第一章空间向量与立体几何单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何单元测试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 2．在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 5．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 8．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 10．在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 11．在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（   ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．四边形的面积为2 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 13．已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为 . 14．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 四、解答题（5个小题，共77分） 15．（13分）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 16．（17分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 17．（13分）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    18．（17分）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 19．（17分）如图，已知四棱锥中，底面为矩形， 平面.    (1)求证∶ 当时，平面平面 (2)当 时， ①求二面角的大小； ②求与平面成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C C B C ABD ACD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2．B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，， 故选：B. 3．A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 4．B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 5．C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 6．C 【分析】应用空间向量的夹角余弦公式结合空间向量的数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为空间向量，， 则向量与夹角的余弦值为. 故选：C. 7．B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 8．C 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 9．ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 10．ACD 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 11．AC 【分析】由基底定义可判断A；由结合向量数量积运算率计算可判断B；由线面垂直判断定理可得平面，由线面垂直性质及可得，可判断C；由线面垂直性质可得，进而可得四边形是正方形，计算可判断D. 【详解】对于A，由，所以向量，，共面， 所以不是空间的一个基底，故A正确； 对于B， ， 所以，故B错误； 对于C，连接交于点，连接，，，如图所示： 由题意可得四边形为菱形，， 所以，， 由且平面，可得平面， 由于，平面，所以，故C正确． 对于D，因为平面，平面，所以， 又，所以，所以四边形是正方形， 又因为边长为2，故四边形的面积为4，故D错误． 故选：AC． 12．4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 13． 【分析】根据向量的线性运算的意义可以判定的位置，然后利用展开方法求得的最小值. 【详解】取的靠近的四等分点，连接，由题意得为线段上的动点， 将展开到与在同一平面内，如图所示： ,，， 所以的最小值为， 故答案为：. 14． 【分析】根据空间直角坐标系点关于平面的对称点的坐标变换特征求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为， 故答案为： 15．(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 16．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 17．证明见解析 【分析】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明. 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    18．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 19．(1)证明见解析； (2)①；②. 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再结合正方形对角线垂直，可证明线面垂直，即证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求法向量，从而可求二面角的大小和线面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以， 又因为底面为矩形，，所以底面为正方形，即， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面 （2）    ①如图建立空间直角坐标系，由， 可得： 则， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 由， 因为，所以， 由图可知二面角是锐角， 则二面角的大小为； ②设与平面成的角为， 则, 即与平面成角的正弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $