3.2.2奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

❊3.2.2 奇偶性 思维导图 题型精析 一．函数奇偶性的定义 若函数的定义域关于原点对称，且满足，则称函数为偶函数；若满足，则称函数为奇函数． 特别提醒：函数的奇偶性的前提是定义域关于原点对称，所以，若函数的定义域没有关于原点对称，则函数不可能有奇偶性． 二．函数奇偶性的判断 1.奇偶性的判定方法 判断方法 要点 指数法 通过判断指数来判断函数的奇偶性 定义法 若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数 结论法 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇 （奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数 特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数. 2.常用的奇偶函数 函数类型 函数列举 奇函数 ①；②；③；④ 偶函数 三．函数奇偶性的性质 函数类型 函数性质 奇函数 ①图像关于原点对称；②；③原点左右单调性相同； ④若可为，则 偶函数 ①图像关于轴对称；②；③原点左右单调性相反 【注意】设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数. 四．函数图像变换之对称（添负号） 函数变换 对称 图像关于轴对称（与偶函数关系紧密） 图像关于轴对称 图像关于原点对称（与奇函数关系紧密） 【应用说明】：函数的对称变换与函数的奇偶性有着紧密的联系，尤其在解决分段函数奇偶性时可以帮助我们快速的解决问题. 【应用举例】：1.若分段函数在R上为偶函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是偶函数，所以函数的图像关于y轴对称，所以我们将x添符号，可得时的函数解析式为； 2.若分段函数在R上为奇函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是奇函数，所以函数的图像关于原点对称，所以我们将x和y都添符号，可得时的函数解析式为. 题型一 指数法判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：例1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 判断下列函数的奇偶性：变1 （1） （2） （3） （4） 若函数是定义在区间上的奇函数，则 ．例2 若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（ ）变2 A．1 B．2 C．3 D．4 设是定义在区间上的奇函数，则（ ）变3 A． B．38 C．26 D． 题型二 定义法判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：例1 （1） （2） （3） （4） 判断下列函数的奇偶性，并说明理由变1 （1） （2） （3） （4） 判断下列函数的奇偶性：变2 （1） （2） （3），①；② 题型三 结论法判断函数的奇偶性 1.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数；例1 是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数. 已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）.例2 设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）变1 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 （1）已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）；变2 （2）已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）. 题型四 奇偶函数的单调性 已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（ ）例1 A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 若奇函数在区间上单调递减，且最小值为，则在区间上（ ）变1 A．单调递增且有最大值 B．单调递增且有最小值 C．单调递减且有最大值 D．单调递减且有最小值 已知定义在上的偶函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值 ，最小值 ．变2 题型五 函数奇偶性的应用 类型一 利用奇偶性性质求参数 已知函数为奇函数，则的值是（ ）例1 A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 若函数为偶函数，则的取值范围为（ ）例2 A． B． C． D． 已知函数是奇函数，则实数 ．变1 已知是奇函数，则实数的值为（ ）变2 A．1 B．2 C． D．1或2 类型二 利用奇偶性性质求函数值 已知，．若，则（　　）例1 A． B． C． D． 已知函数，．若，则的值等于（　　）变1 A． B． C． D． 函数在区间上有，则 ．例2 已知函数，若，求 ．变2 已知函数，若，则（　　）变3 A． B． C． D． 类型三 利用奇偶性求解析式 【方法点睛】我们可利用函数的对称变换来快速的求解分段函数的解析式，即①f(x)→f(-x)，函数关于y轴对称（偶函数）；②f(x)→-f(-x)，函数关于原点对称（奇函数）.例如例1（1）题中，函数为奇函数，则x、y都要添上负号，即可快速选出答案A. 若函数是定义在上的奇函数，当时，．求函数的表达式．例1 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，求的解析式．例2 已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式．变1 偶函数在上满足，则当时， ．变2 已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ．例3 已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 ．变3 类型四 利用奇偶性性质比较大小 已知为定义在R上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）例1 A． B． C． D． 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ）例2 A． B． C． D． 定义在R上的偶函数，当时，，则的大小为（ ）变1 A． B． C． D． 若函数在上是增函数,函数是偶函数,则,,的大小顺序是（ ）变2 A． B． C． D． 类型五 利用奇偶性解函数不等式 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ．例1 定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 ．例2 已知定义在上的奇函数在上是严格减函数，若，则实数的取值范围是 ．变1 已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 ．变2 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．例3 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．变3 已知函数，则不等式的解集是 ．例4 已知函数，则不等式的解集为 ．变4 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 ．例5 已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 ．变5 若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ．变6 题型六 单调性与奇偶性的综合应用 已知定义在上的函数图象关于原点对称．例1 （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 已知函数（）是减函数.例2 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）解关于的不等式：（）. 已知函数是上的偶函数，且．变1 （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．变2 （1）求的表达式； （2）若，实数满足，求的取值范围． 课后强化 1.（多选）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2.（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 3.设函数，则“”是“是偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设是偶函数，且定义域为，，则（ ） A． B． C． D． 5.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．若，则函数是奇函数 D．若，则函数是偶函数 6.判断下列函数的奇偶性． （1） （2） （3） （4） （5） 7.已知定义在上的偶函数在单调递增，那么函数在上的单调性是 ． 8.已知定义在上的奇函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值 ，最小值 ． 10.已知是奇函数，则实数a的值为（ ） A．或 B． C． D． 11.已知，若，则（ ） A． B． C． D． 12.已知，若，则 ． 13.设函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则，，的大小顺序为 .（用“”连接） 14.定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ． 16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 17.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ） A． B． C． D． 18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 19.已知定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）写出的单调区间； （3）求出的值域． 20.已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，，求函数与的解析式. 21.已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 ． 22.已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 23.已知函数，则不等式的解集是 ． 24.已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 25.设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 26.函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 27.已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ❊3.2.2 奇偶性 思维导图 题型精析 一．函数奇偶性的定义 若函数的定义域关于原点对称，且满足，则称函数为偶函数；若满足，则称函数为奇函数． 特别提醒：函数的奇偶性的前提是定义域关于原点对称，所以，若函数的定义域没有关于原点对称，则函数不可能有奇偶性． 二．函数奇偶性的判断 1.奇偶性的判定方法 判断方法 要点 指数法 通过判断指数来判断函数的奇偶性 定义法 若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数 结论法 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇 （奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数 特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数. 2.常用的奇偶函数 函数类型 函数列举 奇函数 ①；②；③；④ 偶函数 三．函数奇偶性的性质 函数类型 函数性质 奇函数 ①图像关于原点对称；②；③原点左右单调性相同； ④若可为，则 偶函数 ①图像关于轴对称；②；③原点左右单调性相反 【注意】设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数. 四．函数图像变换之对称（添负号） 函数变换 对称 图像关于轴对称（与偶函数关系紧密） 图像关于轴对称 图像关于原点对称（与奇函数关系紧密） 【应用说明】：函数的对称变换与函数的奇偶性有着紧密的联系，尤其在解决分段函数奇偶性时可以帮助我们快速的解决问题. 【应用举例】：1.若分段函数在R上为偶函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是偶函数，所以函数的图像关于y轴对称，所以我们将x添符号，可得时的函数解析式为； 2.若分段函数在R上为奇函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是奇函数，所以函数的图像关于原点对称，所以我们将x和y都添符号，可得时的函数解析式为. 题型一 指数法判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：例1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【答案】奇；奇；偶；奇；偶；非奇非偶；偶 判断下列函数的奇偶性：变1 （1） （2） （3） （4） 【答案】偶；非奇非偶；奇；偶 若函数是定义在区间上的奇函数，则 ．例2 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（ ）变2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可得，根据偶函数的定义可得，由此得到. 【详解】∵函数是定义在上的的偶函数，∴，解得, ∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴. 故选：A. 设是定义在区间上的奇函数，则（ ）变3 A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案. 【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 题型二 定义法判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：例1 （1） （2） （3） （4） 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 判断下列函数的奇偶性，并说明理由变1 （1） （2） （3） （4） 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 判断下列函数的奇偶性：变2 （1） （2） （3），①；② 【答案】奇；偶；非奇非偶，既奇又偶 题型三 结论法判断函数的奇偶性 1.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数；例1 是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数. 【答案】非奇非偶；奇；奇；偶；偶；偶；偶 已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）.例2 【答案】偶 设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）变1 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论． 【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数， 可得 f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数， 故选：C． （1）已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）；变2 （2）已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）. 