21.2一元二次方程的解法培优2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义以“概念建构—解法探究—应用拓展”为主线，通过知识框架图清晰呈现方程定义、一般形式、根的性质与四种解法之间的逻辑关系，辅以表格对比不同解法的适用条件和步骤要点，帮助学生建立系统认知。重点突出直接开平方法中的分类讨论思想、配方法的转化策略及公式法的判别式应用，明确各环节的核心素养落点。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如例题4引导学生从根反推系数，体现数学思维的逆向推理能力；例7用配方法证明代数式恒负，强化几何直观与逻辑严谨性；拓展题中利用换元法处理复杂结构，提升运算能力和模型意识。每类题型均配有规范解题流程和易错警示，基础薄弱生可依模板掌握通法，优等生能突破难点深化理解，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主构建知识网络。

一元二次方程的解法 学习目标 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想． 4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 8. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 9. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 知识要点 一、一元二次方程的有关概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【要点分析】 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（方程中如果有分母，那么分母中无未知数；） （2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2。 不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如 ax2 bx  c  0(a  0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 【要点分析】 (1)只有当 a  0 时，方程 ax2 bx  c  0 才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 三、一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 四、一元二次方程根的重要结论 （1）若a  b  c  0 ，则一元二次方程ax2 bx  c  0(a  0)必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是一元二次方程ax2 bx  c  0(a  0)的一个根，则 a  b  c  0 . （2）若 a -b  c  0 ,则一元二次方程 ax2 bx  c  0(a  0)必有一根 x= -1；反之也成立，即若 x= -1 是一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0)的一个根，则 a - b  c  0 （3）若一元二次方程ax2 bx  c  0(a  0)有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一元二次方程 ax 2  bx  c  0(a  0)必有一根为 0 五、一元二次方程的解法 1. 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于 x 的一元二次方程 x2 a ，可直接开平方求解. 若a  0 ，则 x   a ；表示为 x1  a ， x2  - a ，有两个不等实数根； 若a  0 ，则 x=0；表示为 x1  x2  0 ，有两个相等的实数根； 若a  0 ，则方程无实数根． ②形如关于 x 的一元二次方程 a  0,m  0，可直接开平方求解， 两根是 2．配方法解一元二次方程 （1）配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 (b≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程 的方法叫配方法. （2） 配方法解一元二次方程的理论依据是公式： （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为 ax2  bx  c  0(a  0)的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【要点分析】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式  2ab   ． 3. 公式法解一元二次方程 一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ax2 bx  c  0(a  0)，当   b 2  4ac  0时， 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：    4ac ． ①当    4ac  0 时，原方程有两个不等的实数根, ②当   4ac  0 时，原方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 一 ③当   4ac  0时，原方程没有实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于 x 的一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0)的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定 a、b、c 的值（要注意符号）； ③求出    4ac 的值； ④若   4ac  0，则利用公式 求出原方程的解； 若   4ac  0，则原方程无实根. 【要点分析】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程 ax2 bx  c  0 (a  0)，用配方法将其变形为： ①当    4ac  0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： ② 当    4ac  0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1 = x2 = 一 ③ 当    4ac  0时，右端是负数．因此，方程没有实根. 4 因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【要点分析】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式. 【经典例题】 一、关于一元二次方程的判定 【例 1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ① x 2 x 1； ②9x 2  6x  0 ； ③ ④ ⑤ x 2  xy  3y 2  0； ⑥ 3y 2  2； ⑦ （ a≠0) ⑧ (x 1)(x 1)= x2 【例 2】若是一元二次方程，求的值 二 、一元二次方程的一般形式 、各项系数的确定 【例3】将下列方程化为一元二次方程一般形式 ，并指出二次项系数 、一次项系数和常数项： （1） 3x2 = 5x - 2 ； （2） (x + 1)(x -1) = 2 - x ． 【拓展】已知关于 y 的一元二次方程 m2 (y2 + m)- 3my = y(8y -1)+1 ，求出它各项的系数 ，并指出参数 m 的取值范围． 三 、一元二次方程的解（根） 【例 4】如果关于 x 的一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 x1 ＝2，x2 ＝1，那么 p，q 的值分别是( ) A ．-3 ，2 B ．3 ，-2 C ．2 ，-3 D ．2 ，3 【拓展】已知关于 x 的一元二次方程 (m 1) x2  2x  m2 1  0 有一个根是 0，求 m 的值. 【拓展】（1）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程 a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（　　） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 （3）如果a是一元二次方程2x2=6x-4的根，则代数式a2-3a+2024的值为（　　） A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 四 、用直接开平方法解一元二次方程 【例 5】（1） 4(x + 3)2 = 25(x - 2)2 ； （2） (x - 2)2 -16 = 0 【拓展】 (1- 2x)2 = x2 - 6x + 9 . 五 、用配方法解一元二次方程 【例6】用配方法解方程. (1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【拓展】（1）2x2 -4x -3=0 （2） x2 + px + q = 0 六 、配方法在代数中的应用 【例 7】用配方法证明 -10x2 + 7x - 4 的值小于 0． 【拓展】试用配方法证明：代数式 2x2 - x + 3 的值不小于 ． 【例 8】 已知 a2 - 3a +b2 - + = 0 ，求 a - 4 的值． 【拓展】分解因式： x4 + x2 + 2ax +1- a2 七 、公式法解一元二次方程 【例 9】用公式法解下列方程：（ 1） 2x2 + 2x = 1 （2） 2x2 = 4x -1 【例 10】解关于 x 的方程 (m + n)x2 + (4m - 2n)x + n - 5m = 0 ． 8、 因式分解法解一元二次方程 【例 11】用因式分解法解下列方程：(1) (2) 【拓展】用因式分解法解下列方程： x2 - 3mx + 2m2 = 0 9、 用换元法解一元二次方程 【例 12】利用换元法解下列方程：(1)； (2) 【拓展】关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $