专题十三 差不变模型 -五年级数学思维拓展专项训练（通用版）

第13讲 差不变模型 【课前热身】 1、如图所示，在三角形ABC中，D为BC的中点，AE=3CE，AD和BE相交于F点，已知三角形ABC的面积为42平方厘米，求三角形BDF的面积。 【解答】解：△ABC和△FBD在底边BC上的高之比H：h＝AD：FD＝AG：EG＝（3CECE）：CE＝7；△ABC和△FBD的底边之比为2， 所以△ABC和△FBD的面积之比为2×7＝14S△FBD＝S△ABC ＝42 ＝3（平方厘米） 2、如图，△ABC的面积是45平方厘米，DC是BD的1.5倍，AF是FD的2倍，那么阴影部分的面积是 14 平方厘米。 4x+6x+2x+3x=45 x=3 阴影：2×3+6×3÷（4+5）×4=14（平方厘米） 【学习目标】 1、熟悉差不变原理； 2、会根据差不变原理解题。 【知识梳理】 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到差不变的原理。 【典例精析】 【例1】如图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 6×8÷2-4×8÷2=8(cm²) 【趁热打铁-1】如图，甲的面积比乙的面积多多少平方厘米？ 解：12×6﹣（6+3）×12÷2 ＝72﹣54 ＝18（平方厘米） 答：甲的面积比乙的面积多18平方厘米． 【例2】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度． 三角形面积：4×4-6=10(cm²) CE:10×2÷4-4=1(cm) 【趁热打铁-2】图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段CE的长． 解：S△ABE=10×10+20=120（平方厘米）， BE的长度是：120×2÷10＝24（厘米） CE的长度为：24﹣10＝14（厘米） 【例3】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6cm²，其中BC=6cm，AB=4cm，求ED的长． 6×4+6=30(cm²) 30×2÷6-4=6(cm) 【趁热打铁-3】如图，A三角形的面积比B三角形的面积大3m²，则a= 4 cm. 9×6÷2=27(cm²) (27-3)÷6=4(cm) 【例4】如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是 3 ． 延长BC与FE相交于点H， S△BCM－S△DEM=S△BHE－S长方形HEDC=(10-7)×(4+2)÷2-2×（10-7）=3 【趁热打铁-4】图中两长方形的长相差5厘米，宽的差是8厘米，宽的和是14厘米，那么两阴影三角形的面积只差是 20 平方厘米。 解：由题意可知，HE=5cm， AG=（8+14）÷2=11（厘米） FG=（14-8）÷2=3（厘米） 延长BC与FE相交于点H， S△BCM－S△DEM=S△BHE－S长方形HEDC=5×(11+3)÷2-5×3=20（平方厘米） 【例5】如图，有一个正方形，边长是24厘米，E是AD的中点，甲、乙两个三角形的面积相差多少平方厘米？ 24×24÷2-24×12÷2=144(cm²) 【趁热打铁-5】如图中大正方形边长6厘米，小正方形边长是4厘米，两块阴影（△ACO与△OEF）的面积差是多少平方厘米？ 解：（6+4）×6÷2﹣（6+4）×4÷2 ＝10×6÷2﹣10×4÷2 ＝30﹣20 ＝10（平方厘米） 答：两块阴影（△ACO与△OEF）的面积差是10平方厘米。 【例6】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米．则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是 60 平方厘米． 10×10-8×5=60(cm²) 【趁热打铁-6】已知大小正方形边长为6、4，求两正方形空白处的面积之差是多少？ 6×6-4×4=20 【例7】如图，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的总面积比三角形EGF的面积大10平方厘米，则平行四边形ABCD的面积为__50__平方厘米。 10×8÷2+10=50(cm²) 【趁热打铁-7】如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米．求AH长多少厘米？ 8×10÷2+8=48(cm²) 10-48÷8=4(cm) 【例8】如图，ABCD是长方形，AD=7.2cm，AB=5cm，CDEF是平行四边形。如果BH长3cm，求图中阴影部分的面积。 (3+7.2)×5÷2=25.5(cm²) 【趁热打铁-8】如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点．已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且BC是EC的2.5倍．求梯形ABCD的面积． △ABD的面积：4÷（2.5-1-1）=8（cm²） △ABE的面积：8×（2.5-1）=12（cm²） 平行四边形ABCD的面积：8×2=16（cm²） 梯形ABCD的面积：12+16=28（cm²） 【过关精炼】 1、如图，正方形ABCD的边长为4cm,△BCF的面积比△DEF的面积多2cm²,求DE的长度。 4×4-2=14(cm²) 14×2÷4-4=3(cm) 2、如图，BCEF是平行四边形，△ABC是直角三角形，BC长8cm,AC长7cm,阴影部分的面积比△ADH的面积大12cm²,求HC的长。 8×7÷2+12=40(cm²) 40÷8=5(cm) 3、如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小l80平方厘米，那么AE的长是 21 cm。 (30×20-180)÷2=210（cm²） 210×2÷20=21（cm） 4、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是BA延长线上的一点，CE交AD于F，△AEF比△CDF面积大40，求AE的长． 解：设AE为x， ∵ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝10， ∵△AEF比△CDF面积大40 S△AEF+S△EDF＝S△AED， S△CDF+S△DEF＝S△CDE， ∴S△AED﹣S△CDE＝40，答：AE＝16． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 差不变模型 【课前热身】 1、如图所示，在三角形ABC中，D为BC的中点，AE=3CE，AD和BE相交于F点，已知三角形ABC的面积为42平方厘米，求三角形BDF的面积。 2、如图，△ABC的面积是45平方厘米，DC是BD的1.5倍，AF是FD的2倍，那么阴影部分的面积是 平方厘米。 【学习目标】 1、熟悉差不变原理； 2、会根据差不变原理解题。 【知识梳理】 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到差不变的原理。 【典例精析】 【例1】如图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 【趁热打铁-1】如图，甲的面积比乙的面积多多少平方厘米？ 【例2】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度． 【趁热打铁-2】图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长． 【例3】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6cm²，其中BC=6cm，AB=4cm，求ED的长． 【趁热打铁-3】如图，A三角形的面积比B三角形的面积大3m²，则a=____cm． 【例4】如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是____． 【趁热打铁-4】图中两长方形的长相差5厘米，宽的差是8厘米，宽的和是14厘米，那么两阴影三角形的面积只差是 平方厘米。 【例5】如图，有一个正方形，边长是24厘米，E是AD的中点，甲、乙两个三角形的面积相差多少平方厘米？ 【趁热打铁-5】如图中大正方形边长6厘米，小正方形边长是4厘米，两块阴影（△ACO与△OEF）的面积差是多少平方厘米？ 【例6】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米．则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是 平方厘米． 【趁热打铁-6】已知大小正方形边长为6、4，求两正方形空白处的面积之差是多少？ 【例7】如图，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的总面积比三角形EGF的面积大10平方厘米，则平行四边形ABCD的面积为 平方厘米。 【趁热打铁-7】如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米．求AH长多少厘米？ 【例8】如图，ABCD是长方形，AD=7.2cm，AB=5cm，CDEF是平行四边形。如果BH长3cm，求图中阴影部分的面积。 【趁热打铁-8】如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点．已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且BC是EC的2.5倍．求梯形ABCD的面积． 【过关精炼】 1、如图，正方形ABCD的边长为4cm,△BCF的面积比△DEF的面积多2cm²,求DE的长度。 2、如图，BCEF是平行四边形，△ABC是直角三角形，BC长8cm,AC长7cm,阴影部分的面积比△ADH的面积大12cm²,求HC的长。 3、如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小l80平方厘米，那么AE的长是 cm。 4、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是BA延长线上的一点，CE交AD于F，△AEF比△CDF面积大40，求AE的长． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $