4.1比例线段 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“比例线段”单元，系统构建黄金分割、比例性质与比例线段三大核心知识点，以黄金分割定义为起点，自然过渡到比例基本性质的应用，再延伸至比例线段的判定与实际问题解决，形成由抽象概念到具体应用的学习支架。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出数学眼光、思维与语言的融合运用。例如通过黄金分割在人体雕像、舞台位置等生活情境中的应用，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力；借助比例尺计算实际距离的问题，强化数学思维中的逻辑推理与运算能力；在判断四条线段是否成比例时，引导学生规范表达数量关系，体现数学语言的简洁性与准确性。课中便于教师开展情境教学与分层练习，课后可作为学生查漏补缺、巩固基础的重要资源，尤其适合用于课堂探究与作业拓展环节。

4.1比例线段 讲解目录 【知识点1】黄金分割 1 【知识点2】比例的性质 2 【知识点3】比例线段 2 【题型1】黄金分割应用 2 【题型2】两条线段的比例中项线段 4 【题型3】根据比例性质求字母的值 4 【题型4】根据比例性质求值 5 【题型5】判断四条线段是不是比例线段 6 【题型6】根据比例性质求字母比值 6 【题型7】比例尺的应用 7 【题型8】两个数的比例中项 7 【题型9】根据比例性质判断比例式是否成立 8 【题型10】黄金分割的定义 9 【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 9 【题型12】判断一组数是否成比例 10 【题型13】根据黄金分割定义求线段的比值 10 知识讲解 【知识点1】黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【知识点2】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc． ②合比性质．若=，则=． ③分比性质．若=，则=． ④合分比性质．若=，则=． ⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 【知识点3】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 题型专练 【题型1】黄金分割应用 【典型例题】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　） A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米 【举一反三1】某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（　　） A.30cm B.49cm C.55cm D.129cm 【举一反三2】电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如图，若舞台AB长为10m，主持人应走到离A点至少 　　处才最自然得体（2.236，结果精确到0.1m） 【举一反三3】2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是　　．（黄金比为0.618） 【举一反三4】如图所示，要设计一座1m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部（腰以上）AB与下部（腰以下）BC的高度比，等于下部与全部（全身）AB的高度比，雕塑的下部应设计为多高？ 【题型2】两条线段的比例中项线段 【典型例题】已知线段a＝3cm，c＝4cm，b是a，c的比例中项线段，则线段b的长为（　　） A.2cm B.﹣2cm C.±2cm D.12cm 【举一反三1】已知线段a是线段b，c的比例中项，则（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】由比例线段的基本性质可得：如果，那么 　　，这时b称为比例中项． 【举一反三3】已知三条线段a，b，c满足，且a+b+c＝18．若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【题型3】根据比例性质求字母的值 【典型例题】如果5：x＝3：2，那么x的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知，若a﹣b＝6，则c＝（　　） A.﹣24 B.﹣12 C.6 D.24 【举一反三2】已知，若a﹣b＝6，则c＝（　　） A.﹣24 B.﹣12 C.6 D.24 【举一反三3】如果5：x＝3：2，那么x的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】若，且3x+2y＝12，求x，y的值． 【举一反三5】解方程：若，且2a﹣b+3c＝26，求a，b，c的值. 【题型4】根据比例性质求值 【典型例题】已知，则（x+y）：（x﹣y）的值是（　　） A. B.﹣9 C.9 D. 【举一反三1】若，则xy＝（　　） A. B.1 C. D.35 【举一反三2】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】已知，则的值是 　　． 【举一反三4】若，且b+d+f＝3，则a+c+e＝　　． 【举一反三5】已知，且a+2b﹣c＝12，求3a﹣b+c的值． 【题型5】判断四条线段是不是比例线段 【典型例题】下列各组线段中，长度成比例的是（　　） A.2cm、3cm、4cm、1cm B.1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cm C.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D.1cm、2cm、2cm、4cm 【举一反三1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A.4cm，3cm，2cm，1cm B.6cm，2cm，3cm，5cm C.4cm，8cm，10cm，5cm D.8cm，6cm，7cm，5cm 【举一反三2】①判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按　　顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否　　即可； ②通常四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为一个单位也可以． 【举一反三3】判断下列线段是否成比例，若是，请写出比例式． （1）a＝1.1cm，b＝2.2cm，c＝3.3cm，d＝5.5cm，　                   　； （2）a＝3m，b＝5m，c＝4.5cm，d＝7.5cm，　                   　； （3）a＝7cm，b＝4cm，c＝d＝2cm，　                  　． 【举一反三4】如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6．判断DB，CD，BC，AC这四条线段是否成比例？ 【题型6】根据比例性质求字母比值 【典型例题】若，则的值为（　　） A. B. C.2 D.﹣2 【举一反三1】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如果3a＝4b，那么a：b＝（　　） A.3：4 B.4：3 C.3a：4b 【举一反三3】已知5a＝2b，则a：b＝　　． 【举一反三4】已知x：y＝2：3，y：z＝1：，求x：y：z． 【举一反三5】已知，求a：b． 【题型7】比例尺的应用 【典型例题】比例尺为1：2000的地图上，A，B两地间的图上距离为2cm，则两地间的实际距离是（　　） A.10m B.20m C.40m D.80000m 【举一反三1】将线段比例尺改写成数值比例尺是（　　） A.1：40 B.1：400000 C.1：4000000 D.1：40000 【举一反三2】在比例尺为1：10 000 000的山西地图上，小贤量得长治到太原的距离约为2.2cm，则两地的实际距离约为 　　km． 【举一反三3】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？ 【题型8】两个数的比例中项 【典型例题】已知a＝2，b＝8，则a，b的比例中项为（　　） A.±4 B.4 C.2 D.±2 【举一反三1】4和9的比例中项是（　　） A.6 B.±6 C. D. 【举一反三2】若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（　　） A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.2：1 【举一反三3】已知a为4，b为16，c是a，b的比例中项，那么c为（　　） A.10 B.8 C.﹣8 D.±8 【举一反三4】已知a＝2，b＝8，则a，b的比例中项为（　　） A.±4 B.4 C.2 D.±2 【举一反三5】填空：已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为 　   　，其中x＝　　． 【举一反三6】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　． 【举一反三7】线段和的比例中项是 　　． 【题型9】根据比例性质判断比例式是否成立 【典型例题】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若，则下列比例式成立的是（　　） A.2x＝2y B.3x＝5y C.5x＝3y D.5x＝2y 【举一反三2】若3m＝4n（mn≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】已知4.52.5，下面哪个比例式不成立（　　） A.：＝4.5：2.5 B.：＝2.5：4.5 C.4.5：2.5： D.2.5：4.5： 【举一反三5】已知2x﹣5y＝0，且y≠0，判断下列等式是否成立，并说明理由． （1）2x＝5y； （2）． 【举一反三6】已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． （1）； （2）． 【题型10】黄金分割的定义 【典型例题】定长线段被黄金分割成两段，这两段线段以及它们的比例中项（　　） A.不能组成三角形 B.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 D.能组成锐角三角形 【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A.1）：2 B.1）：2 C.）：2 D.）：2 【举一反三2】一条线段的黄金分割点有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【举一反三3】下列关于线段AB的黄金分割的说法中，正确的有　　. ①线段AB的黄金分割点有2个； ②若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB； ③若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB. 【举一反三4】黄金比的近似值为　　，准确值为　　． 【举一反三5】如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，D、E分别是AC、BC的中点，仔细观察，试说明点DE黄金分割点． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 【典型例题】已知线段AB＝10，点C是AB的黄金分割点，则AC＝（　　） A.55 B.15﹣5 C.55或15﹣5 D.以上都不对 【举一反三1】在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（　　） A. B.3 C.2 D. 【举一反三2】把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 　　cm． 【举一反三3】已知P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，PA＝3，则AB＝　　． 【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝55，且AC＞BC，求线段AB与BC的长． 【题型12】判断一组数是否成比例 【典型例题】下列各组数中，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4 【举一反三1】下列各组数中，成比例的是（　　） A.﹣7，﹣5，14，5 B.﹣6，﹣8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【举一反三2】下列各组数中，成比例的是（　　） A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【举一反三3】下列各组数中，成比例的是（　　） A.﹣7，﹣5，14，5 B.﹣6，﹣8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【举一反三4】下列各组数中，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4 【举一反三5】判别下列各组数是否成比例． （1）1，4，2，8； （2）1，﹣2，﹣3，﹣6； （3），，﹣2，2． 【举一反三6】下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式． （1）3，﹣9，﹣2，6． （2），，，． （3）3，，，2． 【题型13】根据黄金分割定义求线段的比值 【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A.1）：2 B.1）：2 C.）：2 D.）：2 【举一反三2】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　） A. B. C.1 D.1 【举一反三3】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则的值为（　　） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1比例线段 讲解目录 【知识点1】黄金分割 1 【知识点2】比例的性质 2 【知识点3】比例线段 2 【题型1】黄金分割应用 2 【题型2】两条线段的比例中项线段 5 【题型3】根据比例性质求字母的值 6 【题型4】根据比例性质求值 7 【题型5】判断四条线段是不是比例线段 9 【题型6】根据比例性质求字母比值 10 【题型7】比例尺的应用 12 【题型8】两个数的比例中项 13 【题型9】根据比例性质判断比例式是否成立 15 【题型10】黄金分割的定义 17 【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 20 【题型12】判断一组数是否成比例 21 【题型13】根据黄金分割定义求线段的比值 23 知识讲解 【知识点1】黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【知识点2】比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc． ②合比性质．若=，则=． ③分比性质．若=，则=． ④合分比性质．若=，则=． ⑤等比性质．若==…=（b+d+…+n≠0），则=． 【知识点3】比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 题型专练 【题型1】黄金分割应用 【典型例题】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　） A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米 【答案】D 【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴0.618， ∵b为2米，∴a约为1.24米． 故选：D． 【举一反三1】某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（　　） A.30cm B.49cm C.55cm D.129cm 【答案】B 【解析】由题意可得，0.618，解得AB≈49. 故选：B． 【举一反三2】电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如图，若舞台AB长为10m，主持人应走到离A点至少 　　处才最自然得体（2.236，结果精确到0.1m） 【答案】3.8m 【解析】依题意，主持人应走到离A点至少（m）． 【举一反三3】2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是　　．（黄金比为0.618） 【答案】34.38°～55.62° 【解析】90°×0.618＝55.62°，90°﹣55.62°＝34.38°， ∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°． 【举一反三4】如图所示，要设计一座1m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部（腰以上）AB与下部（腰以下）BC的高度比，等于下部与全部（全身）AB的高度比，雕塑的下部应设计为多高？ 