【答案】奇，偶 题型四 奇偶函数的单调性 已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（ ）例1 A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 若奇函数在区间上单调递减，且最小值为，则在区间上（ ）变1 A．单调递增且有最大值 B．单调递增且有最小值 C．单调递减且有最大值 D．单调递减且有最小值 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质结合已知条件可得在上单调递减，从而可求出其最值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，且最小值为， 所以， 因为为奇函数， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为， 故选：C 已知定义在上的偶函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值 ，最小值 ．变2 【答案】5；2 题型五 函数奇偶性的应用 类型一 利用奇偶性性质求参数 已知函数为奇函数，则的值是（ ）例1 A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 若函数为偶函数，则的取值范围为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案. 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 已知函数是奇函数，则实数 ．变1 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【详解】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 已知是奇函数，则实数的值为（ ）变2 A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 类型二 利用奇偶性性质求函数值 已知，．若，则（　　）例1 A． B． C． D． 【答案】A 已知函数，．若，则的值等于（　　）变1 A． B． C． D． 【答案】B 函数在区间上有，则 ．例2 【答案】 【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得结果. 【详解】令， ， 为定义在上的奇函数， 又，，. 故答案为：. 已知函数，若，求 ．变2 【答案】 【分析】利用函数的解析式，结合已知条件直接求解函数值即可． 【详解】函数f（x）=ax5﹣bx+|x|﹣1，若f（﹣2）=2， 可得：﹣32a+2b+1=2，即32a﹣2b=﹣1 f（2）=32a﹣2b+1=﹣1+1=0 故答案为0. 已知函数，若，则（　　）变3 A． B． C． D． 【答案】A 类型三 利用奇偶性求解析式 【方法点睛】我们可利用函数的对称变换来快速的求解分段函数的解析式，即①f(x)→f(-x)，函数关于y轴对称（偶函数）；②f(x)→-f(-x)，函数关于原点对称（奇函数）.例如例1（1）题中，函数为奇函数，则x、y都要添上负号，即可快速选出答案A. 若函数是定义在上的奇函数，当时，．求函数的表达式．例1 【答案】 【分析】根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. 【详解】当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，求的解析式．例2 【答案】 【分析】利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解. 【详解】当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． 已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式．变1 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 偶函数在上满足，则当时， ．变2 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ．例3 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 ．变3 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 类型四 利用奇偶性性质比较大小 已知为定义在R上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据为定义在上的偶函数，得到，再由在上为增函数，且得到结论. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 又因为在上为增函数，且， 所以， 所以． 故选：A． 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】为偶函数，， ，， ，定义在上的函数在内为减函数， ，即， 故选：B． 定义在R上的偶函数，当时，，则的大小为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数在的单调性，利用偶函数和定义，，然后比较大小可得． 【详解】∵函数是偶函数，∴，， 又在上是增函数，， ∴，∴， 故选： A. 若函数在上是增函数,函数是偶函数,则,,的大小顺序是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增,且函数是偶函数,可得函数在上单调递减,且在上函数满足,由此要比较,,的大小,可以比较,, 【详解】解：因为函数在上单调递增,且函数是偶函数,所以函数在上单调递减,且在上函数满足,即, 因为,所以． 故选D． 类型五 利用奇偶性解函数不等式 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ．例1 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 ．例2 【答案】 【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 已知定义在上的奇函数在上是严格减函数，若，则实数的取值范围是 ．变1 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可知在上是减函数，根据奇偶性和单调性可将不等式转化为，故而可得的范围． 【详解】是奇函数，在上是严格减函数， 在上单调递减， ， ， 即， ， 解得，则实数的取值范围是． 故答案为：． 已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 ．变2 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】因为是定义域为上的奇函数，且对于任意， 不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，函数开口向上，对称轴为， 则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．例3 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．变3 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 已知函数，则不等式的解集是 ．例4 【答案】 【分析】根据函数的解析式，判断函数为偶函数且在时单调递增，将原不等式转化为，进而得解. 【详解】， 当时，，， 当时，，， 所以是偶函数，且当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 所以由得， 两边平方并化简得， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 已知函数，则不等式的解集为 ．变4 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可． 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或，所以的取值范围为． 故答案为： 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 ．例5 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 ．变5 【答案】 【分析】根据题设知在上单调递增，且在上为偶函数，利用偶函数及单调性求不等式中参数范围. 【详解】由，当时，总有， 所以在上单调递增，又在上为奇函数， 故在上，，即为偶函数， 所以在上单调递减， 由，即， 所以，则，可得或， 又，可得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ．变6 【答案】 【分析】设，再根据可得在上为单调递减函数，再结合条件可得即可求得结果. 【详解】设，； 由题意可知，则， 可得为定义在上的偶函数， 不妨设，有； 必有，即； 可得在上为单调递减函数， 又，所以； 不等式即为，即； 则必有且， 因此不等式的解集为. 故答案为： 题型六 单调性与奇偶性的综合应用 已知定义在上的函数图象关于原点对称．例1 （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 已知函数（）是减函数.例2 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论； （2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与-2的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 已知函数是上的偶函数，且．变1 （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可求的值，根据可求的值. （2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）结合函数的奇偶性和单调性，将函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以恒成立. 所以对恒成立. 所以. 由. 故，. （2）在上单调递减.证明如下： 设， 则. 因为，所以，，. 所以，所以，即. 所以在上单调递减. （3）因为函数为偶函数，所以. 由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称. 所以或， 解得或. 所以不等式的解集为：. 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．变2 （1）求的表达式； （2）若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 课后强化 1.（多选）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，判断各选项正误. 【详解】正比例函数是奇函数，在上单调递减，A错误. 反比例函数是奇函数，在上单调递增，B正确. 分段函数，，是奇函数，当时，单调递增，C正确. 对钩函数是奇函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 2.（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD.    3.设函数，则“”是“是偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的概念结合偶函数的定义即可判断； 【详解】当时，，，为偶函数， 当是偶函数时，由， 即恒成立， 可得：恒成立，即， 所以“”是“是偶函数”的充要条件， 故选：C. 4.设是偶函数，且定义域为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 5.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．若，则函数是奇函数 D．若，则函数是偶函数 【答案】BC 6.判断下列函数的奇偶性． （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 7.已知定义在上的偶函数在单调递增，那么函数在上的单调性是 ． 【答案】单减 8.已知定义在上的奇函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值 ，最小值 ． 【答案】10；-3 9.若函数为上的奇函数，则实数 ． 【答案】0 【分析】由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数是奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 10.已知是奇函数，则实数a的值为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义列式求解. 【详解】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，则， 整理得恒成立，所以，解得． 故选：D 11.已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 12.已知，若，则 ． 【答案】-26 13.设函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则，，的大小顺序为 .（用“”连接） 【答案】 【分析】根据函数奇偶性与单调性的关系可得在上为单调递增函数，然后利用单调性比较大小即可. 【详解】函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数， 则在上为单调递增函数，所以. 故答案为：. 14.定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得的周期为4，在区间上单调递增，据此即可求解. 【详解】因为定义在R上的偶函数，满足， 所以，所以的周期为4， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增， . 故选：A. 15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 17.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 19.已知定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）写出的单调区间； （3）求出的值域． 【答案】(1) (2)单增区间为，，单减区间为，. (3) 【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    20.已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，，求函数与的解析式. 【答案】， 【分析】根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； 【详解】因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. 21.已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数性质以及函数单调性限定出不等式取值范围可得结论. 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 22.已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 23.已知函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得时，是增函数，可解不等式. 【详解】当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 综上所述：，恒成立，所以函数是偶函数， 又时，是增函数， 由，得，得， 两边平方得，整理得，解得， 不等式的解集是. 故答案为： 24.已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性，单调性去即可求解. 【详解】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 当时，，，, 所以. 又当时，，， 所以. 又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增， 则可得： ，即， 解得， 故答案为： 25.设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 26.函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 27.已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $