6.1反比例函数　课件　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

6.1 反比例函数 第六章 反比例函数 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量___和_____，并且对于变量_____的每一个值，变量y都有_______的值与它对应，那么我们称y是x的函数.其中x是_________. 2.函数的表示方法______ 、_______ 、________. 唯一 自变量 x y x 图象法 关系式法 列表法 学前准备 3、形如____________________ 的函数叫做一次函数。 y=kx+b(k，b为常数，k≠0） 4、若两个变量的比值是个定值则这两个变量是正比例关系 若两个变量的乘积是个定值这这两个变量是反比例关系 学习目标 1.通过对实际问题的分析，会列函数关系式，能归纳出反比例函数概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数，发展符号意识，体会函数是刻画变量之间关系的数学模型. 2.通过具体问题所给条件，能写出反比例函数的表达式，进一步发展符号意识、运算能力. 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 问题1：我们知道，导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压之间满足关系式U=IR，当U=220V时， （1）请用含有R的代数式表示I. （2）利用写出的关系式完成下表： R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 11 5.5 3.67 2.75 2.2 当R 越来越大时，I 怎样变化？当R 越来越小呢？ （3）变量I 是R的函数吗？为什么？ I 随着R的增大而变小,随着R 的减小而变大. 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 课本149 　 灯光秀的灯光效果 灯光秀灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮. 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 问题2：京沪高速铁路全长约为1318 km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车完成全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？ 变量t与v的关系式为： 变量t是v的函数吗?为什么? 你还能举出类似的实例吗 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 　 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 随着微信红包诞生,微信发红包已经是一种新时尚，若某人在微信群中计划发100元红包，如果设置普通红包（每人金额相同）50个，每人所得金额多少元？依次换成20个，10个，5个的,每人各得金额多少元？ ① 你会用含x的代数式表示y吗？ ② 当所换的面值x越来越小时， 相应的张数y怎样变化？ ③ 变量y是x的函数吗？为什么？ 面值(x) 张数(y) 50 20 10 5 x 2 5 10 20 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 观察以上解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1、在下列函数表达式中，哪些式子表示y是x的反比例函数？比例系数k值是多少? （1）y= 5 x （2）y=- 0.4 x （3）y= — （4）xy=2 （5）y= x 2 (6) y= (7) y=x-1 （8）y= 1 x - 1 2 1+x 5x -2 (9) y= x a (10) y= x a2+1 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 评价任务一 （检测目标1） 反比例函数： k≠0 即a+1≠0 自变量指数为-1 即 解：由题可知a+1≠0且 得a=1 例2 已知函数 是反比例函数，求a的值 -2 评价任务一 （检测目标1） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 反比例函数的三种表达方式： (注意 k ≠ 0) 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1、在下列函数表达式中，哪些式子表示y是x的反比例函数？比例系数k值是多少? （1）y= 5-x （2）y=- 0.4 x （3）y= — （4）xy=-3 （5）y= x 2 (6) y= (7) y=3x-1 （8）y= 1 x2 2 x 3x -2 (9) y= x a 任务一 能归纳反比例函数的概念，会判断一个函数表达式是不是反比例函数（指向目标1） 评价任务一 （检测目标1） (a≠0) 例 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 任务二 能根据条件，写出反比例函数表达式（指向目标1） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 （2）把 x=4 代入 ，得 课本150页做一做第1，2，3题. 任务二 能根据条件，写出反比例函数表达式（指向目标1） 评价任务二（检测目标2） 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 (1) 写出这个反比例函数的表达式; 3.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值: x -2 -1 - 1 Y 2 -1 解:∵ y是x的反比例函数, (2) 根据函数表达式完成上表. 把x=-1,y=2代入上式得: -3 1 4 -4 -2 2 3 待定系数法 评价任务二（检测目标2） 建立简单的反比例函数模型 三 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 课堂小结 建立反比例函数模型 关键：等量关系 用待定系数法求反比例函数解析式 步骤：设-代-求-写 反比例函数：定义有三种表达方式 （k为常数且k≠0） 反比例函数 函数的图像：把一个函数 与 分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 自变量 对应的函数值 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂检测 1．下面的函数是反比例函数的是(　　) A．y＝3x＋1　　　　B．y＝x2＋2x C． D． D 2．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是(　　) A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．无法确定 B 当堂检测 3．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为(　　) C 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂检测 4. 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 当堂检测 4.下列各问题中的两个变量成反比例的是（ ） A.某人的体重与年龄 B.时间不变时，工作量与工作效率 C.矩形的长一定时，它的周长与宽 D.被除数不变时，除数与商 D 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 当堂检测 5.A、B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为 .   v= 6.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的 ，设下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是 ；   y= 当堂检测 7. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3时，y =－4， 解得 k =－12. 因此，y 关于 x 的函数解析式为 所以有 (2) 把 y=6 代入 ，得 解得 x =－2. 解决提公因式法相关问题时，应用化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地匹配。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过相交线性质的学习，可以培养学生的压缩能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解中位数有助于学生更好地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 函数的图像：把一个函数 与 分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 自变量 对应的函数值 1、列表 x … -2 -1 0 1 2 … y … 6 3 0 -3 -6 … 解： 2、描点 3、连线 谢谢 y＝ y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ A．y＝ $