第一章三角形单元检测　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026苏科版八年级上册第一章三角形单元检测 一、选择题：本题共8小题，每小题1.6分，共12.8分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，，用图示尺规作图的方法在边上确定一点则的周长为(    ) A. B. C. D. 2.三角形中到三边距离相等的点是(    ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 3.下列对的判断，错误的是(    ) A. 若：：：：，则是直角三角形 B. 若，，则 C. 若，，则是等边三角形 D. 若，，则是等腰三角形 4.如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，的垂直平分线分别交于点，，的垂直平分线分别交于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点，于点，交于点下列结论：；；；为等边三角形．其中所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.如图，在中，，点为的中点，为外一动点且满足，连接，，，若，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.已知等腰三角形的一个角为，则底角等于______． 10.如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为______． 11.如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，则的周长是______． 12.如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接若，，，则的面积为______． 13.如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为          ． 14.如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为          ． 15.如图，在中，，且，，若的角平分线交斜边于点，则 ______． 16.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边若是的中点，当取最小值时，的周长为______． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． 利用网格线画，使它与关于直线对称； 在直线上作点，使的值最小，此时 ______； 在直线上找一点，使点到、两边的距离相等． 18.本小题分 如图，四边形中，，，，，求四边形的面积． 19.本小题分 如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． 在图中画出与关于直线成轴对称的； 的面积是______． 在直线上找一点，使的长最短． 20.本小题分 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，求证： ； 是的垂直平分线． 21.本小题分 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． 求证：； 若，，求的面积． 22.本小题分 如图，已知；，点在的延长线上，． 如图，求证：≌； 设是的边上的高图，求证：． 23.本小题分 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为当点第一次到达点时，、同时停止运动． 点、运动几秒后，、两点重合？ 点、运动几秒后，可得到等边？ 当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 1.【答案】  【解析】解：由作图可知，， 的周长， 故选：． 证明，推出，可得结论． 本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 2.【答案】  【解析】解：， 为的平分线． 同理，为的平分线，为的平分线． 所以，到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点， 故选B． 首先确定到两边距离相等的点的位置，再确定到另外两边的位置，根据到角的两边的距离相等的点在它的平分线上，为三个角平分线的交点． 此题主要考查了角平分线的性质；分别思考找出满足条件的交点是正确解答本题的关键． 3.【答案】  【解析】解：若：：：：，则，，， 所以是直角三角形，故此选项正确，不符合题意； B.若，， 则，，故此选项错误，符合题意；  若，，则，， 所以是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；  若，，则，， 所以是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意． 故选：． 根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：，， ， 在和中，， ≌， 同理≌， ，，，， 梯形的面积， ， ， 图中实线所围成的图形的面积， 故选 B． 易证≌，≌即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可解题． 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌，≌是解题的关键． 5.【答案】  【解析】在中，分别是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，又由三角形的内角和定理可得，结合，易求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：在中，分别是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】根据平分得，根据得，利用，可得从而可得，得正确；证明得，从而推得，利用是等腰三角形，得，可得，可知正确；根据，得，根据得，可证明，可知正确；连接先证明得得四边形是菱形，要想是等边三角形，则菱形中较小的角需要是，而题干中无法得知为，可知不正确． 【详解】解：平分， ，， ， ， ， ，可得正确 由得 ，， 是等腰三角形， 可得正确 ， ，则 可得正确 连接 四边形是菱形 要想是等边三角形，则菱形中较小的角需要是 而题干中无法得知为 故不正确 故选： 7.【答案】  【解析】【分析】 当是腰长时，根据网格结构，可以找出以或为顶点的等腰直角三角形；当是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，最后相加即可得解． 【解答】 解：如图，分情况讨论： 为等腰的底边时，符合条件的点有个； 为等腰的一条腰时，符合条件的点有个． 故符合条件的点共有个． 故选C． 8.【答案】  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 点为的中点， 是斜边上的中线， ， 为外一动点且满足， 是斜边上的中线， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 点，，三点在同一条直线上时，为最大， 最大值为：． 即的最大值是． 故选：． 先利用勾股定理求出，，，再根据“两点之间线段最短”得，由此可得的最大值是． 此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，理解“两点之间线段最短”是解决问题的关键． 9.【答案】或  【解析】解：根据题意， 底角为， 顶角为，底角为， 综上所述，底角为或， 故答案为：或． 根据等腰三角形的性质分情况讨论底角为，顶角为，进一步求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：在和中，，是的中点， ，， ， ， ， 故答案为． 利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：． 首先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，可得，，可证得，，根据的周长公式，求解即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，，， ≌， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 首先证明，利用勾股定理的逆定理证明，根据求解即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13.【答案】  【解析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出≌，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积． 【详解】解：延长交于， 垂直的平分线于， ， 又知，， ≌， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为． 14.【答案】  【解析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点，，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】在上取一点，使，连接， 平分， ， ， ， ， 当点，，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：在中，， ，， ， 设的边上的高为， ， ， ， 如图，过点作于点，作于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 根据勾股定理求出，设的边上的高为，利用三角形的面积求出，过点作于点，作于点，根据平分，得，然后根据三角形的面积求出，进而可以求出． 本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握勾股定理． 16.【答案】  【解析】解：作射线，过点作于点，交于点，如图所示： 是等边三角形，是的中点， 射线是的角平分线， 当点在线段上运动时，点在射线上运动， 根据“垂线段最短”得：， 当取最小值时，点于点重合，此时点于点重合，如图所示： 在中，，，， ，， 是等边三角形，射线是的角平分线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的周长为， 即当取最小值时，的周长为． 故答案为：． 作射线，过点作于点，交于点，则射线是的角平分线，依题意得当点在线段上运动时，点在射线上运动，根据“垂线段最短”得，则当取最小值时，点于点重合，此时点于点重合，然后再根据等边三角形的判定和性质求出此时的周长即可． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解“垂线段”最短是解决问题的关键． 17.【答案】画图见解析；   画图见解析，；   画图见解析．  【解析】解：如图，即为所求； 如图，即为所求， 由网格图的性质可得：； 如图，点即为所求； 分别确定，，关于直线对称的，，，再顺次连接即可； 连接交直线于点，则点即为所求，再根据小正方形的性质可得的大小； 连接，交直线于，则点即为所求． 本题考查的是画轴对称，轴对称的性质，角平分线的性质，熟记轴对称的性质，角平分线的性质并应用于画图是解本题的关键． 18.【答案】解：连接，如下图所示： ，，， ， 在中，， 是直角三角形， ．  【解析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中． 19.【答案】如图，根据题意，可得： 点、、关于直线对称的点分别为点、、，连接、、， 则即为所作． ． 如图，连接交直线于点，连接， 点和点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ， 这时的长最短， 点即为所求．  【解析】解：如图，根据题意，可得： 点、、关于直线对称的点分别为点、、，连接、、， 则即为所作． ． 故答案为：． 如图，连接交直线于点，连接， 点和点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ， 这时的长最短， 点即为所求． 直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； 利用割补法即可得出答案； 利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积． 20.【答案】证明：是平分线上的一点，，， ， 在与中， ， 如图，设与相交于点， 是平分线上的一点， 由知，， 在与中， ， ，， 是的垂直平分线．  【解析】本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 先根据是平分线上的一点，，得出，由定理得出≌，故可得出； 根据是平分线上的一点得出，根据定理得出≌，由此可得出结论． 21.【答案】【小题】 解： 证明： 连接 ， ， 是的中点， 同理可得， 是的中点， 【小题】  解： ， 由可知   【解析】  由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明．   根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得等腰的腰长，且知道底的长度，那么再根据勾股定理求出高的长度即可求得的面积． 22.【答案】解：，， ， ， ， ， ， 又， ≌； 如图所示，取中点，连接， ≌， ， 又，是的中点， ， 即，， ， 又， ， ， ≌， ， ．  【解析】只需要证明即可利用证明≌； 如图所示，取中点，连接，然后证明≌，得到，即可证明结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 23.【答案】解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：； 点、运动秒后，、两点重合； 设点、运动秒后，可得到等边三角形，如图， ，， 三角形是等边三角形， ， 解得， 点、运动秒后，可得到等边三角形． 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由知秒时、两点重合，恰好在处， 如图，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， 设当点、在边上运动时，、运动的时间为秒时，是等腰三角形， ，，， ， 解得：故假设成立． 当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为秒．  【解析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； 根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，三角形就是等边三角形； 首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $