4.2由平行线截得的比例线段 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平行线分线段成比例”这一核心知识点，系统构建从定理理解到实际应用的学习支架。通过定理1及其两个推论的层层递进，引导学生由直观感知走向抽象推理，再过渡到几何图形中比例关系的识别与计算，形成完整的知识链条。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养。例如在【题型1】中，借助多幅动态图示培养学生几何直观和符号意识，帮助其从复杂图形中快速识别对应线段比例关系；在【题型2】典型例题中，通过具体数值运算训练学生的推理能力和逻辑表达能力，强化“已知比例求长度”的建模意识。课中便于教师精准讲解重难点，课后可作为学生自主练习与查漏补缺的重要资源，有效提升学习效率与问题解决能力。

4.2由平行线截得的比例线段 讲解目录 【知识点1】平行线分线段成比例 1 【题型1】找由平行线截得的成比例线段 1 【题型2】根据平行线分线段成比例定理求线段的长 3 知识讲解 【知识点1】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型专练 【题型1】找由平行线截得的成比例线段 【典型例题】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. +＝1 D. ＝ 【举一反三4】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【题型2】根据平行线分线段成比例定理求线段的长 【典型例题】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是(　　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【举一反三1】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　） A. B. C. D. 1 【举一反三2】在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为　 　． 【举一反三3】如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝3，则EF的长为__________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2由平行线截得的比例线段 讲解目录 【知识点1】平行线分线段成比例 1 【题型1】找由平行线截得的成比例线段 1 【题型2】根据平行线分线段成比例定理求线段的长 4 知识讲解 【知识点1】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型专练 【题型1】找由平行线截得的成比例线段 【典型例题】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B． 【举一反三1】如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C不正确，符合题意； ，故D正确，不符合题意. 故选：C． 【举一反三2】如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴，，. 故选：D． 【举一反三3】如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. +＝1 D. ＝ 【答案】D 【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴，，故A、B正确； ∵＝，＝，∴+＝+＝＝＝1，故C正确； ∵＝，而DE≠EB，故D错误. 故选：D． 【举一反三4】如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B． 【题型2】根据平行线分线段成比例定理求线段的长 【典型例题】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是(　　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴BC＝8，∴AC＝AB＋BC＝12. 故选：D. 【举一反三1】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】取CF的中点G，连接BG，如图所示： ∵BC＝1，BE＝1，∴点B为EC的中点，∴BG是△CEF的中位线，∴BG∥EF， ∴＝，∴AF＝AG，∴FG＝CG＝2AF，∴AC＝AF+FG+CG＝5AF＝3，∴AF＝. 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为　 　． 【答案】8 【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED＝4， ∵DE∥AC，∴＝， 而DC＝BC，∴BE＝2AE＝8． 【举一反三3】如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝3，则EF的长为__________． 【答案】6 【解析】∵a∥b∥c，∴＝，∴＝，∴EF＝6. 【举一反三4】如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长． 【答案】解：∵AE∥DF，∴，即，解得EF＝6，∴BE＝BF+EF＝9+6＝15（cm）， ∵DE∥AC，∴，即，解得：EC＝10，∴FC＝EF+EC＝6+10＝16（cm）， ∴EF＝6cm，FC＝16cm． 学科网（北京）股份有限公司 $