第四单元 比（易错思维训练）数学人教版六年级上册

第四单元 比（易错思维训练） 1．甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了（    ）棵。 A．320 B．80 C．960 D．400 【答案】A 【分析】把全部树看作单位“1”，先计算出甲、以、丙三人按原计划和实际所种树棵数占全部树的分率，比较前后分率，谁的分率变少，就是谁，再用少的棵数÷减少的分率，求出总棵数，再用总棵树×甲实际种树棵数占总棵树的分率，即可求出实际种树棵数，据此解答。 【解答】原计划： 1＋1＋2 ＝2＋2 ＝4 甲：1÷4＝ 乙：1÷4＝ 丙：2÷4＝ 实际： 4＋3＋5 ＝7＋5 ＝12 甲：4÷12＝ 乙：3÷12＝ 丙：5÷12＝ 甲：＜；乙：＝；丙：＞，丙的分率变小； 80÷（－） ＝80÷（－） ＝80÷ ＝80×12 ＝960（棵） 960×＝320（棵） 甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了320棵。 故答案为：A 【点评】关键是理解比的意义，确定单位“1”，通过分率的变化确定变少的是谁；部分数量÷对应分率＝整体数量；整体数量×部分对应分率＝部分数量。 2．如图，若大正方形与小正方形中涂色部分的面积比是3∶1，则空白部分的面积比是（    ）。 A．15∶1 B．12∶1 C．9∶1 D．18∶1 【答案】A 【分析】三角形面积＝底×高÷2，看图可知，大正方形中涂色部分和小正方形中涂色部分的高相等，都是小正方形的边长，大正方形与小正方形中涂色部分的面积比是3∶1，所以大正方形涂色部分和小正方形涂色部分底的比也是3∶1，将比的前后项看成份数，大正方形边长看作3，小正方形边长是1，根据正方形面积＝边长×边长，分别计算大正方形和小正方形面积，再分别减去涂色部分，就是空白部分，根据比的意义，写出空白部分的面积比，化简即可。 【解答】（3×3－3×1÷2）∶（1×1÷2） ＝（9－1.5）∶0.5 ＝7.5∶0.5 ＝75∶5 ＝（75÷5）∶（5÷5） ＝15∶1 空白部分的面积比是15∶1。 故答案为：A 【点评】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用正方形和三角形面积公式。 3．美丽的海洋里住着各种各样的鱼类：刺鲅（cì bà）是活跃在热带海域的一种鱼类，它每小时可以游80千米；飞鱼能跳出水面，拍打翼状鳍进行滑翔，在海里每小时能游60千米，在空中可停留的最长时间约是48秒；因上颌向前延伸呈剑状而得名的剑鱼时速比飞鱼快。关于以上三种鱼类，下面说法正确的是（    ）。 A．刺鲅和飞鱼的时速比是 B．飞鱼的速度比刺鲅的速度慢 C．剑鱼每小时可以游130千米 D．若一条飞鱼在空中停留48秒，飞行路程是396米，则它在空中的速度是8米/秒 【答案】C 【分析】A．刺鲅速度80千米，飞鱼速度60千米。则刺鲅和飞鱼的时速比为80∶40，化简比即可； B．“飞鱼的速度比刺鲅的速度慢几分之几”，将刺鲅的速度（80千米）看作单位“1”，对应的量÷单位“1”＝对应的分率。即飞鱼的速度比刺鲅的速度少的部分÷刺鲅的速度＝飞鱼的速度比刺鲅的速度慢几分之几，将数据代入计算即可； C．“剑鱼时速比飞鱼快”，飞鱼的速度是单位“1”，剑鱼是飞鱼的（1＋），单位“1”已知，由分数乘法意义知：飞鱼的速度×（1＋）＝剑鱼的速度，代入数据计算即可； D．速度＝路程÷时间，将飞鱼的路程396米，时间48秒，代入计算即可。 【解答】A. 刺鲅和飞鱼的时速比＝80∶60＝4∶3，选项说法不正确； B．飞鱼的速度比刺鲅的速度慢：（80－60）÷80＝，选项说法不正确； C. 剑鱼每小时可以游：60×（1＋）＝60×＝130（千米），选项说法正确； D．396÷48＝8.25（米/秒），选项说法不正确。 故答案为：C 【点评】从题目中提取数学信息也是数学的重要解题能力之一，从题目中找到自己需要的数学信息，进而结合问题去分析。 4．如图，三角形AOC和三角形BOD形状相同，大小不同，在数学上把这样的两个三角形叫作“相似三角形”。已知AC∶BD＝1∶2，OC∶OD＝1∶2，OA∶OB＝1∶2，三角形AOC和三角形BOD的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 【答案】C 【分析】根据题意，三角形AOC和三角形BOD是相似三角形，三条边的比AC∶BD＝OC∶OD＝OA∶OB＝1∶2，由此得出：相似三角形对应线段的比相等。 如下图，先分别作三角形AOC的边AC和三角形BOD的边BD上的高OE和OF；然后根据“相似三角形”的意义得出三角形AOE和三角形BOF是相似三角形，由此得出两个三角形高OE与OF的比等于边OA与OB的比；再根据比的意义以及三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形AOC和三角形BOD的面积，并得出它们的面积之比。 【解答】如图： 过O点作三角形AOC的边AC上的高OE，过O点作三角形BOD的边BD上的高OF； 三角形AOE和三角形BOF形状相同，大小不同，是相似三角形； 因为OA∶OB＝1∶2，所以OE∶OF＝1∶2； 由AC∶BD＝1∶2，可以设AC是1，BD是2； 由OE∶OF＝1∶2，可以设OE是1，OF是2； （AC×OE÷2）∶（BD×OF÷2） ＝（1×1÷2）∶（2×2÷2） ＝1∶4 三角形AOC和三角形BOD的面积比是1∶4。 故答案为：C 【点评】从题目的已知信息中明白“相似三角形”三条边的比的关系，由此求出相似三角形高的比，再利用三角形的面积公式以及比的意义求出相似三角形的面积之比。 5．甲、乙、丙三名化妆师单独为一名新娘化妆所需的时间之比为2∶3∶4（假设给所有新娘化妆的工作量都相同），某天她们同时为两名新娘化妆，其中甲负责为新娘A化妆，乙负责为新娘B化妆，丙先帮甲为新娘A化妆，然后紧接着又帮乙为新娘B化妆。72分钟后，两名新娘同时化妆完毕，其中丙为新娘A化妆所用的时间为（    ）。 A．18分钟 B．12分钟 C．9分钟 D．6分钟 【答案】B 【分析】把每个新娘化妆的工作量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，可知甲、乙、丙三人的工作效率之比为：∶∶，也就是6∶4∶3；已知72分钟后，两名新娘同时化妆完毕，三人化妆的时间相同，工作量之比＝工作效率比，所以甲、乙、丙三人的工作量比为6∶4∶3；两个新娘的工作量为2，根据分数和比的关系以及分数乘法的意义，可知甲的工作量是，乙的工作量是，丙的工作量是，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可求出每人的工作效率；用1减去甲的工作量，即可求出丙帮甲的工作量，最后根据工作时间＝工作总量÷工作时间，即可求出丙帮甲的工作时间。 【解答】∶∶ ＝（×12）∶（×12）∶（×12） ＝6∶4∶3 三人化妆的时间相同，工作量之比＝工作效率比，所以甲、乙、丙三人的工作量比为6∶4∶3； 甲的工作量是 ＝ ＝ 丙的工作量： ＝ ＝ 丙的工作效率： ÷72 ＝× ＝ 丙帮甲的工作量：1－＝ 丙帮甲的时间：÷ ＝×156 ＝12（分钟） 丙为新娘A化妆所用的时间为12分钟。 故答案为：B 【点评】本题主要考查了三人合作的工程问题，先求出三人工作效率之比，然后根据工作时间相同，工作量之比等于工作效率比，分别求出三人的工作量，进而根据公式推出三人的工作效率和工作时间。 6．甲、乙两箱水果的质量比是3∶2，如果从甲箱取出1.5千克放入乙箱后，甲、乙两箱水果的质量比变为7∶5。这两箱水果的质量总和是（    ）千克。 A．90 B．92 C．96 D．100 【答案】A 【分析】根据题意可知，甲、乙两箱水果的质量和不变，把总和看作单位“1”，已知甲、乙两箱水果的质量比是3∶2，根据比和分数的关系，可知甲原来占总和的，如果从甲箱取出1.5千克放入乙箱后，甲、乙两箱水果的质量比变为7∶5，现在甲占总和的，据此可知，1.5千克占总和的（－），根据分数除法的意义，用1.5÷（－）即可求出质量总和。 【解答】1.5÷（－） ＝1.5÷（－） ＝1.5÷ ＝1.5×60 ＝90（千克） 这两箱水果的质量总和是90千克。 故答案为：A 【点评】本题考查了比的应用，可转化为分数应用题，关键是抓住不变量：和不变。 7．一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是（    ）cm。 A．45 B．24 C．25 D．35 【答案】B 【分析】一个等腰三角形，有两条边的长度比是2∶5，说明三角形三边的长度比可能是2∶2∶5，或2∶5∶5；根据两边之和大于第三边可知，三边长度不可能为2∶2∶5，所以这个等腰三角形的三边的长度比是2∶5∶5，再看10厘米是2份还是5份，进而分析解答。 【解答】当10厘米代表2份时，则占三角形周长的； 三角形周长：10÷ ＝10÷ ＝10× ＝60（厘米） 当10厘米带表5份时，则占三角形周长的； 三角形周长：10÷ ＝10÷ ＝10× ＝24（厘米） 一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是24厘米或60厘米。 故答案为：B 8．把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．100 C．99 【答案】C 【分析】由题意可知，把一批书按2∶3∶4或2∶4∶5两种方案分给三个班，可知这批书按2＋3＋4＝9份和2＋4＋5＝11份都正好分完，由此可知这批书应该是9和11的公倍数，据此解答。 【解答】2＋3＋4 ＝5＋4 ＝9（份） 2＋4＋5 ＝6＋5 ＝11（份） 9和11的公倍数有：99、198、297… 则这批书可能有99本。 故答案为：C 9．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问狗再跑 米，马可以追到它。 【答案】600 【分析】已知“狗跑5步的时间＝马跑3步的时间”，“马跑4步的距离＝狗跑7步的距离”。假设狗每步距离为1，则马每步距离为7÷4＝步。相同时间内（狗跑5步的时间）：狗跑的路程是5×1＝5，马跑的路程是。因此，狗的速度∶马的速度＝5∶＝20∶21。 假设狗的速度为20x米/单位时间，结合速度比，马的速度就是21x米/单位时间，设马追上狗时，狗再跑了y米。狗跑y米所需时间：。这段时间内，马跑的路程：。根据“马跑的总路程＝狗先跑的30米＋狗再跑的y米”，列出方程为：＝30＋y，然后解方程即可。 【解答】假设狗每步距离为1。 7÷4＝（步） 5×1＝5 （步） 狗的速度∶马的速度＝5∶ 5∶ ＝（5×4）∶（×4） ＝20∶21 解：设狗的速度为20x米/单位时间，马的速度就是21x米/单位时间。马追上狗时，狗再跑了y米。 ＝30＋y ＝30＋y 21y＝（30＋y）×20 21y＝600＋20y 21y－20y＝600 y＝600 所以狗再跑600米，马可以追到它。 【点评】本题涉及行程问题中的追及问题与速度比计算，通过统一步数推导速度关系、利用单未知数建立方程解决实际问题，关键是先根据“步数时间”和“步距”求出狗与马的速度比，再围绕“追及时路程相等”列方程。 10．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为（ ）米/秒。 【答案】6 【分析】二人计划在距A地处相遇，把全程看作单位“1”，则时间相关时甲走全程的，乙走全程的，时间相同时，路程的比与速度的比相同，可列比并化简，得到甲乙的速度比是等于3∶2，乙比计划多走36米，应该是甲走的，所以甲走36米时乙走了36÷3×2＝24（米），所以甲休息15秒，乙也休息15秒，走相同的时间，两人应该相差24＋36＝60（米），所以可以得到乙的速度是60÷15＝4（米/秒），所以甲速度是4÷2×3＝6（米/秒）据此解答。 【解答】甲乙的速度比 36÷3×2 ＝12×2 ＝24（米） 乙的速度（24＋36）÷15 ＝60÷15 ＝4（米/秒） 甲的速度4÷2×3 ＝2×3 ＝6（米/秒） 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为6米/秒。 【点评】时间相同时，路程比与速度比相等，再根据比的应用求出甲乙的速度。 11．有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 【答案】32 【分析】假设甲的边长为x，根据正方形的周长公式，可知甲的周长为4x；已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，根据比的意义，可知乙的周长是5x，丙的周长是6x；根据平移可知，乙、丙的周长相当于较大正方形的周长、最大正方形的周长；据此可知，较大的正方形边长是（5x÷4），最大正方形的边长是（6x÷4）；据此可知，丙的面积等于最大的正方形面积减去较大正方形的面积，列方程为（6x÷4）2－（5x÷4）2＝22，据此解出x2，也就是甲的面积。 【解答】解：设甲的边长为x，甲的周长为4x，乙的周长是5x，丙的周长是6x。 （6x÷4）2－（5x÷4）2＝22 （x）2－（x）2＝22 x2－x2＝22 x2＝22 x2＝22÷ x2＝22× x2＝32 甲的面积是32。 【点评】本题考查了比的复杂应用，关键是明确每个正方形边长和丙的面积之间的数量关系，再利用对应的关系解答。 12．中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是（ ）∶（ ）。 【答案】32 63 【分析】根据题意，把第一天走的路程看作单位“1”，则第二天走的路程是第一天的；第三天走的路程是第一天的×＝；第四天走的路程是第一天的×＝；第五天走的路程是第一天的×＝；第六天走的路程是第一天的×＝。那么总路程是第一天所走路程的（1＋＋＋＋＋）。根据比的意义，用1比上（1＋＋＋＋＋），再化成最简整数比即可解答。 ＝1－，＝－，＝－，＝－，＝－，则1＋＋＋＋＋可以转化为1＋1－＋－＋－＋－＋－，部分加数和减数互相抵消，据此计算。 【解答】通过分析可得： ×＝ ×＝ ×＝ ×＝ 1∶（1＋＋＋＋＋） ＝1∶（1＋1－＋－＋－＋－＋－） ＝1∶（2－） ＝1∶ ＝（1×32）∶（×32） ＝32∶63 则这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是32∶63。 【点评】把第一天所走的路程看作单位“1”，分别表示出其它五天各走的路程和总路程占第一天所走路程的分率是解题的关键。 13．一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是；第二天读后，已读页数与未读页数的比变成了。第二天比第一天多读6页，这本书共有（ ）页。 【答案】120 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，根据题意可知，第一天已读页数占总页数的，第二天读后页数占总页数的，用第二天读后页数占总页数的分率－第一天已读页数占总页数的分率，求出第二天已读页数占总页数的分率，即－；再用第二天已读页数占总页数的分率－第一天已读页数占总页数的分率，求出第二天比第一天多读页数占总页数的分率，对应的是第二天比第一天多读6页，求单位“1”，用6÷（－－），即可解答。 【解答】6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷（－） ＝6÷ ＝6×20 ＝120（页） 这本书共有120页。 【点评】解答本题的关键明确已读页数占总页数的分率和读后页数占总页数的分率的差异。 14．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分成A、B、C三组，每组数的总和相等。若从A组拿一个数到B组，则A组剩下的数之和与B组所有数的总和之比为3∶7；若从B组拿一个数到C组，则B组剩下的数之和与C组所有数的总和之比为11∶19。原来A组中所有数的乘积最大是 。 【答案】90 【分析】根据题意可知，用九个数字之和除以3，即可求出原来每组数的和，通过计算可知，原来每组数的和是15；用每组数的和×2即可求出原来A、B两组数的和；已知若从A组拿一个数到B组，则A组剩下的数之和与B组所有数的总和之比为3∶7，根据分数和比的关系，可知A组剩下的数之和是两组数之和的，再根据分数乘法的意义，用A、B两组数的和×即可求出A组剩下的数之和，也就是9；然后用原来每组数的和减去A组剩下的数之和，即可求出从原来A组中拿出的数，通过计算可知A组含有6；又已知从B组拿一个数到C组，则B组剩下的数之和与C组所有数的总和之比为11∶19，同理可知，B组含有数4；说明原来A组中不包含数4，在1、2、3、5、7、8、9中，选出的数的和为9，9＝1＋8＝2＋7＝1＋3＋5，要使原来A组中所有数的乘积最大，则每个数之间的差尽量小，所以A组选择1、3、5和6时，原来A组中所有数的乘积最大。 【解答】每组数的和： （1＋2＋3＋…＋9）÷3 ＝45÷3 ＝15 A组剩下的数之和是： 15×2× ＝15×2× ＝9 A组含有数：15－9＝6 B组剩下的数之和是： 15×2× ＝15×2× ＝11 B组含有数：15－11＝4 9＝1＋8＝2＋7＝1＋3＋5 要使原来A组中所有数的乘积最大，则每个数之间的差尽量小，所以A组选择1、3、5和6时，原来A组中所有数的乘积最大； 6×1×3×5＝90 原来A组中所有数的乘积最大是90。 【点评】本题主要考查了平均数的求法以及比的应用，可将题目转化为分数乘法应用题进行解答。 15．学校购买了一批练习本，原计划按1∶2∶3∶4∶5的比例分别分配给A、B、C、D、E五个班，但实际上却按6∶7∶8∶9∶10的比例分配，最后发现有一个班比原计划少分了5本。只有一个班实际分得的练习本数量与原计划相同，这个班分得了 本练习本（按两种比例分配时，每个班都能分得整数本练习本）。 【答案】24 【分析】把所有版本的数量看作单位“1”，根据分数和比的关系，分别求出原计划每个班分别分得练习本占所有练习本数量的分率，以及实际每个班分别分得练习本占所有练习本数量的分率，通过计算和比较可知，原计划C班分得练习本占所有练习本数量的分率和实际C班分得练习本占所有练习本数量的分率相同，所以C班实际分得的练习本数量与原计划相同；根据比的基本性质，1∶2∶3∶4∶5＝8∶16∶24∶32∶40；6∶7∶8∶9∶10＝18∶21∶24∶27∶30，用份数来表示，D班实际比原计划少（32－27）份，E班实际比原计划少（40－30）份，有一个班比原计划少分了5本，因为每个班都能分得整数本练习本，所以（32－27）份就是5本，用除法求出每份是多少，进而求出24份，也就是C班分得的本数。 【解答】1＋2＋3＋4＋5＝15 原计划A、B、C、D、E五个班分别分得练习本数量占所有数量的、、、、； 6＋7＋8＋9＋10＝40 实际A、B、C、D、E五个班分别分得练习本数量占所有数量的、、、、； A班：＜ B班：＜ C班：＝ D班：＞ E班：＞ C班实际分得的练习本数量与原计划相同， 1∶2∶3∶4∶5 ＝（1×8）∶（2×8）∶（3×8）∶（4×8）∶（5×8） ＝8∶16∶24∶32∶40 6∶7∶8∶9∶10 ＝（6×3）∶（7×3）∶（8×3）∶（9×3）∶（10×3） ＝18∶21∶24∶27∶30 5÷（32－27）×24 ＝5÷5×24 ＝24（本） 这个班分得了24本练习本。 【点评】解答本题的关键是根据分数比较得出哪个班实际分得的练习本数量与原计划相同，再以这个班为准，利用比的知识进行解答。 16．某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5∶9，团购票的数量与儿童票的数量之比为11∶10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客 人。 【答案】1464 【分析】根据单价×数量＝总价，可知成人票的总价与团购票的总价之比：（20×5）∶（15×9），团购票的总价与儿童票的总价之比：（11×15）∶（10×10），再化简即可，也就是成人票的总价与团购票的总价之比：20∶27，团购票的总价与儿童票的总价之比：33∶20；根据分数和比的关系，可知成人票的总价占团购票的总价的，儿童票的总价占团购票的总价的，已知儿童票的收入比成人票的收入少1200元，则儿童票的收入比成人票的收入少的钱数占团购票的总价的（－），把团购票的总价看作单位“1”，根据分数除法的意义，用1200÷（－）即可求出团购票的总价，然后根据分数乘法的意义，别用乘法求出成人票的总价以及儿童票的总价，再根据数量＝总价÷单价，分别求出成人票的数量、团购票的数量、儿童票的数量，最后把所有数量相加，即可求出游客总人数。 【解答】（20×5）∶（15×9） ＝（20×5÷5）∶（15×9÷5） ＝20∶27 （11×15）∶（10×10） ＝（11×15÷5）∶（10×10÷5） ＝33∶20 团购票的总价： 1200÷（－） ＝1200÷ ＝1200× ＝8910（元） 成人票的总价：8910×＝6600（元） 儿童票的总价：8910×＝5400（元） 团票的数量：8910÷15＝594（张） 成人票的数量：6600÷20＝330（张） 儿童票的数量：5400÷10＝540（张） 594＋330＋540＝1464（张） 这一天公园共接待游客1464人。 【点评】解答本题的关键是求出总价比，然后转化为分数除法应用题，求出团购票的总价，再根据分数乘法的意义以及经济问题的相关公式进行解答。 17．已知，，求。 【答案】16∶28∶5 【分析】利用连比，将先表示出来，再化简成最简整数比即可。 【解答】a∶b ＝（0.4×20）∶（0.7×20） ＝8∶14 b∶c ＝（×5）∶（×5） ＝14∶ 所以，a∶b∶c＝8∶14∶＝16∶28∶5。 18．一项工程，甲、乙、丙三人做。原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；已知甲、乙合作同时做需要天完成，且为整数天，。请写出的所有取值。 【答案】23或28 【分析】根据题意可知，按甲、乙、丙次序轮做，恰好整天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整数周期。所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，甲＝乙＋丙×＝丙＋甲×，则甲∶乙∶丙＝3∶2∶2。 第二种情况是乙结束，甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，则甲∶乙∶丙＝4∶3∶2。再结合甲、乙合作同时做需要k天完成，找出k合适的值即可。 【解答】第一种情况：甲结束，则甲＝乙＋丙×＝丙＋甲×，从而得出：甲∶乙∶丙＝3∶2∶2。 假设甲一天做3份，一共做了n个完整的周期，则（3＋2＋2）n＋3＝（3＋2）k。 经检验k取23。 第二种情况：乙结束，则甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，从而得出：甲∶乙∶丙＝4∶3∶2。 假设甲一天做4份，一共做了n个完整的周期，则（4＋3＋2）n＋4＋3＝（4＋3）k。 经检验k取28。 答：k的值是23或28。 【点评】本题考查接力施工问题的实际应用，注意分两种情况，解题的关键是找出三人的工效比。 19．甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。乙的速度是甲的，相遇后两人继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】50千米 【分析】根据乙的速度是甲的，可知甲乙速度比为3∶2，将比的前后项看成份数，第一次相遇时两人共走1个全程，甲走3份，乙走2份，全程为（3＋2）份，相遇点距A地3份。第二次相遇时，两人共走3个全程，甲共走（3×3）份，到达B地后返回（3×3－5）份，相遇点距A地1份。两次相遇点相距2份，对应20千米，故每份10千米，全程5份即50千米。 【解答】甲乙速度比为3∶2。 全程总份数：3＋2＝5（份） 第二次相遇，甲走的份数：3×3＝9（份） 到达B地后，甲返回的份数：9－5＝4（份） 第二次相遇，甲距A地份数：5－4＝1（份） 两次相遇点相距份数：3－1＝2（份） 20÷2＝10（千米） 10×5＝50（千米） 答：A、B两地相距50千米。 【点评】关键是确定两人速度比，理解第二次相遇时，两人共走3个全程。 20．自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下向上走了50级到顶，已知小明步行速度是小红的3倍，问扶梯静止时由底到顶共几级？ 【答案】80级 【分析】小明走过的级数是小红走过的级数的100÷50＝2倍，同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2∶3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小红行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的和100－50＝50级，伸出时间和缩进时间比是2∶3，那么伸出和缩进级数比就是2∶3，因此伸出级数为50÷（2＋3）×2＝20级，静止时就应该是100－20＝80级；据此解答即可。 【解答】小明走过的级数是小红走过的级数的100÷50＝2倍，同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2∶3， 100－50＝50（级） 伸出级数为： 50÷（2＋3）×2 ＝50÷5×2 ＝10×2 ＝20（级） 静止时就应该是：100－20＝80（级） 答：扶梯静止时由底到顶共80级。 【点评】本题考查了扶梯问题，速度、路程、时间的关系，比的意义以及按比例分配的知识的实际应用。 21．甲、乙、丙三人加工方形和圆形的两种零件，已知甲每加工3个零件中有2个是圆形的；乙每加工4个零件中有3个是圆形的；丙每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三人共加工了116个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，那么这天三人共加工零件多少个？ 【答案】156个 【分析】根据题意，甲、乙、丙三人加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，把比看作份数； 因为甲每加工3个零件中有2个是圆形的，即有1个是方形的，所以甲加工圆形零件的个数是方形的2倍；那么甲加工方形零件的个数是4份，则甲加工圆形零件的个数就是4×2＝8份； 因为乙每加工4个零件中有3个是圆形的，即有1个是方形的，所以乙加工圆形零件的个数是方形的3倍；那么乙加工方形零件的个数是3份，则乙加工圆形零件的个数就是3×3＝9份； 因为丙每加工5个零件中有4个是圆形的，即有1个是方形的，所以丙加工圆形零件的个数是方形的4倍；那么丙加工方形零件的个数是3份，则丙加工圆形零件的个数就是3×4＝12份； 甲、乙、丙三人加工的圆形零件个数的比是8∶9∶12，即共加工了8＋9＋12＝29份；用三人加工圆形零件的总数除以圆形零件的总份数，求出一份数；再用一份数乘加工方形零件的总份数即可求出加工方形零件的总数，然后把方形和圆形零件个数相加求出加工零件的总数。 【解答】甲、乙、丙三人加工的圆形零件个数的比是： （4×2）∶（3×3）∶（3×4）＝8∶9∶12 一份数： 116÷（8＋9＋12） ＝116÷29 ＝4（个） 方形零件共加工： 4×（4＋3＋3） ＝4×10 ＝40（个） 一共：40＋116＝156（个） 答：这天三人共加工零件156个。 【点评】通过每人加工圆形零件个数是方形零件的几倍，得出三人加工圆形零件的个数比，再把比看作份数，求出一份数是解题的关键。 22．一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 【答案】2∶5；奶味加重了 【分析】用700减去两个100可得原来奶茶的总量，再根据比的应用，把原来奶茶的总量看作单位“1”，奶的质量是总量的，茶的质量是总量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可分别求出原来的奶和茶的质量。再分别用原来的奶的质量加100的和比原来的茶的质量加100的和，再化简比可得第一问；比较原来奶和茶的比是1∶4，即2∶8，而现在的奶和茶的比是2∶5，是奶味加重了。 【解答】700－100×2 ＝700－200 ＝500（克） 500× ＝500× ＝100（克） 500× ＝500× ＝400（克） （100＋100）∶（100＋400） ＝200∶500 ＝2∶5 据分析可知，加入的奶和茶各100克，比原来奶味重。 答：在的奶茶中奶和茶的比是2∶5；现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了。 【点评】本题的关键是找出原来奶茶的质量，再根据原来奶与茶的比，分别求出奶与茶的质量，由现在奶与茶的质量求现在奶与茶的比，如果奶与茶的比值和以前相比增大，则奶味加重，反之是茶味加重。 23．有一个书架上装有两层的书，上层书的数量与下层书的数量比是5∶6，从上层拿60册书到下层后，上、下两层书数量之比为3∶4，上、下两层原来有书各有图书多少册？ 【答案】1050册；1260册 【分析】设上层原来有5x册书，因为上层书的数量与下层书的数量比是5∶6，所以下层原来有6x册书，从上层拿60册书到下层后，上层书的数量变为（5x－60）册，下层书的数量变为（6x ＋60）册，此时上、下两层书数量之比为3∶4，据此列比例解答即可。 【解答】解：设上层原来有5x册书。 （5x－60）∶（6x＋60）＝3∶4 4×（5x－60）＝3×（6x＋60） 20x－240＝18x＋180 20x－240－18x＝18x＋180－18x 2x－240＝180 2x－240＋240＝180＋240 2x＝420 2x÷2＝420÷2 x＝210 上层：5×210＝1050（册）    下层：6×210＝1260（册） 答：上层原来有1050册书，下层原来有1260册书。 24．一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多做天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需天就可以完成。现在，由乙单独做需要几天才能完成？ 【答案】7天 【分析】由题意可知，甲乙交替轮流做时，甲做最后一天恰好用整数天完成，而乙甲交替轮流做时，最后乙做一天后甲再做天才能完成，说明“甲做一天的工作量＝乙做一天的工作量＋甲做天的工作量”，则乙做一天的工作量和甲做天的工作量相同，乙的工作效率×1＝甲的工作效率×，由此求出甲和乙工作效率的最简整数比，再根据比的应用求出乙的工作效率，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙单独做需要的天数，据此解答。 【解答】假设工作总量为1。 甲乙合作的工作效率： 1÷ ＝1÷ ＝1× ＝ 甲的工作效率∶乙的工作效率 ＝1∶（1－） ＝1∶ ＝（1×5）∶（×5） ＝5∶3 乙的工作效率： × ＝× ＝ 1÷ ＝1×7 ＝7（天） 答：由乙单独做需要7天才能完成。 【点评】本题主要考查比的应用和工程问题，分析题意求出甲和乙工作效率的最简整数比是解答题目的关键。 25．丽丽读一本故事书，第一周看的页数是未看页数的，第二周看了60页，此时未看的页数与整本书页数之比是3∶8，这本书共有多少页？ 【答案】120页 【分析】根据题意，第一周看的页数是未看页数的，则未看页数为7份，已看页数为1份，总页数为1＋7＝8份；已看页数占总页数的；由于第二周看了60页，此时未看的页数与整本书页数之比是3∶8，未看的页数占总页数的，则已看的页数占总页数的1－＝，第一周已看页数是总页数的，由此可知60页占了总页数的－，单位“1”是总页数，单位“1”未知，用除法，级60÷（－）。 【解答】1－＝ 60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷ ＝60×2 ＝120（页） 答：这本书共有120页。 【点评】求出第一周没看页数占总页数的分率，同时要注意后面3∶8表示的是未看页数与总页数的比，理解清楚题目是解答本题的关键。 26．小明准备用一根铁丝做一个长方形框架和一个三角形框架。他先做了一个长方形框架，其长和宽的比是2∶1，铁丝被用去总长的，剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，其中最长边比最短边长8厘米。 （1）做三角形框架用去了多长的铁丝？ （2）长方形框架的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）48厘米 （2）200平方厘米 【分析】（1）剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，即三边的长度分别占3份、4份、5份；用最长边比最短边的长度除以（5－3）份，求出一份数，再用一份数乘（3＋4＋5）份，求出做三角形框架用去铁丝的长度。 （2）把铁丝的总长看作单位“1”，做长方形框架用去的铁丝占总长的，则做三角形框架用去的铁丝占总长的（1－），单位“1”未知，用三角形框架用去铁丝的长度除以（1－），求出铁丝的总长； 用铁丝的总长减去做三角形框架用去铁丝的长度，即是做长方形框架用去铁丝的长度； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2；已知长方形框架的长和宽的比是2∶1，把长看作2份、宽看作1份，一共是（2＋1）份；用长、宽之和除以（2＋1）份，求出一份数，即是宽，再用宽乘2，即是长； 最后根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形框架的面积。 【解答】（1）一份数： 8÷（5－3） ＝8÷2 ＝4（厘米） 三角形框架用铁丝的长度： 4×（3＋4＋5） ＝4×12 ＝48（厘米） 答：做三角形框架用去了48厘米长的铁丝。 （2）铁丝的总长： 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝108（厘米） 做长方形框架用铁丝的长度：108－48＝60（厘米） 长方形框架的长、宽之和：60÷2＝30（厘米） 宽：30÷（2＋1） ＝30÷3 ＝10（厘米） 长：10×2＝20（厘米） 面积：20×10＝200（平方厘米） 答：长方形框架的面积是200平方厘米。 【点评】（1）本题考查比的应用，把三角形的三边比看作份数，根据最长边比最短边长8厘米，求出一份数是解题的关键。 （2）把铁丝的总长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出铁丝的总长；再灵活运用长方形的周长公式以及比的应用，求出长方形的长、宽是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比（易错思维训练） 1．甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了（    ）棵。 A．320 B．80 C．960 D．400 2．如图，若大正方形与小正方形中涂色部分的面积比是3∶1，则空白部分的面积比是（    ）。 A．15∶1 B．12∶1 C．9∶1 D．18∶1 3．美丽的海洋里住着各种各样的鱼类：刺鲅（cì bà）是活跃在热带海域的一种鱼类，它每小时可以游80千米；飞鱼能跳出水面，拍打翼状鳍进行滑翔，在海里每小时能游60千米，在空中可停留的最长时间约是48秒；因上颌向前延伸呈剑状而得名的剑鱼时速比飞鱼快。关于以上三种鱼类，下面说法正确的是（    ）。 A．刺鲅和飞鱼的时速比是 B．飞鱼的速度比刺鲅的速度慢 C．剑鱼每小时可以游130千米 D．若一条飞鱼在空中停留48秒，飞行路程是396米，则它在空中的速度是8米/秒 4．如图，三角形AOC和三角形BOD形状相同，大小不同，在数学上把这样的两个三角形叫作“相似三角形”。已知AC∶BD＝1∶2，OC∶OD＝1∶2，OA∶OB＝1∶2，三角形AOC和三角形BOD的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 5．甲、乙、丙三名化妆师单独为一名新娘化妆所需的时间之比为2∶3∶4（假设给所有新娘化妆的工作量都相同），某天她们同时为两名新娘化妆，其中甲负责为新娘A化妆，乙负责为新娘B化妆，丙先帮甲为新娘A化妆，然后紧接着又帮乙为新娘B化妆。72分钟后，两名新娘同时化妆完毕，其中丙为新娘A化妆所用的时间为（    ）。 A．18分钟 B．12分钟 C．9分钟 D．6分钟 6．甲、乙两箱水果的质量比是3∶2，如果从甲箱取出1.5千克放入乙箱后，甲、乙两箱水果的质量比变为7∶5。这两箱水果的质量总和是（    ）千克。 A．90 B．92 C．96 D．100 7．一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是（    ）cm。 A．45 B．24 C．25 D．35 8．把一批书按2∶3∶4或按2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（    ）本。 A．90 B．100 C．99 9．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问狗再跑 米，马可以追到它。 10．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为（ ）米/秒。 11．有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 12．中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是（ ）∶（ ）。 13．一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是；第二天读后，已读页数与未读页数的比变成了。第二天比第一天多读6页，这本书共有（ ）页。 14．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分成A、B、C三组，每组数的总和相等。若从A组拿一个数到B组，则A组剩下的数之和与B组所有数的总和之比为3∶7；若从B组拿一个数到C组，则B组剩下的数之和与C组所有数的总和之比为11∶19。原来A组中所有数的乘积最大是 。 15．学校购买了一批练习本，原计划按1∶2∶3∶4∶5的比例分别分配给A、B、C、D、E五个班，但实际上却按6∶7∶8∶9∶10的比例分配，最后发现有一个班比原计划少分了5本。只有一个班实际分得的练习本数量与原计划相同，这个班分得了 本练习本（按两种比例分配时，每个班都能分得整数本练习本）。 16．某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5∶9，团购票的数量与儿童票的数量之比为11∶10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客 人。 17．已知，，求。 18．一项工程，甲、乙、丙三人做。原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；已知甲、乙合作同时做需要天完成，且为整数天，。请写出的所有取值。 19．甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。乙的速度是甲的，相遇后两人继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？ 20．自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下向上走了50级到顶，已知小明步行速度是小红的3倍，问扶梯静止时由底到顶共几级？ 21．甲、乙、丙三人加工方形和圆形的两种零件，已知甲每加工3个零件中有2个是圆形的；乙每加工4个零件中有3个是圆形的；丙每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三人共加工了116个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，那么这天三人共加工零件多少个？ 22．一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 23．有一个书架上装有两层的书，上层书的数量与下层书的数量比是5∶6，从上层拿60册书到下层后，上、下两层书数量之比为3∶4，上、下两层原来有书各有图书多少册？ 24．一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多做天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需天就可以完成。现在，由乙单独做需要几天才能完成？ 25．丽丽读一本故事书，第一周看的页数是未看页数的，第二周看了60页，此时未看的页数与整本书页数之比是3∶8，这本书共有多少页？ 26．小明准备用一根铁丝做一个长方形框架和一个三角形框架。他先做了一个长方形框架，其长和宽的比是2∶1，铁丝被用去总长的，剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，其中最长边比最短边长8厘米。 （1）做三角形框架用去了多长的铁丝？ （2）长方形框架的面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $