3.3幂函数讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

❊3.3 幂函数 思维导图 题型精析 一．幂函数 内容 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 【注意】幂函数需要满足三个条件：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数. 二．常用幂函数的图象和性质 1.常见幂函数的图象： 2.常用幂函数的性质： 图 像 定义域 R R R 值 域 R R 单调性 R上单增 R上单增 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点(1，1) 三．一般幂函数的图像与性质 1.对于幂函数， 都是奇数 偶，奇 奇，偶 2.一般幂函数的性质 内容 性质1 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 性质2 α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 性质3 α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 性质4 任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． 性质5 任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 性质6 幂函数在第一象限内指数的变化规律：在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)，在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．在直线x=1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小. 四．幂值大小比较的方法 内容 直接法 当幂的指数或底数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数或底数不相同时，可以先转化为相同幂指数或底数，再运用单调性比较大小 五．凹函数与凸函数 1.定义：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数.同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数. 2.性质：对于凸函数，若，则；凹函数则反之. 题型一 幂函数的概念 下面的函数中是幂函数的有（ ）例1 ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（ ）例2 A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 有下列函数：变1 ①；②；③；④；⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ．变2 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 已知幂函数在区间上单调递减．判断函数的奇偶性．变3 【答案】为奇函数． 【分析】由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． 题型二 幂函数的值 已知幂函数的图象过点，则（ ）例1 A．3 B．9 C．81 D．512 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 已知幂函数，则 ．例2 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 已知幂函数过点，则 ．变1 【答案】 【分析】先求出幂函数的解析式，然后代入求值即可. 【详解】设幂函数为 幂函数的图像过点，即，求出；幂函数的解析式为：,则. 故答案为： 若函数是幂函数，且，则 ．变2 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 已知幂函数则（ ）变3 A．1 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由幂函数定义得到参数的值，求出幂函数，进一步求函数值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得，所以， 所以. 故选：C 题型三 幂函数的图像 【方法点睛】1.当时，幂函数的图像都过原点，并且在单增. 2.当时，幂函数的图像都不过原点，并且在单减，并且越大，函数图像越靠近轴. 3.当时，幂函数图像在第一象限增长速度越来越快，并且越大，函数图像越靠近轴；当时，幂函数图像在第一象限增长速度越来越慢，并且越大，函数图像越靠近轴. 给定一组函数解析式：例1 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）变1 A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断； 【详解】 根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：， 故选：D 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】 根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求. 故选：D 题型四 幂函数的性质 下列命题中正确的是（ ）例1 ①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当时，函数的图象是一条直线；④幂函数当是增函数；⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质逐项判断①②③④⑤，可得出合适的选项. 【详解】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错； 对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象， 则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾， 故幂函数在第四象限没有图象，②对； 对于③，当时，对于函数，则， 且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错； 对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错； 对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对. 故选：D. 已知幂函数和，其中，则有下列说法：例2 ①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间，上，增长速度更快的是；④在区间，上，增长速度更快的是． 则其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可． 【解答】解：由幂函数的性质可知，幂函数的图象过定点，故①正确，②错误， 在区间，上，越大，幂函数的增长速度越快，故③正确，④错误， 所以正确命题的序号是①③， 故选：． （多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）变1 A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，则，故正确； 根据幂函数的图象恒过定点，故正确； 当时，，故函数上单调递增， 则，故错误； 当时，，定义域为，且， 故为偶函数，关于轴对称，故正确. 故选： （多选）下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ）变2 A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限 C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确； 若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象， 从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误； 当时，在是增函数，故C正确； 当时，在是减函数，故D正确. 故选：ACD. 题型五 比较幂值大小 已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由幂函数的定义即可求解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较，，的大小. 【详解】 对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知： ，解得或（舍去）， ∴，是偶函数， ∴，，而，即， 故选：A 已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 已知，则的大小关系为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 已知，则（ ）例3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 已知，，，则（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 记，则（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ，由幂函数在上单调递增，所以.故选：C 题型六 凹函数与凸函数 对于幂函数，若，则，大小关系是（       ）例1 A． B．< C．= D．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据在上市增函数，图象是上凸的，则当时，应有，由此可得结论. 【详解】 因为幂函数在上是增函数，且图象是上凸的， 所以当时，应有， 故选：A. （多选）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）变1 A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质可判断ABC，利用，作差可判断D. 【详解】 将点代入函数得：，则， 所以， ∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确； 函数在定义域上为增函数，所以B正确； 当时，，即，所以C正确； 若时， = =. 即成立，所以D正确. 故选：BCD. （多选）下列说法正确的是（ ）变2 A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数（）始终经过点和 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】CD 【解析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案. 【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误； 函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误； 幂函数（）始终经过点和，正确； 任意的，，要证，即， 即，即，易知成立，故正确； 故选：. 题型七 幂函数与函数不等式 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 .变1 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 .变2 【答案】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 .例2 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 .变3 【答案】 【分析】结合幂函数的图象与性质求出，运用函数的单调性解不等式. 【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， ，解得， ，或 当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，其图象关于原点对称，满足题意， 不等式可化为 函数是定义域为的减函数， ，解得， 即实数a的取值范围是 故答案为：. 题型八 幂函数综合 已知幂函数在其定义域上为增函数．例1 （1）求函数的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据幂函数的定义求出或，结合幂函数的性质即可得出结果； (2)根据函数的单调性解不等式即可. (1) ∵为幂函数．∴，解得或． 当时，在其定义域上不为增函数，舍去． 当时，在R上为增函数，符合题意．∴； (2) ∵在R上为增函数，且，∴， 整理得，解得， ∴实数a的取值范围为． 已知幂函数在定义域上不单调．变1 （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 已知函数为幂函数.例2 （1）判断函数的单调性，并加以证明； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2）由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，变2 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解； （2）问题为对任意恒成立，即，求出的最小值即可. 【详解】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，.变3 （1）求的解析式； （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性确定的值，即得，再由函数的奇偶性求得的解析式即可； （2）由题设不等式，根据函数奇偶性和单调性，将其转化为，利用二次函数的最值即得参数的范围. 【详解】（1）因是幂函数，故，解得或， 当时，，在区间上是减函数，故舍去； 当时，，在区间上是增函数，符合题意,故. 又时，，因是定义域为的奇函数，故， 当时，，. 故； （2）由，可得， 因是定义域为的奇函数，则， 由时，，可知在上单调递增， 当时，， 结合，为奇函数， 得是上的增函数，故，即， 因，，则，故得， 即实数的取值范围为. 课后强化 1.（多选）下列函数中，为幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 2.“”是“为幂函数”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3.（多选）已知函数是幂函数，则（ ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 4.幂函数的图象经过点，则 . 【答案】4 【分析】点代入幂函数的解析式，用待定系数法求出的值，计算即可求得结果. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，即， 所以，则， 所以. 故答案为：. 5.已知是幂函数，且在上单调递增，则 . 【答案】27 【分析】利用幂函数的定义和性质，求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：27. 6.若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 7.若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂函数的图象和性质判断. 【详解】 由图象知；在上递增， 所以， 由的图象增长的越来越慢， 所以， 在上递减， 所以， 又当时，的图象在的下方， 所以， 故选：B 8.下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数解析式依次判断即可. 【详解】 ①，当时，，经过原点； ②的定义域为，故不经过原点； ③的定义域为，故不经过原点； ④，当时，，经过原点. 综上，经过原点的函数有2个. 故选：B. 9.（多选）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若表示递增的幂函数，则 D．幂函数的图像都过点， 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确； 对于B，函数不是幂函数，B错误； 对于C，是幂函数，则，解得或， 当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确； 对于D，幂函数不过点，D错误. 故选：AC 10.（多选）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 12.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 13.已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】待定系数法求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性求解. 【详解】设，则，解得， 所以，定义域为，且在定义域上单调递减， 故，解得. 故答案为：. 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 【答案】或 【分析】由幂函数在上单调递减，可得且，可得m的值为1或2，再结合图象关于轴对称确定函数解析式，最后结合幂函数的单调性解出不等式求出a的取值范围即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以，当时，，当时，， 因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，解得； 则为， 由幂函数性质得在上均为减函数， 故等价于或或， 解得或，得到的取值范围为或. 15.已知幂函数在区间上单调递减． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 16.已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，解得的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解； （2）转化问题为对恒成立，即，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 则，解得或， 若，为偶函数，符合题意； 若，的定义域为，不为偶函数，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ❊3.3 幂函数 思维导图 题型精析 一．幂函数 内容 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 【注意】幂函数需要满足三个条件：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数. 二．常用幂函数的图象和性质 1.常见幂函数的图象： 2.常用幂函数的性质： 图 像 定义域 R R R 值 域 R R 单调性 R上单增 R上单增 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点(1，1) 三．一般幂函数的图像与性质 1.对于幂函数， 都是奇数 偶，奇 奇，偶 2.一般幂函数的性质 内容 性质1 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 性质2 α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 性质3 α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 性质4 任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． 性质5 任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 性质6 幂函数在第一象限内指数的变化规律：在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)，在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．在直线x=1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小. 四．幂值大小比较的方法 内容 直接法 当幂的指数或底数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数或底数不相同时，可以先转化为相同幂指数或底数，再运用单调性比较大小 五．凹函数与凸函数 1.定义：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数.同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数. 2.性质：对于凸函数，若，则；凹函数则反之. 题型一 幂函数的概念 下面的函数中是幂函数的有（ ）例1 ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（ ）例2 A．2 B．2或 C． D． 有下列函数：变1 ①；②；③；④；⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ．变2 已知幂函数在区间上单调递减．判断函数的奇偶性．变3 题型二 幂函数的值 已知幂函数的图象过点，则（ ）例1 A．3 B．9 C．81 D．512 已知幂函数，则 ．例2 已知幂函数过点，则 ．变1 若函数是幂函数，且，则 ．变2 已知幂函数则（ ）变3 A．1 B．4 C．8 D．12 题型三 幂函数的图像 【方法点睛】1.当时，幂函数的图像都过原点，并且在单增. 2.当时，幂函数的图像都不过原点，并且在单减，并且越大，函数图像越靠近轴. 3.当时，幂函数图像在第一象限增长速度越来越快，并且越大，函数图像越靠近轴；当时，幂函数图像在第一象限增长速度越来越慢，并且越大，函数图像越靠近轴. 给定一组函数解析式：例1 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）变1 A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）例2 A． B． C． D． 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）变2 A． B． C． D． 题型四 幂函数的性质 下列命题中正确的是（ ）例1 ①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当时，函数的图象是一条直线；④幂函数当是增函数；⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 已知幂函数和，其中，则有下列说法：例2 ①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间，上，增长速度更快的是；④在区间，上，增长速度更快的是． 则其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ （多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）变1 A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 （多选）下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ）变2 A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限 C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数 题型五 比较幂值大小 已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）例1 A． B． C． D． 已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）变1 A． B． C． D． 已知，则的大小关系为（ ）例2 A． B． C． D． 已知，则（ ）例3 A． B． C． D． 已知，，，则（ ）变2 A． B． C． D． 记，则（ ）变3 A． B． C． D． 题型六 凹函数与凸函数 对于幂函数，若，则，大小关系是（       ）例1 A． B．< C．= D．无法确定 （多选）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）变1 A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 （多选）下列说法正确的是（ ）变2 A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数（）始终经过点和 D．若函数，则对于任意的，有 题型七 幂函数与函数不等式 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ）例1 A． B． C． D． 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 .变1 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 .变2 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 .例2 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 .变3 题型八 幂函数综合 已知幂函数在其定义域上为增函数．例1 （1）求函数的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 已知幂函数在定义域上不单调．变1 （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 已知函数为幂函数.例2 （1）判断函数的单调性，并加以证明； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 当且仅当时，即当时，等号成立，变2 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，.变3 （1）求的解析式； （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 课后强化 1.（多选）下列函数中，为幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2.“”是“为幂函数”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3.（多选）已知函数是幂函数，则（ ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 4.幂函数的图象经过点，则 . 5.已知是幂函数，且在上单调递增，则 . 6.若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 7.若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A． B．， C．， D．， 8.下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.（多选）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若表示递增的幂函数，则 D．幂函数的图像都过点， 10.（多选）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 12.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 13.已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 15.已知幂函数在区间上单调递减． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 16.已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $