的半径为2×2023-1=4045. 所以 的长为 故选A. 16.答案:3n² 解析：由题意及题图易得第 n个图形由n²个长方形组成，因为每个长方形的面积为3cm²，所以第n个图形的面积为 17.答案:875 解析：解法一：由题图可知，第n个图形中“◯”的个数为1+ ,当n=30时, “◯”的个数为875. 解法二：由题图可知，第n个图形中“○”的个数为1+4+n(n-1),当n=30时, “◯”的个数为875. 关键点拨 此类计数问题，利用不同的分割方法，可得到不同的通式，若将它们化简，则可得到相同的代数式. 18.解析:(1)3n. 详解：划分图形，已知各图案中◎的个数依次为1×3，2×3，3×3,4×3,……可知第n个图案中“◎”的个数为3n. 学科网（北京）股份有限公司 $