甘肃省张掖市甘州区2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年甘肃省张掖市甘州区九年级（上）月考数学试卷（9月份） 1.下列方程中，哪个是一元二次方程？(    ) A. B. C. D. 2.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.关于二次函数，下列说法中正确的是(    ) A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最大值是 4.如果是方程的一个根，则常数的值是(    ) A. B. C. D. 5.股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又张回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是(    ) A. B. C. D. 8.若为关于的一元二次方程的根，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的个数如：，，，，，如果圈出的个数中，最大数与最小数的积为，那么根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，给出下列结果： ；；；；． 则正确的结论是(    ) A. B. C. D. 11.抛物线与直线，，，组成的正方形有公共点，则的取值范围是______． 12.一元二次方程的两根为，，则______． 13.解下列方程： ； ． 14.求函数的最值． 15.如图，利用一面墙墙的长度不超过，用长的篱笆围一个矩形场地． 怎样围才能使矩形场地的面积为？ 能否使所围矩形场地的面积为，为什么？ 16.已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． 如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 17.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 判断的形状，证明你的结论； 点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 18.一个口袋中装有个白球，个红球，个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率是______． 19.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为______． 20.先化简，再求值：，其中，． 21.已知、、为实数，且，求方程的根． 22.已知关于的一元二次方程． 求证：该方程有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根，满足，求的值． 23.如图，在正方形中，点，分别在边，上，求证：． 24.如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门设米时，鸡舍面积为平方米． 若，求关于的函数表达式及的取值范围． 在的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为平方米？ 25.年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是滑板的概率是______． 体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率． 26.张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 27.D、分别是三角形的边、的中点，是所在平面上的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、． 如图，当点在的内部时，求证：四边形是平行四边形； 若四边形是菱形，则与应满足怎样的关系？若四边形是矩形，则与应满足怎样的关系？直接写出答案，不需要说明理由 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，是二元二次方程，故A不符合题意； B、，是分式方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元一次方程，故D不符合题意， 故选：． 根据一元二次方程的定义进行判断，即可解答． 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 2.【答案】  【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设剪去小正方形的边长是， 则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：、由抛物线可看出，故开口向下，故此选项不符合题意； B、当时，随的增大而增大，故此选项符合题意； C、它的顶点坐标，故此选项不符合题意； D、当时有最大值是，故此选项不符合题意． 故选：． 抛物线，开口方向由的大小判定，，开口向上；反之，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于轴的直线． 本题考查的是二次函数的性质，需掌握对称轴及顶点坐标的求法． 4.【答案】  【解析】解：把代入得，解得． 故选：． 把代入得关于的方程，然后解此方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【解答】 解：设平均每天涨． 则， 即， 故选A． 6.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线在这一段位于轴的上方， 抛物线在这一段位于轴的上方， 抛物线在这一段位于轴的下方， 抛物线过点， 把代入得：， 即， 解得． 故选：． 根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，利用抛物线对称性得到抛物线在这一段位于轴的上方，而抛物线在这一段位于轴的下方，于是可得抛物线过点，然后把代入可求出的值． 本题考查了二次函数的性质以及抛物线与轴的交点，解决本题的关键是得出抛物线的对称轴． 7.【答案】  【解析】解：、这里，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 本选项符合题意； B、这里，，， ， 方程没有实数根， 本选项不合题意； C、这里，，， ， 方程有两个相等的实数根， 本选项不合题意； D、这里，，， ， 方程没有实数根， 本选项不合题意； 故选：． 计算出各项中方程根的判别式的值，找出大于的选项即可． 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于，方程没有实数根． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】 解：把代入方程，可得 ，即， ， 又， ， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 根据题意和图形中的数据可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10.【答案】  【解析】解：如图所示，二次函数与轴有两个交点，所以，则故正确； 、如图所示，抛物线开口向上，所以，抛物线与轴交点在负半轴上， ． 又， ， ，． 故、错误； 如图所示，由图象可知当时，，即． 故正确； 由图象可知当时，，即． 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：． 抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况与特殊点进行推理，进而对所得结论进行判断． 本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 11.【答案】  【解析】解：如图， 四条直线，，，围成正方形， 因为抛物线与正方形有公共点，所以可得，而且值越大，抛物线开口越小， 因此当抛物线分别过，时， 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：，； 由此得出的取值范围是． 故填． 建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答． 此题利用数形结合的思想，考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与值的关系． 12.【答案】  【解析】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 先利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 13.【答案】解：， ，，， ， ， ，． ， ， 或， ，．  【解析】利用公式法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14.【答案】解： ， ， 当时，函数有最小值．  【解析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质即可求得最小值． 本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15.【答案】解：设所围矩形的长为米，则宽为米． 说明：的表达式不写不扣分． 依题意，得． 即，， 解此方程，得，． 墙的长度不超过，不合题意，应舍去． 当时，， 所以，当所围矩形的长为、宽为时，能使矩形的面积为． 不能． 因为由得． 又， 上述方程没有实数根． 因此，不能使所围矩形场地的面积为． 说明：如果未知数的设法不同，或用二次函数的知识解答，只要过程及结果正确，请参照给分．  【解析】设所围矩形的长为米，则宽为米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解． 假使矩形面积为，则无实数根，所以不能围成矩形场地． 此题不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题： 矩形的一边为墙，且墙的长度不超过米； 根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等． 16.【答案】解：设经过秒以后，面积为此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，舍． 答：秒后的面积等于； 设经过秒后，的长度等于， 由， 得， 解得：舍去，． 答：则秒后，的长度为．  【解析】经过秒钟，的面积等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，用的代数式表示出和的长可列方程求解； 利用勾股定理列出方程求解即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“的面积等于”“的长度等于”，得出等量关系是解决问题的关键． 17.【答案】解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为． ， 顶点的坐标为； 是直角三角形．理由如下： 当时，， ，则． 当时，， ，，则， ，， ． ，，， ， 是直角三角形； 作出点关于轴的对称点，则． 连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，的周长最小． 设直线的解析式为，则 ， 解得， ． 当时，，则， ．  【解析】把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； 利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； 作出点关于轴的对称点，则连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 18.【答案】  【解析】解：一个口袋中装有个白球，个红球，个黄球， 随机从中摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 根据概率等于所求情况数与总情况数之比求解即可． 本题考查了概率，掌握概率公式是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：如图，标记各点，并连接对角线交于点，则四边形是矩形， 对角线、互相平分，即对角线、的交点为， 是的中点， 同理可得，、、分别为、、的中点， 又、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， 、、、， 矩形的面积为， 即第二个矩形的面积第一个矩形的面积的， 同理可得，第三个矩形的面积第二个矩形的面积的第一个矩形的面积的， 观察发现，第个矩形的面积第一个矩形的面积的， 第一个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 故答案为：． 标记各点，并连接对角线交于点，则四边形是矩形，根据矩形性质，得到是的中点，同理可得、、分别为、、的中点，再根据三角形中位线定理，得出第二个矩形的面积第一个矩形的面积的，进而推出第个矩形的面积第一个矩形的面积的，即可求解． 本题考查了矩形和菱形的性质，三角形中位线定理，图形类规律探索，根据相关知识找出一般规律是解题关键． 20.【答案】解：原式 ， 当，时，原式．  【解析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简，最后代入计算求值即可． 本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． 21.【答案】解：， ，，， 原方程为， 这里，，， ．  【解析】根据已知等式，利用非负数的性质求出，，的值，代入方程计算即可求出解． 此题考查了解一元二次方程公式法，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22.【答案】证明：一元二次方程， ，，， ， 该方程有两个不相等的实数根； 解：一元二次方程， ， 又， ， ， 解得．  【解析】只要计算的值大于，即可证明结论成立； 根据和，可以求得的值，然后代入方程，即可求得的值． 本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式和根与系数的关系解答． 23.【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ．  【解析】欲证明，只要证明≌即可． 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形性质解决问题，属于中考常考题型． 24.【答案】解：设米， 根据题意得， ，， ， 答：关于的函数表达式为； 由可知，， 则， 解得：，舍， 即当为米时，鸡舍的面积为平方米．  【解析】设米，则米，根据矩形面积公式求出表达式，再结合墙长与门宽求出的取值范围即可； 结合所得表达式，列一元二次方程求解即可． 本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 25.【答案】； 画树状图如下： ， 共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“”的结果数为， 体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率．  【解析】解：小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是滑板的概率是； 故答案为：； 画树状图如下： ， 共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“”的结果数为， 体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率． 直接运用概率公式求解即可； 先画出树状图，可知共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“”和“”的结果有种，最后由概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 26.【答案】解：设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件， ， ， 解得：，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔每个售价应定为元．  【解析】设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件，根据利润单个利润数量，列出方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题关键． 27.【答案】证明：，分别是，的中点． ， ，分别是，的中点， ， ，， 四边形是平行四边形； 解：若四边形是菱形，则， 由中位线可知平行且等于，平行且等于， ， 若四边形是矩形，则， ，， ．  【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； 根据邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $