第十四章 全等三角形的性质与判定讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的性质与判定，系统构建“初识全等—辅助线策略—中点处理”三阶学习支架，从平移、旋转、对称等图形变换入手，逐步过渡到一次全等、二次全等及复杂几何结构中的应用，逻辑清晰，层层递进。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合。如例题中通过观察图形位置关系抽象出对应边角相等条件，培养几何直观与推理能力；实战演练中引导学生用“倍长中线”“截长补短”等方法构造全等三角形，强化逻辑推理意识；同时借助辅助线图示和分步证明过程，帮助学生建立规范表达习惯，提升建模与应用能力。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

全等三角形的性质与判定 板块一 初识全等(一)全等发现 类型 平移型 旋转型 对称型 平移+对称型 平移+旋转型 图形 典例 精讲 题型① 一次全等 【例1】如图,CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠DCE.求证:BE=AD. 证明:∵∠BCA=∠DCE, ∴∠BCA-∠ACE=∠DCE-∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 答案又∵CA=CB,CD=CE,△BEC≌△ADC(SAS), ∴BE=AD. 【例2】如图,在△ABC 与△ADE中,点E在BC边上,AD=AB,AE=AC,DE=BC,DE交AB 于点O.若∠1=25°,求∠2 的度数. 解:∵AD=AB,DE=BC,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SSS), ∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,∵∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, ∴∠1=∠DAB=25°.∵∠B=∠D,∠BOE=∠AOD,∴∠2=∠DAB=25°. 题型② 二次全等 【例3】如图, 垂足分别为E,D,BE,CD 交于点O, 求证： 证明:先证△ABE≌△ACD(ASA),得AB=AC, ∴BD=CE,得△BOD≌△COE(AAS), ∴OB=OC. 【例4】如图,点B,C,E,F 在同一条直线上, 若AM,DN分别是 和 的角平分线，求证： 证明：∵ ∴AC=DF,∵AM,DN 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线, ∴∠BAC=∠EDF,∴∠BAM=∠EDN,∴△BAM≌△EDN(ASA),∴AM=DN. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,B,E,C,F 四点在同一直线上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判断线段AC,DF的数量与位置关系并证明. 答案解:AC=DF且AC∥DF.证明如下:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF,∠ACB=∠F,∴AC∥DF,∴AC=DF 且AC∥DF. 2.如图,AD是△ABC 的中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF.求证:AE=AF. 证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,BE=CF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF, ∵AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,M是BD上一点,过点B 作 AM于点 N,交AD 的延长线于点E,求证:CM=AE. 证明:证△ABD≌△ACD(SSS), 又∵BN⊥AM,∴∠E=∠AMC, 又∵AB=AC, ∴△BAE≌△ACM(AAS),∴AE=CM. 4.如图,BE,CF 是△ABC 的高,M 为BE 上一点,且 N 为CF 延长线上一点，且CN=AB. (1)求证: (2)求证:AM⊥AN. 证明:(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠AEB=∠AFC=90°,∠ABE+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°, ∴∠ABE=∠ACF, C 又∵BM=AC,CN=AB,∴△ABM≌△NCA(SAS); (2)∵△ABM≌△NCA,∴∠N=∠BAM, ∵∠N+∠NAF=90°,∴∠BAM+∠NAF=90°,∴AM⊥AN. 板块二 初识全等(二)常规辅助线 类型 连接共边 延长补形 截长补短 作垂 图形 典例精讲 题型① 连接法 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F 分别在AB,AD 上, CE=CF,求证:CB=CD. 答案证明:连接AC.∵AE=AF,CE=CF,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(SSS),∴∠EAC=∠FAC. 在△ACB 和△ACD 中 ∴△ACB≌△ACD(AAS),∴CB=CD. 题型❷延长法 【例2】如图,AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°,求证:AB=CD. 证法一:延长BA,CD 交于点E,可得△EBD≌△ECA(AAS),∴BE=CE,AE=DE,∴AB=CD. 证法二:连接BC,则 Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),可得AB=CD. C 题型③ 作垂线法 【例3】如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AF⊥DE,且AF=DE.若AD=4,求S△ADF. 解:过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,∴∠G=∠DAE=90°, , ∵AF=DE,∴△AGF≌△EAD(AAS), 题型❹ 截长补短法 【例4】如图,在△ABC中,AB>AC,AD 平分∠BAC,P是AD上一点,求证: AB-AC. 证法一(截长法):在AB上取一点E,使AE=AC, ∴PE=PC,在△BEP 中,PB-PE<BE,即PB-PC<AB-AC; 证法二(补短法):延长AC 至点F,使AF=AB,连接PF, 则△ABP≌△AFP(SAS), ∴PB=PF,∴PF-PC<CF,∴PB-PC<AB-AC. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,AB,CD交于点O,AB=CD,AC=BD.求证:∠A=∠D. 证明: 连接BC,易得△ABC≌△DCB(SSS), ∴∠A=∠D. 2.在五边形ABCDE 中,F为CD上一点,连接AF. (1)如图1,若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证:F为CD的中点; (2)如图2,若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点 F.求证:F为CD的中点. 证明:答案(1)连接AC,AD,得△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD.∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),∴CF=DF,即F 为CD 的中点; (2)延长AB,AE,与直线CD 交于点M,N. 则△AFM≌△AFN(ASA),∴FM=FN,AM=AN, ∠M=∠N,又∵AB=AE,∠ABC=∠AED, ∴BM=EN,∠MBC=∠DEN, ∴△MBC≌△NED(ASA),∴MC=DN, 又∵FM=FN,∴CF=DF,∴F 为CD 的中点, 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,过点 D 作DE⊥AC 交BC 于点E.若DE=BC, 求CE的长. 解:过点D 作DH⊥BC于点H,∴∠EHD=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠EHD, ∵AB⊥AC,DE⊥AC,∴AB∥DE,∴∠B=∠DEH, ∵BC=ED,∠BAC=∠EHD,∴△ABC≌△HED(AAS), 4.如图,在△ABC 中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE. 证明:在BC上截取BM=BA,连接DM,证△BAD≌△BMD,再证△CED≌△CMD, ∴CE=CM,∴BC=BM+MC=BA+CE. 中点的处理方法 板块一 中点处理(一)知中点 类型 倍长中线 倍长类中线 作垂直 图形 条件 BD=CD BD=CD 方法 延长AD 至点E,DE=AD 延长ED 至点F,DF=ED 作 于点E,F 结论 ①△ADC≌△EDB; ②BE=AC,BE∥AC. ①△EDC≌△FDB; 典例精讲 题型① 倍长中线(或作平行线) 【例1】如图,AD 是△ABC 的中线. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AD=4,求AC的取值范围. 答案解:(1)延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,则△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE,∵在△ABE 中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD; (2)∵在△ABE中,AE-AB<BE<AB+AE,∴8-6<BE<6+8,∴2<BE<14,∴2<AC<14. 题型② 倍长类中线(或作平行线) 【例2】如图,在△ABC 中,D为BC上一点,E是BC中点, 交CA 的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF,求证:AD 为△ABC 的角平分线. 证明:过点C作CH∥AB,交FE 的延长线于点H, 则△ECH≌△EBG(ASA), ∴CF=BG=CH,∠BGE=∠H=∠F. ∵EF∥AD,∴∠BAD=∠BGE,∠DAC=∠F, ∴∠BAD=∠DAC,∴AD 为△ABC的角平分线. 题型③作垂直 【例3】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E,F 分别在BD,AD上,且 AB.求证:EF=AC. 证明：过点C，E分别作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△CDG≌△EDH(AAS),∴CG=EH, ∵EF∥AB,AD 平分∠BAC,∴∠EFD=∠BAD=∠CAD, ∴△EFH≌△CAG(AAS),∴EF=AC. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,在四边形BEFC中,D为BC的中点,∠EDF=90°,BE=4,CF=1.若EF 的长为整数,求 EF 的长. 答案解:延长FD至点A,使AD=DF,连接AB,EA, ∴△BAD≌△CFD(SAS),∴CF=BA=1, ∵DF=DA,∠EDF=90°,证△ADE≌△FDE(SAS),∴EA=EF, ∵EB-AB<AE<EB+AB,∴4=1<EF<4+1,即3<EF<5, ∵EF的长为整数,∴EF=4. 2.如图,在四边形ABFG中,∠A=∠B=90°,E为AB的中点,且EG⊥EF.若AG=2,BF=3,求GF的长. 解:延长GE,FB 交于点H,则△AEG≌△BEH(ASA). ∴EG=EH,BH=AG=2, 又∵∠GEF=∠HEF=90°,EF=EF, ∴△GEF≌△HEF(SAS); ∴GF=HF=BF+BH=3+2=5, 3.如图,AD 是△ABC 的中线,且CD=AB,AE是△ABD的中线.求证: 证明: 延长AE至点F,使EF=AE,连接DF,可得 ∴DF=AB=CD,∠EDF=∠B. ∵AB=CD=BD,∴∠BAD=∠BDA, ∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADB+∠EDF=∠ADF, ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AC=AF=2AE. 4.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,F为DE中点,连接AF.求证: 证明:延长AF至点G,使FG=AF,连接DG,则△AFE≌△GFD(SAS). , ∴∠ADG=∠BAC. 又∵ 板块二 中点处理(二)证中点 类型 作平行 作垂直 作延长 图形 方法 过点 B 作BE∥AC,再证△BDE≌△CDA. 作BE⊥AD,CF⊥AD,再证△BDE≌△CDF. 知BF∥AC,延长AD,FB 交于点E,证△ACD≌△EBD. 结论 BD=CD BD=CD BD=CD 典例精讲 题型①作平行 【例1】如图,AB,CD 交于点E,AD=BC,∠C+∠D=180°.求证:AE=BE. 答案证明:过点A 作AF∥BC交CD 于点F,∴∠AFC=∠C, ∵∠AFD+∠AFC=180°,∠C+∠D=180°, ∴∠AFD=∠D,∴AD=AF,∵AD=BC,∴AF=BC, 又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AE=BE, 题型❷作垂直 【例2】如图,D为BC上一点,F为AD上一点,BF=AC,∠BFD=∠CAD.求证:BD=CD. 证明：分别过B，C两点作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△ACH≌△FBG(AAS), ∴BG=CH,∴△BDG≌△CDH(AAS), ∴BD=CD. 【点睛】也可作BM∥AC,交AD 的延长线于点M. 题型③作延长 【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E 为AB上一点,CE平分∠BCD,且DE平分∠ADC.求证:E为AB的中点. 证明：延长DE 交CB 的延长线于点 F. ∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠EDC+∠ECD=90°,∴∠DEC=90°, ∵EC=EC,∠DCE=∠FCE, ∴△CED≌△CEF(ASA), ∴DE=EF,∴△AED≌△BEF(ASA), ∴AE=BE,即E为AB的中点. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,AB=AC,D为AB上一点,CD=CE,∠BAC=∠DCE=90°,BE交AC 于点F.求证:F 为BE 的中点. 答案证明:过点E 作EG⊥AC 于点G. ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°,∠CEG+∠ACE=90°, ∴∠ACD=∠CEG, ∵DC=CE,∴△ACD≌△GEC(AAS). ∴EG=AC=AB,∴△ABF≌△GEF(AAS), ∴BF=EF,∴F 为BE 的中点. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB 于点D,AE⊥AC,且. 连接BE交AC 于点F,求证:BF=EF. 证明:过点B作BM⊥AC于点M. 可证△ABM≌△ACD(AAS), ∴CD=BM=AE. ∴△AEF≌△MBF, 0 ∴BF=EF. 3.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD上的一点, 且 ∠ABD=∠CBE,求证:E是AD 的中点. 证明:过点 A 作AH∥BD交BE的延长线于点H,∴∠H=∠EBD. ∵∠DFC=∠DBC+∠BCF,∠CBE=∠DBC+∠EBD,∠DFC=∠CBE, ∴∠BCF=∠EBD=∠H, ∵∠ABD=∠CBE,∴∠ABE=∠CBF, 又∵AB=BF,∴△ABH≌△FBC(AAS), C ∴BC=BH=2BE,∴BE=EH, 又∵∠AEH=∠DEB,∠H=∠EBD. ∴△AEH≌△DEB,∴AE=DE, ∴E是AD 的中点. 4.(原创题)如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠ADC=135°,F为BD 上一点,且 求证:BF=DF. 证明:延长CD 交AF 于点K,过点B 作BG⊥AF,交AF 的延长线于点G. ∴AK=DK,∠AKD=90°. ∵ 又： ). ∴1 ∴△BFG≌△DFK,∴BF=DF. 第6讲 全等三角形的性质与判定 板块一 初识全等(一)全等发现 类型 平移型 旋转型 对称型 平移+对称型 平移+旋转型 图形 典例 精讲 题型① 一次全等 【例1】如图,CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠DCE.求证:BE=AD. 证明:∵∠BCA=∠DCE, ∴∠BCA-∠ACE=∠DCE-∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 答案又∵CA=CB,CD=CE,△BEC≌△ADC(SAS), ∴BE=AD. 【例2】如图,在△ABC 与△ADE中,点E在BC边上,AD=AB,AE=AC,DE=BC,DE交AB 于点O.若∠1=25°,求∠2 的度数. 解:∵AD=AB,DE=BC,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SSS), ∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,∵∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, ∴∠1=∠DAB=25°.∵∠B=∠D,∠BOE=∠AOD,∴∠2=∠DAB=25°. 题型② 二次全等 【例3】如图, 垂足分别为E,D,BE,CD 交于点O, 求证： 证明:先证△ABE≌△ACD(ASA),得AB=AC, ∴BD=CE,得△BOD≌△COE(AAS), ∴OB=OC. 【例4】如图,点B,C,E,F 在同一条直线上, 若AM,DN分别是 和 的角平分线，求证： 证明：∵ ∴AC=DF,∵AM,DN 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线, ∴∠BAC=∠EDF,∴∠BAM=∠EDN,∴△BAM≌△EDN(ASA),∴AM=DN. 实 战 演 练 1.如图,B,E,C,F 四点在同一直线上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判断线段AC,DF的数量与位置关系并证明. 答案解:AC=DF且AC∥DF.证明如下:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF,∠ACB=∠F,∴AC∥DF,∴AC=DF 且AC∥DF. 2.如图,AD是△ABC 的中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF.求证:AE=AF. 证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,BE=CF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF, ∵AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,M是BD上一点,过点B 作 AM于点 N,交AD 的延长线于点E,求证:CM=AE. 证明:证△ABD≌△ACD(SSS), 又∵BN⊥AM,∴∠E=∠AMC, 又∵AB=AC, ∴△BAE≌△ACM(AAS),∴AE=CM. 4.如图,BE,CF 是△ABC 的高,M 为BE 上一点,且 N 为CF 延长线上一点，且CN=AB. (1)求证: (2)求证:AM⊥AN. 证明:(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠AEB=∠AFC=90°,∠ABE+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°, ∴∠ABE=∠ACF, C 又∵BM=AC,CN=AB,∴△ABM≌△NCA(SAS); (2)∵△ABM≌△NCA,∴∠N=∠BAM, ∵∠N+∠NAF=90°,∴∠BAM+∠NAF=90°,∴AM⊥AN. 板块二 初识全等(二)常规辅助线 类型 连接共边 延长补形 截长补短 作垂 图形 典例精讲 题型① 连接法 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F 分别在AB,AD 上, CE=CF,求证:CB=CD. 答案证明:连接AC.∵AE=AF,CE=CF,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(SSS),∴∠EAC=∠FAC. 在△ACB 和△ACD 中 ∴△ACB≌△ACD(AAS),∴CB=CD. 题型❷延长法 【例2】如图,AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°,求证:AB=CD. 证法一:延长BA,CD 交于点E,可得△EBD≌△ECA(AAS),∴BE=CE,AE=DE,∴AB=CD. 证法二:连接BC,则 Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),可得AB=CD. C 题型③ 作垂线法 【例3】如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AF⊥DE,且AF=DE.若AD=4,求S△ADF. 解:过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,∴∠G=∠DAE=90°, , ∵AF=DE,∴△AGF≌△EAD(AAS), 题型❹ 截长补短法 【例4】如图,在△ABC中,AB>AC,AD 平分∠BAC,P是AD上一点,求证: AB-AC. 证法一(截长法):在AB上取一点E,使AE=AC, ∴PE=PC,在△BEP 中,PB-PE<BE,即PB-PC<AB-AC; 证法二(补短法):延长AC 至点F,使AF=AB,连接PF, 则△ABP≌△AFP(SAS), ∴PB=PF,∴PF-PC<CF,∴PB-PC<AB-AC. 实 战 演 练 1.如图,AB,CD交于点O,AB=CD,AC=BD.求证:∠A=∠D. 证明: 连接BC,易得△ABC≌△DCB(SSS), ∴∠A=∠D. 2.在五边形ABCDE 中,F为CD上一点,连接AF. (1)如图1,若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证:F为CD的中点; (2)如图2,若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点 F.求证:F为CD的中点. 证明:答案(1)连接AC,AD,得△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD.∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),∴CF=DF,即F 为CD 的中点; (2)延长AB,AE,与直线CD 交于点M,N. 则△AFM≌△AFN(ASA),∴FM=FN,AM=AN, ∠M=∠N,又∵AB=AE,∠ABC=∠AED, ∴BM=EN,∠MBC=∠DEN, ∴△MBC≌△NED(ASA),∴MC=DN, 又∵FM=FN,∴CF=DF,∴F 为CD 的中点, 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,过点 D 作DE⊥AC 交BC 于点E.若DE=BC, 求CE的长. 解:过点D 作DH⊥BC于点H,∴∠EHD=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠EHD, ∵AB⊥AC,DE⊥AC,∴AB∥DE,∴∠B=∠DEH, ∵BC=ED,∠BAC=∠EHD,∴△ABC≌△HED(AAS), 4.如图,在△ABC 中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE. 证明:在BC上截取BM=BA,连接DM,证△BAD≌△BMD,再证△CED≌△CMD, ∴CE=CM,∴BC=BM+MC=BA+CE. 第7讲 中点的处理方法 板块一 中点处理(一)知中点 类型 倍长中线 倍长类中线 作垂直 图形 条件 BD=CD BD=CD 方法 延长AD 至点E,DE=AD 延长ED 至点F,DF=ED 作 于点E,F 结论 ①△ADC≌△EDB; ②BE=AC,BE∥AC. ①△EDC≌△FDB; 典例精讲 题型① 倍长中线(或作平行线) 【例1】如图,AD 是△ABC 的中线. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AD=4,求AC的取值范围. 答案解:(1)延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,则△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE,∵在△ABE 中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD; (2)∵在△ABE中,AE-AB<BE<AB+AE,∴8-6<BE<6+8,∴2<BE<14,∴2<AC<14. 题型② 倍长类中线(或作平行线) 【例2】如图,在△ABC 中,D为BC上一点,E是BC中点, 交CA 的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF,求证:AD 为△ABC 的角平分线. 证明:过点C作CH∥AB,交FE 的延长线于点H, 则△ECH≌△EBG(ASA), ∴CF=BG=CH,∠BGE=∠H=∠F. ∵EF∥AD,∴∠BAD=∠BGE,∠DAC=∠F, ∴∠BAD=∠DAC,∴AD 为△ABC的角平分线. 题型③作垂直 【例3】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E,F 分别在BD,AD上,且 AB.求证:EF=AC. 证明：过点C，E分别作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△CDG≌△EDH(AAS),∴CG=EH, ∵EF∥AB,AD 平分∠BAC,∴∠EFD=∠BAD=∠CAD, ∴△EFH≌△CAG(AAS),∴EF=AC. 实 战 演 练 1.如图,在四边形BEFC中,D为BC的中点,∠EDF=90°,BE=4,CF=1.若EF 的长为整数,求 EF 的长. 答案解:延长FD至点A,使AD=DF,连接AB,EA, ∴△BAD≌△CFD(SAS),∴CF=BA=1, ∵DF=DA,∠EDF=90°,证△ADE≌△FDE(SAS),∴EA=EF, ∵EB-AB<AE<EB+AB,∴4=1<EF<4+1,即3<EF<5, ∵EF的长为整数,∴EF=4. 2.如图,在四边形ABFG中,∠A=∠B=90°,E为AB的中点,且EG⊥EF.若AG=2,BF=3,求GF的长. 解:延长GE,FB 交于点H,则△AEG≌△BEH(ASA). ∴EG=EH,BH=AG=2, 又∵∠GEF=∠HEF=90°,EF=EF, ∴△GEF≌△HEF(SAS); ∴GF=HF=BF+BH=3+2=5, 3.如图,AD 是△ABC 的中线,且CD=AB,AE是△ABD的中线.求证: 证明: 延长AE至点F,使EF=AE,连接DF,可得 ∴DF=AB=CD,∠EDF=∠B. ∵AB=CD=BD,∴∠BAD=∠BDA, ∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADB+∠EDF=∠ADF, ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AC=AF=2AE. 4.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,F为DE中点,连接AF.求证: 证明:延长AF至点G,使FG=AF,连接DG,则△AFE≌△GFD(SAS). , ∴∠ADG=∠BAC. 又∵ 板块二 中点处理(二)证中点 类型 作平行 作垂直 作延长 图形 方法 过点 B 作BE∥AC,再证△BDE≌△CDA. 作BE⊥AD,CF⊥AD,再证△BDE≌△CDF. 知BF∥AC,延长AD,FB 交于点E,证△ACD≌△EBD. 结论 BD=CD BD=CD BD=CD 典例精讲 题型①作平行 【例1】如图,AB,CD 交于点E,AD=BC,∠C+∠D=180°.求证:AE=BE. 答案证明:过点A 作AF∥BC交CD 于点F,∴∠AFC=∠C, ∵∠AFD+∠AFC=180°,∠C+∠D=180°, ∴∠AFD=∠D,∴AD=AF,∵AD=BC,∴AF=BC, 又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AE=BE, 题型❷作垂直 【例2】如图,D为BC上一点,F为AD上一点,BF=AC,∠BFD=∠CAD.求证:BD=CD. 证明：分别过B，C两点作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△ACH≌△FBG(AAS), ∴BG=CH,∴△BDG≌△CDH(AAS), ∴BD=CD. 【点睛】也可作BM∥AC,交AD 的延长线于点M. 题型③作延长 【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E 为AB上一点,CE平分∠BCD,且DE平分∠ADC.求证:E为AB的中点. 证明：延长DE 交CB 的延长线于点 F. ∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠EDC+∠ECD=90°,∴∠DEC=90°, ∵EC=EC,∠DCE=∠FCE, ∴△CED≌△CEF(ASA), ∴DE=EF,∴△AED≌△BEF(ASA), ∴AE=BE,即E为AB的中点. 实 战 演 练 1.如图,AB=AC,D为AB上一点,CD=CE,∠BAC=∠DCE=90°,BE交AC 于点F.求证:F 为BE 的中点. 答案证明:过点E 作EG⊥AC 于点G. ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°,∠CEG+∠ACE=90°, ∴∠ACD=∠CEG, ∵DC=CE,∴△ACD≌△GEC(AAS). ∴EG=AC=AB,∴△ABF≌△GEF(AAS), ∴BF=EF,∴F 为BE 的中点. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB 于点D,AE⊥AC,且. 连接BE交AC 于点F,求证:BF=EF. 证明:过点B作BM⊥AC于点M. 可证△ABM≌△ACD(AAS), ∴CD=BM=AE. ∴△AEF≌△MBF, 0 ∴BF=EF. 3.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD上的一点, 且 ∠ABD=∠CBE,求证:E是AD 的中点. 证明:过点 A 作AH∥BD交BE的延长线于点H,∴∠H=∠EBD. ∵∠DFC=∠DBC+∠BCF,∠CBE=∠DBC+∠EBD,∠DFC=∠CBE, ∴∠BCF=∠EBD=∠H, ∵∠ABD=∠CBE,∴∠ABE=∠CBF, 又∵AB=BF,∴△ABH≌△FBC(AAS), C ∴BC=BH=2BE,∴BE=EH, 又∵∠AEH=∠DEB,∠H=∠EBD. ∴△AEH≌△DEB,∴AE=DE, ∴E是AD 的中点. 4.(原创题)如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠ADC=135°,F为BD 上一点,且 求证:BF=DF. 证明:延长CD 交AF 于点K,过点B 作BG⊥AF,交AF 的延长线于点G. ∴AK=DK,∠AKD=90°. ∵ 又： ). ∴1 ∴△BFG≌△DFK,∴BF=DF. 第6讲 全等三角形的性质与判定 板块一 初识全等(一)全等发现 类型 平移型 旋转型 对称型 平移+对称型 平移+旋转型 图形 典例 精讲 题型① 一次全等 【例1】如图,CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠DCE.求证:BE=AD. 证明:∵∠BCA=∠DCE, ∴∠BCA-∠ACE=∠DCE-∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 答案又∵CA=CB,CD=CE,△BEC≌△ADC(SAS), ∴BE=AD. 【例2】如图,在△ABC 与△ADE中,点E在BC边上,AD=AB,AE=AC,DE=BC,DE交AB 于点O.若∠1=25°,求∠2 的度数. 解:∵AD=AB,DE=BC,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SSS), ∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,∵∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, ∴∠1=∠DAB=25°.∵∠B=∠D,∠BOE=∠AOD,∴∠2=∠DAB=25°. 题型② 二次全等 【例3】如图, 垂足分别为E,D,BE,CD 交于点O, 求证： 证明:先证△ABE≌△ACD(ASA),得AB=AC, ∴BD=CE,得△BOD≌△COE(AAS), ∴OB=OC. 【例4】如图,点B,C,E,F 在同一条直线上, 若AM,DN分别是 和 的角平分线，求证： 证明：∵ ∴AC=DF,∵AM,DN 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线, 第7讲 中点的处理方法 板块一 中点处理(一)知中点 类型 倍长中线 倍长类中线 作垂直 图形 条件 BD=CD BD=CD 方法 延长AD 至点E,DE=AD 延长ED 至点F,DF=ED 作 于点E,F 结论 ①△ADC≌△EDB; ②BE=AC,BE∥AC. ①△EDC≌△FDB; 典例精讲 题型① 倍长中线(或作平行线) 【例1】如图,AD 是△ABC 的中线. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AD=4,求AC的取值范围. 答案解:(1)延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,则△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE,∵在△ABE 中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD; (2)∵在△ABE中,AE-AB<BE<AB+AE,∴8-6<BE<6+8,∴2<BE<14,∴2<AC<14. 题型② 倍长类中线(或作平行线) 【例2】如图,在△ABC 中,D为BC上一点,E是BC中点, 交CA 的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF,求证:AD 为△ABC 的角平分线. 证明:过点C作CH∥AB,交FE 的延长线于点H, 则△ECH≌△EBG(ASA), ∴CF=BG=CH,∠BGE=∠H=∠F. ∵EF∥AD,∴∠BAD=∠BGE,∠DAC=∠F, ∴∠BAD=∠DAC,∴AD 为△ABC的角平分线. 题型③作垂直 【例3】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E,F 分别在BD,AD上,且 AB.求证:EF=AC. 证明：过点C，E分别作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△CDG≌△EDH(AAS),∴CG=EH, ∵EF∥AB,AD 平分∠BAC,∴∠EFD=∠BAD=∠CAD, ∴△EFH≌△CAG(AAS),∴EF=AC. 实 战 演 练 1.如图,在四边形BEFC中,D为BC的中点,∠EDF=90°,BE=4,CF=1.若EF 的长为整数,求 EF 的长. 答案解:延长FD至点A,使AD=DF,连接AB,EA, ∴△BAD≌△CFD(SAS),∴CF=BA=1, ∵DF=DA,∠EDF=90°,证△ADE≌△FDE(SAS),∴EA=EF, ∵EB-AB<AE<EB+AB,∴4=1<EF<4+1,即3<EF<5, ∵EF的长为整数,∴EF=4. 2.如图,在四边形ABFG中,∠A=∠B=90°,E为AB的中点,且EG⊥EF.若AG=2,BF=3,求GF的长. 解:延长GE,FB 交于点H,则△AEG≌△BEH(ASA). ∴EG=EH,BH=AG=2, 又∵∠GEF=∠HEF=90°,EF=EF, ∴△GEF≌△HEF(SAS); ∴GF=HF=BF+BH=3+2=5, 3.如图,AD 是△ABC 的中线,且CD=AB,AE是△ABD的中线.求证: 证明: 延长AE至点F,使EF=AE,连接DF,可得 ∴DF=AB=CD,∠EDF=∠B. ∵AB=CD=BD,∴∠BAD=∠BDA, ∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADB+∠EDF=∠ADF, ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AC=AF=2AE. 4.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,F为DE中点,连接AF.求证: 证明:延长AF至点G,使FG=AF,连接DG,则△AFE≌△GFD(SAS). , ∴∠ADG=∠BAC. 又∵ 实 战 演 练 1.如图,B,E,C,F 四点在同一直线上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判断线段AC,DF的数量与位置关系并证明. 答案解:AC=DF且AC∥DF.证明如下:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF,∠ACB=∠F,∴AC∥DF,∴AC=DF 且AC∥DF. 2.如图,AD是△ABC 的中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF.求证:AE=AF. 证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,BE=CF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF, ∵AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,M是BD上一点,过点B 作 AM于点 N,交AD 的延长线于点E,求证:CM=AE. 证明:证△ABD≌△ACD(SSS), 又∵BN⊥AM,∴∠E=∠AMC, 又∵AB=AC, ∴△BAE≌△ACM(AAS),∴AE=CM. 4.如图,BE,CF 是△ABC 的高,M 为BE 上一点,且 N 为CF 延长线上一点，且CN=AB. (1)求证: (2)求证:AM⊥AN. 证明:(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠AEB=∠AFC=90°,∠ABE+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°, ∴∠ABE=∠ACF, C 又∵BM=AC,CN=AB,∴△ABM≌△NCA(SAS); (2)∵△ABM≌△NCA,∴∠N=∠BAM, ∵∠N+∠NAF=90°,∴∠BAM+∠NAF=90°,∴AM⊥AN. 板块二 初识全等(二)常规辅助线 类型 连接共边 延长补形 截长补短 作垂 图形 典例精讲 题型① 连接法 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F 分别在AB,AD 上, CE=CF,求证:CB=CD. 答案证明:连接AC.∵AE=AF,CE=CF,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(SSS),∴∠EAC=∠FAC. 在△ACB 和△ACD 中 ∴△ACB≌△ACD(AAS),∴CB=CD. 题型❷延长法 【例2】如图,AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°,求证:AB=CD. 证法一:延长BA,CD 交于点E,可得△EBD≌△ECA(AAS),∴BE=CE,AE=DE,∴AB=CD. 证法二:连接BC,则 Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),可得AB=CD. C 题型③ 作垂线法 【例3】如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AF⊥DE,且AF=DE.若AD=4,求S△ADF. 解:过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,∴∠G=∠DAE=90°, , ∵AF=DE,∴△AGF≌△EAD(AAS), 题型❹ 截长补短法 【例4】如图,在△ABC中,AB>AC,AD 平分∠BAC,P是AD上一点,求证: AB-AC. 证法一(截长法):在AB上取一点E,使AE=AC, ∴PE=PC,在△BEP 中,PB-PE<BE,即PB-PC<AB-AC; 证法二(补短法):延长AC 至点F,使AF=AB,连接PF, 则△ABP≌△AFP(SAS), ∴PB=PF,∴PF-PC<CF,∴PB-PC<AB-AC. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,AB,CD交于点O,AB=CD,AC=BD.求证:∠A=∠D. 证明: 连接BC,易得△ABC≌△DCB(SSS), ∴∠A=∠D. 2.在五边形ABCDE 中,F为CD上一点,连接AF. (1)如图1,若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证:F为CD的中点; (2)如图2,若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点 F.求证:F为CD的中点. 证明:答案(1)连接AC,AD,得△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD.∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL),∴CF=DF,即F 为CD 的中点; (2)延长AB,AE,与直线CD 交于点M,N. 则△AFM≌△AFN(ASA),∴FM=FN,AM=AN, ∠M=∠N,又∵AB=AE,∠ABC=∠AED, ∴BM=EN,∠MBC=∠DEN, ∴△MBC≌△NED(ASA),∴MC=DN, 又∵FM=FN,∴CF=DF,∴F 为CD 的中点, 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,过点 D 作DE⊥AC 交BC 于点E.若DE=BC, 求CE的长. 解:过点D 作DH⊥BC于点H,∴∠EHD=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠EHD, ∵AB⊥AC,DE⊥AC,∴AB∥DE,∴∠B=∠DEH, ∵BC=ED,∠BAC=∠EHD,∴△ABC≌△HED(AAS), 4.如图,在△ABC 中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE. 证明:在BC上截取BM=BA,连接DM,证△BAD≌△BMD,再证△CED≌△CMD, ∴CE=CM,∴BC=BM+MC=BA+CE. 板块二 中点处理(二)证中点 类型 作平行 作垂直 作延长 图形 方法 过点 B 作BE∥AC,再证△BDE≌△CDA. 作BE⊥AD,CF⊥AD,再证△BDE≌△CDF. 知BF∥AC,延长AD,FB 交于点E,证△ACD≌△EBD. 结论 BD=CD BD=CD BD=CD 典例精讲 题型①作平行 【例1】如图,AB,CD 交于点E,AD=BC,∠C+∠D=180°.求证:AE=BE. 答案证明:过点A 作AF∥BC交CD 于点F,∴∠AFC=∠C, ∵∠AFD+∠AFC=180°,∠C+∠D=180°, ∴∠AFD=∠D,∴AD=AF,∵AD=BC,∴AF=BC, 又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AE=BE, 题型❷作垂直 【例2】如图,D为BC上一点,F为AD上一点,BF=AC,∠BFD=∠CAD.求证:BD=CD. 证明：分别过B，C两点作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△ACH≌△FBG(AAS), ∴BG=CH,∴△BDG≌△CDH(AAS), ∴BD=CD. 【点睛】也可作BM∥AC,交AD 的延长线于点M. 题型③作延长 【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E 为AB上一点,CE平分∠BCD,且DE平分∠ADC.求证:E为AB的中点. 证明：延长DE 交CB 的延长线于点 F. ∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠EDC+∠ECD=90°,∴∠DEC=90°, ∵EC=EC,∠DCE=∠FCE, ∴△CED≌△CEF(ASA), ∴DE=EF,∴△AED≌△BEF(ASA), ∴AE=BE,即E为AB的中点. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 实 战 演 练 1.如图,AB=AC,D为AB上一点,CD=CE,∠BAC=∠DCE=90°,BE交AC 于点F.求证:F 为BE 的中点. 答案证明:过点E 作EG⊥AC 于点G. ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°,∠CEG+∠ACE=90°, ∴∠ACD=∠CEG, ∵DC=CE,∴△ACD≌△GEC(AAS). ∴EG=AC=AB,∴△ABF≌△GEF(AAS), ∴BF=EF,∴F 为BE 的中点. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB 于点D,AE⊥AC,且. 连接BE交AC 于点F,求证:BF=EF. 证明:过点B作BM⊥AC于点M. 可证△ABM≌△ACD(AAS), ∴CD=BM=AE. ∴△AEF≌△MBF, 0 ∴BF=EF. 3.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD上的一点, 且 ∠ABD=∠CBE,求证:E是AD 的中点. 证明:过点 A 作AH∥BD交BE的延长线于点H,∴∠H=∠EBD. ∵∠DFC=∠DBC+∠BCF,∠CBE=∠DBC+∠EBD,∠DFC=∠CBE, ∴∠BCF=∠EBD=∠H, ∵∠ABD=∠CBE,∴∠ABE=∠CBF, 又∵AB=BF,∴△ABH≌△FBC(AAS), C ∴BC=BH=2BE,∴BE=EH, 又∵∠AEH=∠DEB,∠H=∠EBD. ∴△AEH≌△DEB,∴AE=DE, ∴E是AD 的中点. 4.(原创题)如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠ADC=135°,F为BD 上一点,且 求证:BF=DF. 证明:延长CD 交AF 于点K,过点B 作BG⊥AF,交AF 的延长线于点G. ∴AK=DK,∠AKD=90°. ∵ 又： ). ∴1 ∴△BFG≌△DFK,∴BF=DF. 板块二 中点处理(二)证中点 类型 作平行 作垂直 作延长 图形 方法 过点 B 作BE∥AC,再证△BDE≌△CDA. 作BE⊥AD,CF⊥AD,再证△BDE≌△CDF. 知BF∥AC,延长AD,FB 交于点E,证△ACD≌△EBD. 结论 BD=CD BD=CD BD=CD 典例精讲 题型①作平行 【例1】如图,AB,CD 交于点E,AD=BC,∠C+∠D=180°.求证:AE=BE. 答案证明:过点A 作AF∥BC交CD 于点F,∴∠AFC=∠C, ∵∠AFD+∠AFC=180°,∠C+∠D=180°, ∴∠AFD=∠D,∴AD=AF,∵AD=BC,∴AF=BC, 又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AE=BE, 题型❷作垂直 【例2】如图,D为BC上一点,F为AD上一点,BF=AC,∠BFD=∠CAD.求证:BD=CD. 证明：分别过B，C两点作AD 的垂线，垂足分别为G，H. 则△ACH≌△FBG(AAS), ∴BG=CH,∴△BDG≌△CDH(AAS), ∴BD=CD. 【点睛】也可作BM∥AC,交AD 的延长线于点M. 题型③作延长 【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E 为AB上一点,CE平分∠BCD,且DE平分∠ADC.求证:E为AB的中点. 证明：延长DE 交CB 的延长线于点 F. ∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠EDC+∠ECD=90°,∴∠DEC=90°, ∵EC=EC,∠DCE=∠FCE, ∴△CED≌△CEF(ASA), ∴DE=EF,∴△AED≌△BEF(ASA), ∴AE=BE,即E为AB的中点. 实 战 演 练 1.如图,AB=AC,D为AB上一点,CD=CE,∠BAC=∠DCE=90°,BE交AC 于点F.求证:F 为BE 的中点. 答案证明:过点E 作EG⊥AC 于点G. ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°,∠CEG+∠ACE=90°, ∴∠ACD=∠CEG, ∵DC=CE,∴△ACD≌△GEC(AAS). ∴EG=AC=AB,∴△ABF≌△GEF(AAS), ∴BF=EF,∴F 为BE 的中点. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB 于点D,AE⊥AC,且. 连接BE交AC 于点F,求证:BF=EF. 证明:过点B作BM⊥AC于点M. 可证△ABM≌△ACD(AAS), ∴CD=BM=AE. ∴△AEF≌△MBF, 0 ∴BF=EF. 3.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD上的一点, 且 ∠ABD=∠CBE,求证:E是AD 的中点. 证明:过点 A 作AH∥BD交BE的延长线于点H,∴∠H=∠EBD. ∵∠DFC=∠DBC+∠BCF,∠CBE=∠DBC+∠EBD,∠DFC=∠CBE, ∴∠BCF=∠EBD=∠H, ∵∠ABD=∠CBE,∴∠ABE=∠CBF, 又∵AB=BF,∴△ABH≌△FBC(AAS), C ∴BC=BH=2BE,∴BE=EH, 又∵∠AEH=∠DEB,∠H=∠EBD. ∴△AEH≌△DEB,∴AE=DE, ∴E是AD 的中点. 4.(原创题)如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠ADC=135°,F为BD 上一点,且 求证:BF=DF. 证明:延长CD 交AF 于点K,过点B 作BG⊥AF,交AF 的延长线于点G. ∴AK=DK,∠AKD=90°. ∵ 又： ). ∴1 ∴△BFG≌△DFK,∴BF=DF. 学科网（北京）股份有限公司 $