【答案】解：设雕塑的下部应设计为x m，则根据题意得：，解得：x＝m． 答：雕塑的下部应设计为m． 【题型2】两条线段的比例中项线段 【典型例题】已知线段a＝3cm，c＝4cm，b是a，c的比例中项线段，则线段b的长为（　　） A.2cm B.﹣2cm C.±2cm D.12cm 【答案】A 【解析】根据已知可得a：b＝b：c，b2＝ac，即b2＝3×4＝12，解得b＝2或﹣2（舍去）． 故选：A． 【举一反三1】已知线段a是线段b，c的比例中项，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵线段a是线段b，c的比例中项，∴a2＝bc， 由A得，b2＝ac，故错误； 由B得，a2＝bc，故正确； 由C得，c2＝ab，故错误； 由D得，b2＝ac，故错误. 故选：B． 【举一反三2】由比例线段的基本性质可得：如果，那么 　　，这时b称为比例中项． 【答案】b2＝ac 【解析】如果，那么b2＝ac，这时b称为比例中项. 【举一反三3】已知三条线段a，b，c满足，且a+b+c＝18．若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】解：∵线段d是线段a和b的比例中项，∴d2＝ab＝6×4＝24， ∴d＝2或d＝﹣2（舍去），∴d的值为2． 【题型3】根据比例性质求字母的值 【典型例题】如果5：x＝3：2，那么x的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵5：x＝3：2，∴3x＝10，∴x． 故选：D． 【举一反三1】已知，若a﹣b＝6，则c＝（　　） A.﹣24 B.﹣12 C.6 D.24 【答案】A 【解析】设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a﹣b＝6，∴2k﹣3k＝6，∴k＝﹣6，∴c＝4×（﹣6）＝﹣24． 故选：A． 【举一反三2】已知，若a﹣b＝6，则c＝（　　） A.﹣24 B.﹣12 C.6 D.24 【答案】A 【解析】设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a﹣b＝6，∴2k﹣3k＝6，∴k＝﹣6，∴c＝4×（﹣6）＝﹣24． 故选：A． 【举一反三3】如果5：x＝3：2，那么x的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵5：x＝3：2，∴3x＝10，∴x． 故选：D． 【举一反三4】若，且3x+2y＝12，求x，y的值． 【答案】解：设，则x＝2k，y＝3k， 代入3x+2y＝12得：6k+6k＝12，解得：k＝1， ∴x＝2×1＝2，y＝3×1＝3． 【举一反三5】解方程：若，且2a﹣b+3c＝26，求a，b，c的值. 【答案】解：设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵2a﹣b+3c＝26，∴2×2k﹣3k+3×4k＝26，即13k＝26，解得：k＝2， ∴a＝2k＝2×2＝4，b＝3k＝3×2＝6，c＝4k＝4×2＝8， ∴a的值为4，b的值为6，c的值为8. 【题型4】根据比例性质求值 【典型例题】已知，则（x+y）：（x﹣y）的值是（　　） A. B.﹣9 C.9 D. 【答案】B 【解析】∵，∴xy，∴（x+y）：（x﹣y）＝（y+y）：（y﹣y）＝﹣9． 故选：B． 【举一反三1】若，则xy＝（　　） A. B.1 C. D.35 【答案】D 【解析】∵，∴xy＝35. 故选：D． 【举一反三2】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴. 故选：C． 【举一反三3】已知，则的值是 　　． 【答案】 【解析】设a＝3k，b＝2k，则原式． 【举一反三4】若，且b+d+f＝3，则a+c+e＝　　． 【答案】6 【解析】∵，∴a＝2b，c＝2d，e＝2f， ∴a+c+e＝2（b+d+f）＝2×3＝6． 【举一反三5】已知，且a+2b﹣c＝12，求3a﹣b+c的值． 【答案】解：设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k． 代入a+2b﹣c＝12，得3k+8k﹣5k＝12，解得：a＝6，b＝8，c＝10． ∴3a﹣b+c＝3×6﹣8+10＝20． 【题型5】判断四条线段是不是比例线段 【典型例题】下列各组线段中，长度成比例的是（　　） A.2cm、3cm、4cm、1cm B.1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cm C.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D.1cm、2cm、2cm、4cm 【答案】D 【解析】A、1×4≠2×3，故此组线段中，长度不成比例，不符合题意； B、1.5×6.5≠2.5×4.5，故此组线段中，长度不成比例，不符合题意； C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故此组线段中，长度不成比例，不符合题意； D、1×4＝2×2，故此组线段中，长度成比例，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A.4cm，3cm，2cm，1cm B.6cm，2cm，3cm，5cm C.4cm，8cm，10cm，5cm D.8cm，6cm，7cm，5cm 【答案】C 【解析】A、由小到大排列，由于，所以这四条线段不成比例，不符合题意； B、由小到大排列，由于，所以这四条线段不成比例，不符合题意； C、由小到大排列，由于，所以这四条线段成比例，符合题意； D、由小到大排列，由于，所以这四条线段不成比例，不符合题意. 故选：C． 【举一反三2】①判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按　　顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否　　即可； ②通常四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为一个单位也可以． 【答案】大小，相等 【解析】判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可. 【举一反三3】判断下列线段是否成比例，若是，请写出比例式． （1）a＝1.1cm，b＝2.2cm，c＝3.3cm，d＝5.5cm，　                   　； （2）a＝3m，b＝5m，c＝4.5cm，d＝7.5cm，　                   　； （3）a＝7cm，b＝4cm，c＝d＝2cm，　                  　． 【答案】（1）不成比例； （2）成比例，a：b＝c：d； （3）成比例，a：c＝d：b 【解析】（1）从小到大排列，由于1.1×5.5≠2.2×3.3，所以四条线段不成比例； （2）从小到大排列，由于3×7.5＝4.5×5，所以四条线段成比例，比例式为a：b＝c：d； （3）从小到大排列，由于224×7，所以四条线段成比例，比例式为a：c＝d：b. 【举一反三4】如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6．判断DB，CD，BC，AC这四条线段是否成比例？ 【答案】解：∵，， ∴DB，CD，BC，AC这四条线段成比例． 【题型6】根据比例性质求字母比值 【典型例题】若，则的值为（　　） A. B. C.2 D.﹣2 【答案】D 【解析】∵， ∴2（x﹣y）＝3x， ∴2x﹣2y＝3x， ∴x＝﹣2y， ∴2. 故选：D． 【举一反三1】若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴x﹣yy，∴xy，∴． 故选：C． 【举一反三2】如果3a＝4b，那么a：b＝（　　） A.3：4 B.4：3 C.3a：4b 【答案】B 【解析】∵3a＝4b，∴，即a：b＝4：3． 故选：B． 【举一反三3】已知5a＝2b，则a：b＝　　． 【答案】2：5 【解析】∵5a＝2b，∴a：b＝2：5． 【举一反三4】已知x：y＝2：3，y：z＝1：，求x：y：z． 【答案】解：∵y：z＝1：， ∴y：z＝2：5＝6：15， ∵x：y＝2：3＝4：6， ∴x：y：z＝4：6：15． 【举一反三5】已知，求a：b． 【答案】解：∵， ∴2（a﹣b）＝a， 2a﹣2b＝a， 2a﹣a＝2b， a＝2b， ∴a：b＝2：1． 【题型7】比例尺的应用 【典型例题】比例尺为1：2000的地图上，A，B两地间的图上距离为2cm，则两地间的实际距离是（　　） A.10m B.20m C.40m D.80000m 【答案】C 【解析】设A、B两地间的实际距离为x m，根据题意得，解得x＝40． 则A、B两地间的实际距离为40m． 故选：C． 【举一反三1】将线段比例尺改写成数值比例尺是（　　） A.1：40 B.1：400000 C.1：4000000 D.1：40000 【答案】C 【解析】由题意得1cm表示40km，所以数值比例尺为1：4000000． 故选：C． 【举一反三2】在比例尺为1：10 000 000的山西地图上，小贤量得长治到太原的距离约为2.2cm，则两地的实际距离约为 　　km． 【答案】220 【解析】根据比例尺的性质，两地的实际距离约2.2×10 000 000＝22000000cm＝220km. 【举一反三3】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】解：10×3000000＝30000000（厘米）， 30000000厘米＝300千米， 设甲车的速度是3x千米/时，则乙车的速度是2x千米/时，根据题意得2（2x+3x）＝300， 解得x＝30， 2x＝2×30＝60， 3x＝3×30＝90． 答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时． 【题型8】两个数的比例中项 【典型例题】已知a＝2，b＝8，则a，b的比例中项为（　　） A.±4 B.4 C.2 D.±2 【答案】A 【解析】设a，b的比例中项为x，根据题意得x2＝2×8＝16，解得x＝4或x＝﹣4， 即a，b的比例中项为±4． 故选：A． 【举一反三1】4和9的比例中项是（　　） A.6 B.±6 C. D. 【答案】B 【解析】设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，解得x＝±6． 故选：B． 【举一反三2】若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中项，则b：c等于（　　） A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.2：1 【答案】B 【解析】∵b是a，c的比例中项，∴， ∵a：b＝1：2，∴，即b：c＝1：2. 故选：B． 【举一反三3】已知a为4，b为16，c是a，b的比例中项，那么c为（　　） A.10 B.8 C.﹣8 D.±8 【答案】D 【解析】∵c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝4×16＝64，解得：c＝±8． 故选：D． 【举一反三4】已知a＝2，b＝8，则a，b的比例中项为（　　） A.±4 B.4 C.2 D.±2 【答案】A 【解析】设a，b的比例中项为x，根据题意得x2＝2×8＝16，解得x＝4或x＝﹣4， 即a，b的比例中项为±4． 故选：A． 【举一反三5】填空：已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为 　   　，其中x＝　　． 【答案】， 【解析】已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为，其中x． 【举一反三6】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　． 【答案】 【解析】∵8是x和9的比例中项， ∴9x＝8×8， 9x＝64， x． 【举一反三7】线段和的比例中项是 　　． 【答案】1 【解析】设比例中项是x，∴x21，∴x＝1或﹣1（舍去）． 【题型9】根据比例性质判断比例式是否成立 【典型例题】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、由得3a＝2b，故本选项不符合题意； B、由得2a＝3b，故本选项符合题意； C、由得3a＝2b，故本选项不符合题意； D、由得a＝3，故本选项不符合题意. 故选：B． 【举一反三1】若，则下列比例式成立的是（　　） A.2x＝2y B.3x＝5y C.5x＝3y D.5x＝2y 【答案】D 【解析】若，则有5x＝2y． 故选：D． 【举一反三2】若3m＝4n（mn≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵3m＝4n，∴，． 故选：B． 【举一反三3】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、由得3a＝2b，故本选项不符合题意； B、由得2a＝3b，故本选项符合题意； C、由得3a＝2b，故本选项不符合题意； D、由得a＝3，故本选项不符合题意. 故选：B． 【举一反三4】已知4.52.5，下面哪个比例式不成立（　　） A.：＝4.5：2.5 B.：＝2.5：4.5 C.4.5：2.5： D.2.5：4.5： 【答案】A 【解析】A、：2.5：4.5，故A符合题意； B、：2.5：4.5，正确，故B不符合题意； C、4.5：2.5：，正确，故C不符合题意； D、2.5：4.5：，正确，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三5】已知2x﹣5y＝0，且y≠0，判断下列等式是否成立，并说明理由． （1）2x＝5y； （2）． 【答案】解：（1）∵2x﹣5y＝0， ∴2x＝5y，所以等式成立. （2）∵2x＝5y， ∴，所以等式成立． 【举一反三6】已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． （1）； （2）． 【答案】解：设，∴a＝bk，c＝dk， （1）成立，理由如下： ∴，， ∴. （2）不成立，理由如下： ∵， ∴不成立． 【题型10】黄金分割的定义 【典型例题】定长线段被黄金分割成两段，这两段线段以及它们的比例中项（　　） A.不能组成三角形 B.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 D.能组成锐角三角形 【答案】B 【解析】设定长线段m被分成了线段a，b（a＞b），根据黄金分割点的概念，知a2＝bm， 设线段a，b的比例中项是c，根据比例中项的概念，则c2＝ab，所以a2﹣c2＝bm﹣ab＝b（m﹣a）， 设m﹣a＝b，a2﹣c2＝b2，即有a2＝c2+b2，故可能组成直角三角形． 故选：B． 【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A.1）：2 B.1）：2 C.）：2 D.）：2 【答案】A 【解析】根据黄金分割的定义，知AC：AB＝（1）：2． 故选：A． 【举一反三2】一条线段的黄金分割点有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【答案】B 【解析】一条线段的黄金分割点有2个． 故选：B． 【举一反三3】下列关于线段AB的黄金分割的说法中，正确的有　　. ①线段AB的黄金分割点有2个； ②若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB； ③若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB. 【答案】①②③ 【解析】①线段AB的黄金分割点有2个，说法正确； ②如图1，若C是线段AB的黄金分割点，则此时AC等于AB，说法正确； ③如图2，若C是线段AB的黄金分割点，则此时BC等于AB，AC等于AB，说法正确． 【举一反三4】黄金比的近似值为　　，准确值为　　． 【答案】0.618， 【解析】根据黄金分割的概念直接得出，∴黄金比的近似值为0.618，准确值为． 【举一反三5】如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，D、E分别是AC、BC的中点，仔细观察，试说明点DE黄金分割点． 【答案】解：∵C是线段AB的黄金分割点，∴BC2＝AC•AB， ∵D，E分别是AC，BC的中点，∴CDAC，CEBC，DEAB，∴CE2＝DC•DE， ∴C是线段DE的黄金分割点． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 【答案】解：点E是线段AB的黄金分割点． 证明：连接EC， ∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC， 又∵AE＝BC，∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠BEC＝∠ACB，又∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB，∴，即BC2＝BE•AB， 又∵AE＝BC，∴AE2＝BE•AB，即点E是线段AB的黄金分割点． 【题型11】根据黄金分割定义求线段的长 【典型例题】已知线段AB＝10，点C是AB的黄金分割点，则AC＝（　　） A.55 B.15﹣5 C.55或15﹣5 D.以上都不对 【答案】C 【解析】∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10， ∴ACAB10＝55，或ACAB10＝15﹣5． 故选：C． 【举一反三1】在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（　　） A. B.3 C.2 D. 【答案】C 【解析】根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ1， 则PQ＝AP+BQ﹣AB2﹣12． 故选：C． 【举一反三2】把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 　　cm． 【答案】（66） 【解析】∵把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，∴较长线段的长为12＝（66）cm． 【举一反三3】已知P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，PA＝3，则AB＝　　． 【答案】2 【解析】∵P为线段AB的黄金分割点，PA＜PB，∴PA是较短线段，且PAAB， 又PA＝3，∴AB＝2． 【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝55，且AC＞BC，求线段AB与BC的长． 【答案】解：设AB＝x，则55x，解得：x＝10，即AB＝10， 则BC＝AB﹣AC＝10﹣（55）＝15﹣5． 【题型12】判断一组数是否成比例 【典型例题】下列各组数中，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4 【答案】C 【解析】A．因为1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例，本选项不符合题意； B．因为1×6≠4×4，所以1，4，4，6不成比例，本选项不符合题意； C．因为33，，，，3成比例，本选项符合题意； D．因为4≠2，，，2，4不成比例，本选项不符合题意. 故选：C． 【举一反三1】下列各组数中，成比例的是（　　） A.﹣7，﹣5，14，5 B.﹣6，﹣8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【答案】B 【解析】如果其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，则四个数叫成比例． 故选：B． 【举一反三2】下列各组数中，成比例的是（　　） A.7，5，14，5 B.6，8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【答案】B 【解析】A、因为7×5≠5×14，所以不能组成比例； B、因为6×4＝8×3，所以能组成比例； C、因为3×12≠5×9，所以不能组成比例； D、因为2×12≠3×6，所以不能组成比例． 故选：B． 【举一反三3】下列各组数中，成比例的是（　　） A.﹣7，﹣5，14，5 B.﹣6，﹣8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 【答案】B 【解析】如果其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，则四个数叫成比例． 故选：B． 【举一反三4】下列各组数中，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.1，4，4，6 C.，，，3 D.，，2，4 【答案】C 【解析】A．因为1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例，本选项不符合题意； B．因为1×6≠4×4，所以1，4，4，6不成比例，本选项不符合题意； C．因为33，，，，3成比例，本选项符合题意； D．因为4≠2，，，2，4不成比例，本选项不符合题意. 故选：C． 【举一反三5】判别下列各组数是否成比例． （1）1，4，2，8； （2）1，﹣2，﹣3，﹣6； （3），，﹣2，2． 【答案】解：（1）由于4×2＝8×1，所以四条线段成比例. （2）由于1×（﹣6）≠（﹣3）×（﹣2），所以四条线段不能成比例. （3）由于﹣22，所以四条线段成比． 【举一反三6】下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式． （1）3，﹣9，﹣2，6． （2），，，． （3）3，，，2． 【答案】解：（1）能成比例， ∵，， ∴. （2）能成比例， ∵，， ∴. （3）不成比例， ∵，，∴； ∵，∴． 【题型13】根据黄金分割定义求线段的比值 【典型例题】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴， ∴， ∴1 1 . 故选：C． 【举一反三1】已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A.1）：2 B.1）：2 C.）：2 D.）：2 【答案】A 【解析】根据黄金分割的定义，知AC：AB＝（1）：2． 故选：A． 【举一反三2】点B把线段AC分成两部分，如果k，那么k的值为（　　） A. B. C.1 D.1 【答案】B 【解析】∵点B把线段AC分成两部分，k， ∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k. 故选：B． 【举一反三3】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴， ∴， ∴1 1 . 故选：C． 【举一反三4】按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设BD＝DE＝a，∵BDAB，∴AB＝2BD＝2a， ∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°，∴ADa， ∴AE＝AD﹣DEa﹣a＝（1）a， ∵AC＝AE，∴AC＝（1）a，∴. 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $