6.2.2反比例函的性质 课件2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 6.2.2 反比例函数 的性质 北师大版九年级上册 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？ 反比例函数的图象是双曲线 复习引入 问题1 问题2 反比例函数的图象和性质 合作探究 例1 画反比例函数 与 的图象. 提示：画函数的图象步骤一般为： 列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 3 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 解：列表如下： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … … … … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 -2 -2.4 -3 -4 -6 6 4 3 2.4 2 -12 12 4 -1 -5 -4 -6 O -2 x 1 2 3 4 5 6 -3 5 6 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象. 5 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 观察这两个函数图象，回答下列问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？ 你能由它们的表达式说明原因吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)， 考虑问题 (1)(2)，你能得出同 样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 知识要点 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 观察与思考 当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 归纳： (1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”). ＜ 练一练 12 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 反比例函数的图象和性质的初步运用 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 练一练 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m = 3. 例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的表达式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12. 因为点 B，C 的坐标都满足该表达式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的表达式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0，解得m＞5. 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 .　　 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的表达 式，因为点 B 的坐标不满足该表达式，点 C 的坐标满足该表达式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x =－1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 合作探究 反比例函数表达式中 k 的几何意义 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|. 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 自己尝试证明 k > 0的情况. y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 1. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 练一练 2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 例5 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 典例精析 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 练一练 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 例6 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. y D B A C x 3 2 5 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 M 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______. Q P O x M y －10 练一练 例7 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，且 x2－x1 = 4，y1－y2 =2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲 线的表达式为 . 解得 k = 6. ∴双曲线的表达式为 . 解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 =2， ∴BG = 4，AG = 2， ∴S△ABG =4×2÷2 = 4. 由反比例函数面积的不变 性可知， S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . ∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE + S四边形BDOF－ S四边形FOCG+ S△ABG = k + k －2+4=14. 掌握轴对称的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决三角形分类相关问题时，可视化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决球体表面积相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。 反比例函数 的性质 性质 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 当k＞0时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而增大. $