4.4两个三角形相似的判定 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“两个三角形相似的判定”核心内容，系统构建从定义性质到四种判定方法（两边成比例夹角相等、三边成比例、两角对应相等、平行线构造）的知识脉络，层层递进，前后呼应，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如题型4中利用平行光测量旗杆高度，引导学生用几何直观观察现实问题，通过两角相等推理建立模型，实现数学语言精准表达；又如动点问题第5题融合运动变化与相似关系，锻炼逻辑推理能力，提升建模意识。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化理解与应用能力。

4.4两个三角形相似的判定 讲解目录 【知识点1】相似三角形的判定与性质 1 【知识点2】相似三角形的判定 1 【知识点3】射影定理 2 【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 2 【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 5 【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 7 【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 8 【题型5】动点中的相似三角形 12 【题型6】由平行判定两个三角形相似 16 【题型7】相似三角形判定定理的综合 18 【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 20 知识讲解 【知识点1】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【知识点3】射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC； ②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC． 题型专练 【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　） A.且∠B＝∠E B.且∠A＝∠E C.且∠A＝∠D D.且∠A＝∠E 【答案】A 【解析】选项A，∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△FED，故选项A符合题意； 选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【举一反三1】如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四种添加条件的方法，正确的是（　　） A. B.BP2＝AP•PC C.AB2＝AP•AC D. 【答案】C 【解析】∵AB2＝AP•AC，∴， 又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB. 故选：C． 【举一反三2】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，∠A＝∠A， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△AED，故C选项符合题意； A、B、D选项均不能判定△ABC∽△AED，故不符合题意. 故选：C． 【举一反三3】如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　　． 【答案】∠D＝∠C或∠E＝∠B或 【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC． 当∠D＝∠C或∠E＝∠B或时，△ADE∽△ACB． 【举一反三4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE． 【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD． ∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD∽△BDE． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△DEF. 【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AE＝ED，∴， ∵DF＝DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF. 【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 【典型例题】有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　） A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 【答案】A 【解析】因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似． 故选：A． 【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为2，5，6．△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为（　　） A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12 【答案】B 【解析】∵△ABC的三边长分别为2，5，6，且， ∴要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为6，15，18． 故选：B． 【举一反三2】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据勾股定理，BC，AC，AB2． 所以AB2+AC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形， 且∠B＝90°，所以夹直角的两边的比为2， 观察各选项，只有C选项中的三角形与所给图形的三角形相似． 故选：C． 【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）： （1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　． 【答案】不相似；相似；相似 【解析】（1）∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1； ∴，∴△ABC与△DEF不相似； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4， ∴，∴△ABC与△A1B1C1相似； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2）， ∴AO＝2，AB，A1B1＝2，OB，OA1＝4，OB1＝2，A1B1＝2， ∴，∴△AOB与△A1OB1相似． 【举一反三4】如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．求证：△DEF∽△ABC. 【答案】证明：∵D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴DFAC， 同理EFBC，DEAB，则，∴△DEF∽△ABC. 【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 【典型例题】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（  ） A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米 【答案】C 【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°． 又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即． 解得：AB＝100米． 故选：C． 【举一反三1】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（  ） A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里 【答案】C 【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH， ∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝． ∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝， 解得FH＝1.05里． 故选：C． 【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为         m． 【答案】0.9 【解析】由题意可得出：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD，∴△EBF∽△DCF，∴＝， ∴＝，解得：BF＝0.9． 【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）． 【答案】解：∵根据反射定律知：∠FEB＝∠FED，∴∠BEA＝∠DEC， ∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴， ∵CE＝2.5米，DC＝1.6米，∴，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高为12.8米． 【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 【典型例题】“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（　　） A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 【答案】B 【解析】由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，∴△GFE∽△BCE，∴， 即，解得：CB＝2（米），∴AB＝AC+CB＝1+2＝3（米）. 故选：B． 【举一反三1】如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　） A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m 【答案】B 【解析】∵BN∥AM，∴△BCN∽△ACM，∴， ∵BC＝1m，BNm，AC＝4.5m，∴，∴MA＝7.5（m）． 故选：B． 【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 　　米． 【答案】1.6 【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即， 解得BC＝1.6. 【举一反三3】如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是        m． 【答案】14 【解析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42 m，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m， ∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴AB＝14（m）， 即铁塔的高度为14 m． 【举一反三4】2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）． 如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米． 【答案】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米， ∵CD∥AB，∴△OAB∽△ODC，∴，∴，∴OC＝400． 答：CO的大致距离为400米． 【举一反三5】某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 【答案】解：过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M， 由题意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米）， ∵CM∥EN，∴△ACM∽△AEN，∴，∴，解得：EN＝15.4， 则EF＝15.4+1.6＝17（米）， 答：旗杆EF的高度为17米． 【题型5】动点中的相似三角形 【典型例题】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，沿CB﹣BA运动，时间t为（　　）时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似． A. B. C.或 D.或或4 【答案】D 【解析】BC， 当△ACB∽△PCA时，则，∴，∴CP， ∵点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度运动，∴t（秒）； 如图，当△ACB∽△APC时， 则，∴，∴CP，∴BP， ∴BP+BC， ∵点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，∴t（秒）， 当点P与B重合时，t＝4秒， 综上所述，时间t为秒或秒或4秒时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似． 故选：D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】①当∠DPC＝∠A时，△ABC∽△PDC， ②当∠PDC＝∠A时，△ABC∽△DPC， ③当∠APD＝∠B时，△ABC∽△APD， ④当∠APD＝∠C时，△ABC∽△ADP， 综上：一共有4个. 故选：D． 【举一反三2】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　） A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s 【答案】D 【解析】如果两点同时运动，设运动t s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝10﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC，∴t：5＝（10﹣2t）：10，∴t＝2.5； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB，∴t：10＝（10﹣2t）：5，∴t＝4． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5s或4s． 故选：D． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝　    　时，△CPQ与△CBA相似． 【答案】4.8或 【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝， 解得t＝4.8； CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝， 解得t＝． 综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似． 【举一反三4】如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t s（0＜t＜5）． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC10（cm）， ∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则，即，解得t； 当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则，即，解得t； ∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似. （2）四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．理由如下： 作PH⊥BC于H，如图， ∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴，即， ∴PH（cm）， 当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时， S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2••t••6•8， 整理得t2﹣5t+20＝0，此时方程无实数解， ∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等． 【题型6】由平行判定两个三角形相似 【典型例题】如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】C 【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE． ∴图中共有3对相似三角形． 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC． ∴图中相似三角形的对数是：3对． 故选：C． 【举一反三2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】C 【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∵AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴△AEF∽△ADC， ∵全等是特殊的相似，∴图中相似的三角形共有3组. 故选：C． 【举一反三3】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　　． 【答案】相似 【解析】∵DE∥BC．∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）. 【举一反三4】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连接AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连接DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连接CG，交AD于点H． （1）求证：∠1＝∠2； （2）求证：△AGH∽△AFD． 【答案】证明：（1）∵EG∥BC，∴∠2＝∠ABC， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC， 由旋转的性质得到：∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2. （2）∵∠1＝∠2，∴EG＝EB， 由旋转的性质得到：CD＝BE，∴EG＝CD， ∵GE∥CD，∴四边形DCGE是平行四边形，∴GH∥FD，∴△AGH∽△AFD． 【题型7】相似三角形判定定理的综合 【典型例题】下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A. B.，∠B＝∠B′ C.，∠A＝∠A′ D. 【答案】C 【解析】A，D中只有对应边成比例，角不确定，A，D错； B中∠B不是AB，AC的夹角，所以B错； C中对应边成比例，且夹角相等，所以C可判定其相似，C对. 故选：C． 【举一反三1】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC 【答案】B 【解析】A、∵∠A＝∠A，，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意； B、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意； C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意； D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意． 故选：B． 【举一反三2】点P是△ABC的边AB上一点，过P点的直线l与△ABC的边界的另一个交点为D，则使△APD与△ABC相似的直线l可能有　　（把正确的结论的代号都填上）． ①1条；②2条；③3条；④4条． 【答案】④ 【解析】如图所示， ①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC； ②作∠APE＝∠C，则△APE∽△ACB； ③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC； ④在∠BPG＝∠C，则△PBG∽△CBA． 【举一反三3】已知：△ABC，P是边AB上的一点，连接CP． （1）当∠ACP＝　　时，△ACP∽△ABC． （2）当AC：AP＝　　时，△ACP∽△ABC． 【答案】（1）∠B，（2）AB：AC 【解析】∵∠A是公共角， （1）当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC； （2）当AC：AP＝AB：AC时，△ACP∽△ABC． 【举一反三4】如图，△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF. （1）△ADF、△BED、△CFE相似吗？为什么？ （2）△DEF与△ABC相似吗？为什么？ 【答案】解：（1）△ADF、△BED、△CFE相似． 理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF， 在△ADF和△BED和△CFE中，， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴△ADF、△BED、△CFE相似. （2）相似． 理由：∵△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝DF， 即△DEF是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形，∴△DEF∽△ABC． 【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列各种图形中，有可能不相似的是（　　） A.有一个角是45°的两个等腰三角形 B.有一个角是60°的两个等腰三角形 C.有一个角是110°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 【答案】A 【解析】A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意； B、各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意； C、各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意； D、两个等腰直角三角形，两角对应相等，此三角形必相似，故此选项不合题意. 故选：A． 【举一反三1】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 【答案】C 【解析】因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似，故A，B，D错误； C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确． 故选：C． 【举一反三2】两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形　　相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”） 【答案】不一定；一定 【解析】由于45°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似； 根据三角形的内角和定理：等于95°的角只能是顶角，即△ABC和△DEF的顶角∠A＝∠D＝95°， ∵AB＝AC，DE＝DF， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝42.5°，∠E＝∠F（180°﹣∠D）＝42.5°，∴∠B＝∠E， ∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF． 【举一反三3】如图，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，则图中相似三角形是 　　． 【答案】△ABC∽△ECD 【解析】∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°，∠BCD＝60°，∴∠ACB+∠DCE＝120°， ∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∴∠DCE＝∠B， 又∵∠A＝∠E，∴△ABC∽△ECD. 【举一反三4】如图所示，在⊙O中，D是中点，BD，AC相交于点E，求证：△ABD∽△EBC． 【答案】证明：∵D是中点，∴，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴△ABD∽△EBC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4两个三角形相似的判定 讲解目录 【知识点1】相似三角形的判定与性质 1 【知识点2】相似三角形的判定 1 【知识点3】射影定理 2 【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 2 【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 4 【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 5 【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 6 【题型5】动点中的相似三角形 8 【题型6】由平行判定两个三角形相似 10 【题型7】相似三角形判定定理的综合 10 【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 12 知识讲解 【知识点1】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【知识点3】射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC； ②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC． 题型专练 【题型1】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　） A.且∠B＝∠E B.且∠A＝∠E C.且∠A＝∠D D.且∠A＝∠E 【举一反三1】如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四种添加条件的方法，正确的是（　　） A. B.BP2＝AP•PC C.AB2＝AP•AC D. 【举一反三2】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D. 【举一反三3】如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△DEF. 【题型2】三边对应成比例的两个三角形相似 【典型例题】有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　） A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为2，5，6．△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为（　　） A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12 【举一反三2】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）： （1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　． 【举一反三4】如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．求证：△DEF∽△ABC. 【题型3】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 【典型例题】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（  ） A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米 【举一反三1】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（  ） A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里 【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为         m． 【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）． 【题型4】由平行判定两个三角形相似定理的应用 【典型例题】“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（　　） A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 【举一反三1】如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　） A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m 【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 　　米． 【举一反三3】如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是        m． 【举一反三4】2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）． 如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米． 【举一反三5】某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 【题型5】动点中的相似三角形 【典型例题】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度，沿CB﹣BA运动，时间t为（　　）时，以点A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似． A. B. C.或 D.或或4 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　） A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝　    　时，△CPQ与△CBA相似． 【举一反三4】如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t s（0＜t＜5）． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【题型6】由平行判定两个三角形相似 【典型例题】如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【举一反三1】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【举一反三2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【举一反三3】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　　． 【举一反三4】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．点D是BC边上的动点，连接AD，将△ADC绕点A旋转至△AEB，使点C与点B重合，连接DE交AB于点F．作EG∥BC交AB于点G，连接CG，交AD于点H． （1）求证：∠1＝∠2； （2）求证：△AGH∽△AFD． 【题型7】相似三角形判定定理的综合 【典型例题】下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A. B.，∠B＝∠B′ C.，∠A＝∠A′ D. 【举一反三1】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC 【举一反三2】点P是△ABC的边AB上一点，过P点的直线l与△ABC的边界的另一个交点为D，则使△APD与△ABC相似的直线l可能有　　（把正确的结论的代号都填上）． ①1条；②2条；③3条；④4条． 【举一反三3】已知：△ABC，P是边AB上的一点，连接CP． （1）当∠ACP＝　　时，△ACP∽△ABC． （2）当AC：AP＝　　时，△ACP∽△ABC． 【举一反三4】如图，△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF. （1）△ADF、△BED、△CFE相似吗？为什么？ （2）△DEF与△ABC相似吗？为什么？ 【题型8】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列各种图形中，有可能不相似的是（　　） A.有一个角是45°的两个等腰三角形 B.有一个角是60°的两个等腰三角形 C.有一个角是110°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 【举一反三1】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 【举一反三2】两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形　　相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”） 【举一反三3】如图，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，则图中相似三角形是 　　． 【举一反三4】如图所示，在⊙O中，D是中点，BD，AC相交于点E，求证：△ABD∽△EBC． 学科网（北京）股份有限公司 $