专题01空间向量与立体几何小题10考点（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

专题01空间向量与立体几何小题考点 10大高频考点概览 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02 空间中点线面的位置关系 考点03 异面直线所成角 考点04 空间直角坐标系中的点的对称问题 考点05 空间中向量共线求参数 考点06 空间中向量垂直求参数 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点08 空间向量的线性表示 考点09 空间中的投影向量 考点10 点面距、点线距、线线距小题 地 城 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 2．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图：    以为基底，则，， 所以. 因为 . 所以 . 所以. 故选：D 3．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，, 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 4．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】由平方即可求解. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故答案为： 5．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，结合中位线即可求解. 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 6．(24-25高二上·天津河东区·期中)在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）． 【答案】①②④ 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则即可解判断①；根据空间向量的数量积定义和线性运算即可判断②；由题易知四面体为正四面体，结合三棱锥的体积公式求解判断③；根据空间向量的数量积定义及运算律代入计算，再由二次函数的性质及基本不等式即可求解判断④. 【详解】对于①，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故①正确； 对于②，由题意易得， ， 且，又，即， 故，解得，故②正确； 对于③，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故③错误； 对于④，由②可知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故④正确． 故答案为：①②④ 地 城 考点02 空间中点线面的位置关系 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 2．(24-25高二上·天津北辰区·期中)已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则，，，解得. 故选：C 3．(24-25高二上·天津河西区·期中)设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 4．(20-21高二上·天津师范大学南开附属中学·月考)已知，，，若共面，则实数 ． 【答案】 【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值． 【详解】因为共面， 所以， 则， 解得， 故答案为： 地 城 考点03 异面直线所成角 1．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，可证得，从而（或其补角）为直线，所成的角，利用余弦定理及同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】取的中点，连接，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵为中点，为中点，∴， ∴，∴（或其补角）为直线，所成的角. 设正方体的棱长为2，则， ，， ∴， ∴， ∴直线，所成角的正弦值为. 故选：C. 2．(24-25高二上·天津河西区·期中)在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论． 【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示， ∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角． 在△OEH中，，HE＝，OH＝． 由余弦定理，可得cos∠OEH＝． 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得 ，由此可得答案 【详解】连接，则， 因为平面，在平面内， 所以， 因为， 所以平面， 因为在平面内， 所以 ， 所以异面直线与所成的角为， 故选：D 【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题 4．(24-25高二上·天津第五十五中学·期中)已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的夹角公式求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 故选：B 地 城 考点04 空间直角坐标系中点的对称问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 2．(24-25高二上·天津河东区·期中)点位于（    ） A．y轴上 B．z轴上 C．平面内 D．平面内 【答案】C 【分析】根据点的坐标的特征判断即可； 【详解】解：因为点的纵坐标为0，所以点P在平面内. 故选：C 3．(23-24高二上·天津河西区·期中)在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据点关于坐标轴对称点的特点可判断①③的正误，利用点关于坐标平面对称点的特点可判断②的正误，利用关于原点的对称点的特点可判断④的正误. 【详解】空间直角坐标系中，点. 对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误； 对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误； 对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确； 综上知，正确的个数是1. 故选：C. 4．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间直角坐标系的概念求解. 【详解】点关于平面的对称点是． 故选:B. 5．(24-25高二上·天津北辰区·期中)在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于平面对称的规则得出点的坐标. 【详解】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数，所以坐标是. 故选：B 6．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于轴对称，横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数. 【详解】点关于轴的对称点是. 故选：B. 地 城 考点05 空间中向量共线求参数 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)若，且为共线向量，则的值为（     ） A．7 B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标形式可得关于的方程组，求出其解后可得正确的选项. 【详解】因为为共线向量，且它们均为非零向量，故存在实数， 使得，故，所以，故， 故， 故选：C. 2．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可设，结合向量，坐标列方程可求，. 【详解】因为，， 所以可设，又，， 所以，，， 所以，，. 故选：C. 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)已知，，设，若，则 ， . 【答案】 /-0.5 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】， 若，则存在实数，使得，所以， 故， 故答案为：， 地 城 考点06 空间中向量垂直求参数 1．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 2．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知向量，，且，则的值为（    ） A．4 B．-4 C．5 D．-5 【答案】C 【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 则， 故选：C. 3．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量法判断直线与平面垂直的条件，可得，从而利用空间向量共线的坐标运算，即可求得，则问题即可求解. 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 4．(24-25高二上·天津部分区·期中)已知，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 5．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题知和均为等边三角形且边长均相等，进而利用为基底表示，再根据求解即可. 【详解】解：因为四棱锥是正四棱锥， 所以，四边形为正方形，， 因为， 所以和均为等边三角形且边长均相等， 所以，， 因为点为的中点，， 所以 ， 因为 所以，， 即 ，解得. 故选：C 6．(24-25高二上·天津部分区·期中)已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【详解】（1），， ，， ； （2） 因为，所以设， 即，故，解得. 7．(24-25高二上·天津河西区·期中)已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 地 城 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解. 【详解】由题意空间向量，， 则. 故选：A. 2．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 4．(24-25高二上·天津河西区·期中)已知向量，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可. 【详解】解：由题意得： 故选：C 5．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)若，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】, 则， 故答案为： 6．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）   A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 7．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由，则，即， 有， 所以， 所以，则 故选：D 8．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)已知.则 ． 【答案】 【分析】由题意可知，解得，进而求出，由此求的值． 【详解】因为，且， 所以，解得， 则，故， 所以. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查空间向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系，向量模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)设，向量，，且，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为： . 10．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)0．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围为且. 故答案为：且. 11．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)1．已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 【答案】且 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积及向量共线列式求出即得. 【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为且. 故答案为：且 地 城 考点08 空间向量的线性表示 1．(24-25高二上·天津河北区·期中)平行六面体中，，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底表示出，再利用数量积的运算律计算可得结果. 【详解】记，则， 且； 所以； 因此可得, 即，所以的长为. 故选：D 2．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加法法则直接求解. 【详解】因为，所以． 因为点，分别是线段，的中点， 所以， 所以． 故选：A. 3．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，根据向量线性运算法则利用基底表示即可. 【详解】， 又，，， 所以. 故选：C. 4．(24-25高二上·天津河北区·期中)已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基底表示将基底转换即可得出对应坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标是，则, 所以， 可得，解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B 5．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)如图，在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果． 【详解】在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足， 设， 故， 所以， 点N为棱AP的中点， 所以， 故. 故选：B． 6．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（    ） A． B． C．－2 D．2 【答案】B 【解析】利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 7．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设 ，若，则 ． 【答案】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 地 城 考点09 空间中的投影向量 1．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 【答案】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以在上的投影向量为． 故答案为： 2．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标 【答案】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)下列四个命题，其中真命题是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若，，则点到直线的距离为 D．向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】C 【分析】对于A，根据面对称点性质可判断，对于B，利用空间向量判断线面关系即可；对于C，根据向量投影坐标公式，勾股定理求解判断即可；对于D，根据向量投影坐标公式即可判断. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，，所以，则或，故B错误； 对于C，，所以， 则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，根据向量投影坐标公式，故D错误. 故选：C 地 城 考点10 点面距、点线距、线线距小题 1．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的各边长，求出的余弦，再得正弦，最后可得的边上的高 【详解】如图，在正方体中，易得，， 正方体中，平面，平面，所以， ， ，又， 所以， 所以E到直线的距离为， 故选：D 2．(24-25高二上·天津耀华中学·期中)．已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 3．(24-25高二上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为 ，点 到平面ABC的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用空间向量计算距离的方式分别计算即可. 【详解】由题得 所以A到直线的距离为； 设平面的一个法向量 所以有， 令，得，所以， ， 所以 到平面ABC的距离为. 故答案为：； 4．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解. 【详解】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为. 故选：B 5．(24-25高二上·天津部分区·期中)空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 6．(24-25高二上·天津耀华中学·期中)在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】 7．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量， 利用向量的距离公式，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 即，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离．    【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间向量与立体几何小题考点 10大高频考点概览 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02 空间中点线面的位置关系 考点03 异面直线所成角 考点04 空间直角坐标系中的点的对称问题 考点05 空间中向量共线求参数 考点06 空间中向量垂直求参数 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点08 空间向量的线性表示 考点09 空间中的投影向量 考点10 点面距、点线距、线线距小题 地 城 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 4．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为 ． 5．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 6．(24-25高二上·天津河东区·期中)在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）． 地 城 考点02 空间中点线面的位置关系 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 2．(24-25高二上·天津北辰区·期中)已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津河西区·期中)设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 4．(20-21高二上·天津师范大学南开附属中学·月考)已知，，，若共面，则实数 ． 地 城 考点03 异面直线所成角 1．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津河西区·期中)在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．(24-25高二上·天津第五十五中学·期中)已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 空间直角坐标系中点的对称问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津河东区·期中)点位于（    ） A．y轴上 B．z轴上 C．平面内 D．平面内 3．(23-24高二上·天津河西区·期中)在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·天津北辰区·期中)在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 空间中向量共线求参数 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)若，且为共线向量，则的值为（     ） A．7 B． C．6 D．8 2．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)已知，，设，若，则 ， . 地 城 考点06 空间中向量垂直求参数 1．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知向量，，且，则的值为（    ） A．4 B．-4 C．5 D．-5 3．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 4．(24-25高二上·天津部分区·期中)已知，，若，则实数的值为 ． 5．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．(24-25高二上·天津部分区·期中)已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 7．(24-25高二上·天津河西区·期中)已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 地 城 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·天津河西区·期中)已知向量，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 5．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)若，，则 . 6．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）   A．1 B．－1 C． D． 7．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)已知.则 ． 9．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)设，向量，，且，，则 . 10．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)0．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 11．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)1．已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 地 城 考点08 空间向量的线性表示 1．(24-25高二上·天津河北区·期中)平行六面体中，，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 2．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·天津河北区·期中)已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)如图，在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，则＝（　　） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（    ） A． B． C．－2 D．2 7．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设 ，若，则 ． 地 城 考点09 空间中的投影向量 1．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 2．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标 3．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)下列四个命题，其中真命题是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若，，则点到直线的距离为 D．向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 地 城 考点10 点面距、点线距、线线距小题 1．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津耀华中学·期中)．已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为 ，点 到平面ABC的距离为 . 4．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．(24-25高二上·天津部分区·期中)空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·天津耀华中学·期中)在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A． B． C． D． 8．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $