第十四章 全等三角形 中点、线段和差的处理方法　讲义　 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第8讲 线段和差的处理方法 板块一 等线段代换 方法技巧 通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题。 典例精讲 题型① 代换一条线段 【例1】如图,D为BC上一点,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BC=CD+CE. 证明:由条件可得△ACE≌△ABD(SAS), ∴BD=CE,∴BC=CD+BD=CD+CE. 题型② 代换两条线段 【例2】如图,∠BAC=90°,AB=AC,直线DE过点A,BD⊥DE,垂足为D,CE⊥DE,垂足为E. 答案证明:(1)易得△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,AE=BD,∴DE=AD+AE=CE+BD; (2)同(1)AD=CE,AE=BD,∴DE=AD=AE=CE=BD. 实 战 演 练 如图,在△ABC中,AB=BC,D为AB中点,∠ABC=∠BAE=90°,BE⊥CD交AC 于点F.求证:CD=BF+DF. 证明:△ABE≌BCD(ASA), 得CD=BE,AE=BD=AD,△ADF≌△AEF(SAS), 得DF=EF,∴CD=BE=BF+EF=BF+DF. 板块二 截长补短 方法技巧◆ 截长：在长线段上截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段. 典 例 精 讲 【例】如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D,E 分别是CA 的延长线和AC的延长线上一点,AD=CE,F为BA 延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA,求证:DF+BE=CF. 证法一(截长法)： 在 FC 上截取FG=FD。 易证△AFD≌△AFG,△CAG≌△BCE, ∴DF+BE=FG+CG=CF. 证法二(补短法)： 延长FD 至点H,使FH=FC,连接AH. 证△FAC≌△FAH,△ADH≌△CEB, ∴DH=BE,∴DF+BE=DF+DH=FH=CF. 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点 F在AB上,满足∠CFA=∠A,过点B 作BE⊥AC于点E,延长BE 至点D,使DE=BE,连接CD. (1)求证:∠ACD=∠ABC; (2)求证:AE+BF=CE. 答案证明:(1)∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠DEC=90°,∵BE=DE,CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴BC=DC,∠ACD=∠ACB=∠ABC; (2)在CE上截取EG=AE,连接DG.∵∠AEB=∠DEG,BE=DE, ∴△ABE≌△GDE,∴∠A=∠DGE=∠AFC,∴∠BFC=∠CGD, ∵BC=DC,∠ACD=∠ABC,∴△BCF≌CDG(AAS), ∴BF=CG,∴EG+CG=AE+BF=CE. 2.如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°. (1)求证:DA 平分∠CDE; (2)求证:∠BAE=2∠CAD. 证明:(1)延长CB 至点F,使BF=DE, 连接AF,证△ABF≌△AED(SAS),△ACF≌△ACD(SSS), ∴∠ADC=∠AFC=∠ADE,∴DA 平分∠CDE; (2)∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+∠BAF=∠DAF=2∠CAD. 第9讲 角平分线的处理方法 板块一 角平分线(一)性质 条件:OC 平分∠AOB,PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E. 结论:PD=PE. 典 例 精 讲 题型① 作一垂 【例1】如图,在四边形 ABCD 中, E为BC 上一点,且 AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.求证:BE=CE. 证明:过点E作EH⊥AD 于点H. ∵AE 平分∠BAD,DE平分∠ADC, ∠B=∠C=∠AHE=90°, 答案∴EH=EB=EC. 题型② 作两垂 【例2】如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD. 证明:过点 D 作DE⊥AB 于点E,过点 D 作DF⊥BC 于点F. ∵BD 平分∠ABC,∴DE=DF, 又∵AD=CD,∴Rt△ADE≌△Rt△CDF(HL),∴∠ADE=∠CDF. ∵∠DEB=∠EBC=∠BFD=90°,∴∠EDF=90°, ∴∠ADC=∠EDF=90°,∴AD⊥CD. 实 战 演 练 如图，在四边形ABCD 中， 求证： 证明:过点A 分别作AE⊥BD 于点E,AF⊥CD 于点F, 易得 ∴AE=AF,由∠BAC=∠BDC可得∠ABE=∠ACF, ∴△ABE≌△ACF(AAS),∴AB=AC. 板块二 角平分线(二)判定 类型 判定 旁心图 隐角平分线 图形 条件 PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE. OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB. OP 平分 结论 OC平分∠AOB. PB平分∠ABE. ①PA 平分 ②PB 平分 典例精讲 题③ 直接用判定 【例1】如图,在△ABC中,AC=BC,E为△ABC外一点,且 求证:CE 平分△ABE 的外角. 证明:过点C 作CM⊥AE 于点M,过点C作CN⊥BE 于点N. ∵∠CAE=∠CBE,∠AMC=∠BNC=90°,AC=BC, 答案∴△AMC≌△BNC(AAS), ∴CM=CN,∴∠MEC=∠NEC, ∴CE平分△ABE的外角, 题型②旁心 【例2】如图,在△ABC中,AP平分∠BAC,BP 平分∠CBD. (1)求证:CP 平分∠BCE; (2)设∠BAC=α,则 (用含α的式子表示). 解:(1)过点P 分别作 PF⊥AD,垂足为 F,PG⊥AE,垂足为G,PH⊥BC,垂足为H. ∵PA 平分∠BAC,∴PF=PG, ∵PB 平分∠CBD,∴PF=PH,∴PG=PH,∴PC平分∠BCE; ◇ (2)易证 实 战 演 练 题型① 隐角平分线 如图,在四边形AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且CE平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC的度数. 解:延长CA 至点F,∵∠EAC+∠EAF=180°, 又∵∠EAC+∠EAD=180°,∴∠EAD=∠EAF, 即AE 为△ACD 的外角平分线,又∵CE 为△ACD的内角平分线, ∴可得DE 为△ACD 的外角平分线, ∵∠EAD=∠EAF=α,∴∠DAC=180°-2α,由三角形内外角平分线模型可得 板块三 角平分线(三)面积法 类型1 内心向三边作垂 类型2 面积比与边长比 条件：I是△ABC三条角平分线的交点. 方法：过点I分别向三边作垂线段. 结论:①ID=IE=IF; 条件：AD是 的角平分线. 方法:过点D 分别作DE⊥AB,DF⊥AC. 结论:①DE=DF; 典例精讲 题型① 面积法求线段长 【例1】如图,在△ABC 中,∠C=90°,O是 平分线的交点，且 AC=6cm,AB=10cm,求S△AOB. 答案解:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,连接OC. ∵点O是∠CAB,∠ABC 平分线的交点,∴OD=OE,OD=OF, 男解得OD=2, 题型②面积法证线段比 【例2】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证: 证明:过点D 作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,设BC上的高为h。∵AD 平分∠BAC,∴DE=DF. 题型③构全等转化面积 【例3】如图,△ABC的角平分线BD,CE交于点P, 的面积为16，四边形AEPD 的面积为5,求△BPC 的面积. 解：过点P 分别作△ABC三边的垂线段，垂足分别为G，H，I， 则 证 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,I为△ABC各内角平分线的交点,过点I 作AC 的垂线,垂足为 H.若BC=3,AB=4,AC=5,求IH 的长. 答案解:连接IA,IB,IC,过点I作IM⊥AB 于点M,IN⊥BC 于点N,∵I为△ABC各内角平分线的交点,IM⊥AB,IN⊥BC,IH⊥AC,∴IH=IM=IN,∵AB=4,BC=3,∠ABC=90°, 2.如图,在△ABC中,S△ABC=21,∠BAC 的角平分线AD 交BC于点D,E为AD 的中点.连接BE,F为BE上一点,且BF=2EF.若 求 的值. 解： ∵E为AD的中点,∴S△ABD=2S△BDC=2×6=12, ∵S△ABC=21,∴S△ACD=21-12=9, 过点D 作DM⊥AB 于点M,DN⊥AC于点N, ∵AD 是∠BAC 的角平分线,∴DM=DN, 3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD平分 求DC 的长. 解:过点D 作DF⊥AB 于点F,DG⊥AC于点G, ∵AD 为∠BAC的平分线,DF⊥AB,DG⊥AC,∴DF=DG, 4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC 的角平分线,若 求 的面积. 解:过点C作CF⊥BD 交BD 的延长线于点E,交 BA 的延长线于点F. ∵BD 平分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE,∴△BFE≌△BCE,∴CE=EF, ∵AB=AC,∠ABD=∠ACF,∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF=2CE=8. 板块四 角平分线(四)作垂构对称型全等 类型 梯形图 互补图 内心图 图形 典 例 精 讲 题型① 对角互补遇角平分线 【例1】答案如图,在四边形ABCD中,∠ABC+∠D=180°,AC平分∠BAD,求证:CB=CD. 证明:过点C作CE⊥AD 于点E,过点C作CF⊥AB,交AB 的延长线于点F, ∵AC平分∠BAD,∴CE=CF.∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠FBC=180°, ∴∠FBC=∠D,∵∠F=∠CED=90°,∴△BFC≌△DEC,∴CB=CD. 题型② 内心作垂构对称型全等 【例2】如图,在△ABC中,AB>AC,AK,BK,CK 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 于点D,求证:AB-AC=BD-CD. 证明:过点K作KE⊥AB 于点E,KF⊥AC 于点F, ∵AK 平分∠BAC,KE⊥AB,KF⊥AC,∴KE=KF, 在Rt△AKE和 Rt△AKF 中. ∴△AKE≌△AKF(HL),∴AE=AF,同理可得BE=BD,CD=CF, ∴AB-AC=AE+BE-AF-CF=BE-CF=BD-CD. 实 战 演 练 题型③ 直角梯形遇角平分线 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠B=90°,E为AB 上一点,ED 平分∠ADC,EC平分∠BCD. (1)求证:DE⊥CE; (2)求证:AE=BE; (3)求证:AD+BC=CD; (4)若AB=12,CD=13,求S△CDE. 解:(1)∵∠A=∠B=90°,∴AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°. ∵DE 平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠DEC=90°,即DE⊥CE; (2)过点E作EF⊥CD 于点F,∵EA⊥AD,EB⊥BC,∴EA=EF=EB; (3)易证△ADE≌△FDE,△CBE≌△CFE,∴AD=DF,CB=CF,∴AD+BC=CD; 板块五 角平分线(五)截长补短构对称型全等 典型图形 梯形双角平分 60°的三角形双角平分 条件 AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD O是两角平分线交点 方法 截取BF=AB 延长BA,CE 交于点G 截取 BF=BE 结论 △BAE≌△BFE,△CDE≌△CFE △BEC≌△BEG,△DEC≌△AEG △BOE≌△BOF,△COD≌△COF 典例 精讲 题型①单角平分 【例】如图,四边形ABCD 中,AC平分∠DAB,BC=CD.求证:∠ADC+∠B=180°. 证明:(方法一)在AB 上截取AE=AD,连接CE,则△ACE≌△ACD(SAS),∴∠ADC=∠AEC,CE=CD=BC,∴∠CEB=∠B,∵∠AEC+∠CEB=180°,∴∠ADC+∠B=180°. 答案(方法二)延长AD 至点E,使AE=AB,连接CE,则△ACE≌△ACB(SAS),∴∠E =∠B,BC=CE=CD,∴∠CDE=∠E=∠B, ∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC+∠B=180°. 实 战 演 练 题型②梯形双角平分 1.如图,在四边形ABDC中,AB∥CD,AB+CD=AC,E是BD上一点,且BE=DE.求证:CE平分∠ACD. 证明：延长CD 与AE 的延长线交于点 F. ∵AB∥CD,∴∠FDB=∠B,∠F=∠BAF, ∵E是BD的中点,∴BE=ED, ∴△ABE≌△FDE,∴AB=DF,AE=EF. ∵AB+CD=AC,∴CF=DF+CD=AB+CD=AC, ∵CE=CE,∴△AEC≌△FEC,∴∠ACE=∠FCE,即CE平分∠ACD. 题型③ 60°的三角形双角平分 2.如图,在△ABC中,∠A=60°,△ABC 的角平分线BD,CE 相交于点O. (1)求∠BOE 的度数; (2)若BC=7,BE=4,求CD的长. 解:(1 。∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°; (2)在BC上截取BF=BE,连接OF.∴△BOF≌△BOE,∴∠BOF=∠BOE=60°,易求∠BOC=120°,∴∠COF=60°,∴∠COF=∠COD,∴△COF≌△COD,∴CF=CD,∴BE+CD=BF+CF=BC=7,∵BE=4,∴CD=7-4=3,F 板块六 角平分线(六)角分垂，延长构对称型全等 典型图形 延长得对称全等 延长得双全等 c 条件 BD平分∠ABC,BD⊥CD. ∠ACB=∠ADB=90°,AC=BC,BD平分∠ABC. BE平分∠ABC,BE⊥AE. 方法 延长CD交AB 于点E 延长AD,BC交于点E 延长AE,BC交于点F 结论 △BDC≌△BDE, △ADB≌△EDB, 典例精讲 题型①延长构对称全等 【例1】如图,在△ABC中,AB<BC,BP平分∠ABC,AP⊥BP 于点P. (1)若∠ACB=48°,∠PAC=22°,求∠BAP 的度数; (2)连接PC,若△ABC 的面积为4,求△BPC 的面积. 答案解:(1)延长AP 交BC 于点D,可证△ABP≌△DBP, ∴∠BAP=∠BDA=∠ACB+∠DAC=70°; (2)∵△ABP≌△DBP,∴AP=DP, 题型② 延长构对称型、旋转型全等 【例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,D 为边AB上一点, 于点E,AC与DE 交于点F,∠ADE=22.5°,求证: 证明:过点 D 作DH∥BC交AE 的延长线于点H,DH 与AC 交于点G,证△DAE≌△DHE(ASA),△DFG≌△AHG(ASA), 实 战 演 练 如图,AB∥CD,CM平分∠BCD,M在AD上,BM⊥CM. (1)求证:AM=DM; (2)试探究BC,CD,AB 之间的数量关系. 解:(1)延长BM 交CD 于点N,∵∠BCM=∠NCM,CM=CM, ∠CMB=∠CMN=90°,∴△CMB≌△CMN(ASA),∴BM=NM, ∵∠AMB=∠DMN,∴△ABM≌△DNM(AAS),∴AM=DM; (2)BC=CD-AB.理由如下:由(1)得△ABM≌△DNM,△CBM≌△CNM,∴AB=DN,BC=CN,∴BC=CN=CD-DN=CD-AB. 板块七 角平分线(七)对角互补模型 模型 模型1作垂 模型2 截长 模型3补短 条件 ∠1=∠2, ∠BAD+∠BCD=180° ∠1=∠2,DA=DC ∠BAD+∠BCD=180°,DA=DC 方法 作DE⊥BC,DF⊥AB 截取BE=AB 延长BC 至E,使CE=AB 结论 △DAF≌△DCE△DBF≌△DBE △BDA≌△BDE ∠BAD+∠BCD=180° △BAD≌△ECD BD 平分∠ABC 典例精讲 题型① 对角 型 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC. (1)求证:AD=CD; (2)求证: 证明:答案(1)方法一:过点D 作DE⊥BD 交BC的延长线于点E, 可得等腰Rt△BDE,BD=DE, △ADB≌△CDE(ASA或AAS),∴AD=CD; 方法二:过点D 分别作AB,BC的垂线,垂足分别为点E,F,证△ADE≌CDF(AAS); (2)由(1)如 题型② 对角 型 【例2】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CB=CD,CF⊥AD 于点F. (1)求证:∠ABC+∠ADC=180°; 证明：过点C作CE⊥AB交AB 的延长线于点E， ∵CF⊥AD,∠EAC=∠FAC, ∴CE=CF,∵CB=CD, ∴Rt△CBE≌Rt△CDF(HL),∴∠FDC=∠CBE, ∵∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC+∠ABC=180°; (2)求证: 证明:∵△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,易证△ACE≌△ACF, (3)若AF=6,求AB+AD的长; 解:∵△ACE≌△ACF,∴AE=AF,∵△CBE≌△CDF,∴BE=DF,∴AB+AD=(AE-BE)+(AF+DF)=AE+AF=2AF=12; (4)若DF=2,求AD-AB 的长; 答案解:AD-AB=(AF+DF)-(AE-BE)=DF+BE=2DF=4; (5)若AF-AB=2,求 DF 的长; 解:∵AE=AF,∴AF-AB=AE=AB=BE=DF=2; (6)若 求AF·CF的值; 解:∵△CDF≌△CBE,△ACE≌△ACF,∴SmanABc==SmaxAccr=2S△icr=20, (7)若 求S△CFD. 解:∵△AEC≌△AFC,△CBE≌△CDF, .. =2. 【点睛】本题也可用截长法或补短法做。 实 战 演 练 1.如图,∠BAC=90°,BD=CD,∠BDC=90°. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若AB=5,AC=9,求 S△ADD的值. 解:(1)延长AC至E,使CE=AB,连接DE. ∵∠BAC=∠BDC=90°,∴∠B+∠ACD=180°=∠DCE+∠ACD, ∴∠B=∠DCE,∵BD=CD,∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AD=ED,∴∠ADB=∠EDC,∴∠ADE=∠BDC=90°, ∴△ADE 为等腰直角三角形，. ∴AD 平分∠BAC; (2)过点D 作DF⊥AE于点F,∵AE=AC+CE=AC+AB=14,∴DF=AF=EF=7, 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC于点G,且. 于点E. (1)求证:AB-AC=2BE; (2)若AE=8,求AB+AC 的值. 解:(1)过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F,连接DB,DC. ∵BG=CG,∠BGD=∠CGD=90°,DG=DG,∴△BGD≌△CGD, ∴BD=CD,∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴BE=CF,易证△ADE≌△ADF, ∴AE=AF,∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE; (2)由(1)知AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=2AE=16. 板块八 角平分线(八)同旁张等角模型 模型 作垂 截长 补短 图形 条件 ∠BAC=∠BDC,AD平分∠GAC ∠BAC=∠BDC,BD=CD 方法 作DE⊥AB,DF⊥AC 截取CF=BA 延长 BA 使BF=CA 结论 △BDE≌△CDF,△ADE≌△ADF △BDA≌△CDF,AD平分∠EAC AD 平分∠FAC 典 例 精 讲 题型①同旁张双直角 【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD⊥BD 于点D, 于点F，连接AD. (1)求证: (2)求证:BF-DF=CD; (3)求证:BD-CD=2AF. 答案证明:(1)在BD上截取BG=CD,连接AG,∵∠BAC=∠BDC=90°,∴∠ABD=∠ACD, 又∵AB=AC,∴△ABG≌△ACD,∴AG=AD,∠BAG=∠CAD, ∴∠GAD=∠BAC=90°,∴△AGD为等腰直角三角形,∴∠ADB=45°; (2)易证△AFG≌△AFD,∴GF=DF,∴BF=BF-GF=BG=CD; (3)易证△ADF,△AGF 均为等腰直角三角形, ∴AF=DF=GF,∴BD=CD=BD-BG=DG=2AF. 题型② 同旁张双等角 【例2】如图,AP 是△ABC 的外角平分线,PM⊥BA,交BA 的延长线于点M,且 ∠BAC. (1)求证:PB=PC; (2)求证:AC-AB=2AM; (3)若BM=3,求AB+AC 的值. 解:(1)过点 P 作PN⊥AC于点N.∵PM⊥AM,PA 平分∠MAC,∴PM=PN,∵∠BPC=∠BAC,∴∠ABP=∠PCA,∵∠BMP=∠CNP=90°,∴△PMB≌△PNC,∴PB=PC; (2)∵△PMB≌△PNC,∴BM=CN,易证△PAM≌△PAN, ∴AM=AN,∴AC-AB=(AN+CN)-(BM-AM)=2AM; (3)AB+AC=(BM-AM)+(AN+CN)=BM+CN=2BM=6. 实 战 演 练 如图,∠ABC=∠ADC=90°,∠DBC=45°. (1)求证:AD=CD; (2)求证: 证明:(1)过点 D 作DE⊥BD 交BC 于点E,可得等腰Rt△BDE,BD=DE,△ADB≌△CDE(ASA或AAS),∴AD=CD; 学科网（北京）股份有限公司 $