专题八 等高模型 -五年级数学思维拓展专项训练（通用版）

第8讲 等高模型 【课前热身】 1.已知平行四边形ABCD的一条边长8cm,它的两条高分别是6cm 另一条底长多少？ 2.求如图等腰直角三角形中阴影部分的面积.（单位：厘米） 10 3.如图所示.在一个等腰直角三角形中，去掉一个小三角形，使余下 影部分)，这个等腰梯形的面积是平方厘米. 18厘米 0 【学习目标】 第1页共8页 10cm.求平行四边形的 部分为一个等腰梯形（阴 1、熟悉等高模型的几种类型； 2、会根据底高的关系求面积。 【知识梳理】 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 3、两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 【典例精析 【例1】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一 (1)求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (2)求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【趁热打铁-1】如图，E在AD上，AD垂直BC,AD=12厘米， 面积是三角形EBC面积的几倍？ 【例2】如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、 DEF的面积。 【趁热打铁-2】如图：CE=2BE,AC=3CD,SAoe=10平方厘米 第2页共8 条直线上。 D DE=3厘米。求三角形ABC的 B D AC和AD的中点。求：三角形 A B 求△ABC的面积。 A D 【例3】如图，在△ABC中，S△DE=4,CE=2AE,BD-3CD,求△ABC的面积。 【趁热打铁-3】如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积 是多少？ A B E C 【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF,三角形AFE(图中阴影 部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ D E B 第3页共8页 【趁热打铁-4】有一块平行四边形菜地（如图)，DE=EF=FC,BD=3GB,三角形GEF种的是 B 小白菜，面积是8m,求这块平行四边形菜地的面积是多少平方米？ G D E 【例5】E、F、G分别是所在线段上的三等分点，S△G=24平方厘米，求三角形ABC的面 积. F B 【趁热打铁-5】在三角形ABC中，F是AC的中点，EF=2BE,ED=4AD,阴影部分的面积 A 是24，三角形ABC的面积是90· E B C 第4页共8页 【例6】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D,使BD=AB;延长BC至E,使CE=2BC: 延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。 y ( 【趁热打铁-6】如图，三角形ABC的面积为2平方厘米，分别延长AB、BC、CA至M、N、 P,使得2AB=BM,3BC=CN,4CA=AP,则三角形MNP面积是多少？ B 第5页共8页 【例7】在下图三角形ABC中的甲、乙、丙、丁四个小三角形的面积相等.AB长3.6厘米， DB长是 厘米. A 甲 丙 乙 D 【趁热打铁-7】已知图2中△ABC的每边长是96cm,用折线把这个三角形分割成面积相等的 四个三角形，则线段CE和CF的长度之和为 cm A B 第6页共8页 【过关精炼】 1、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，AF=FE=EC,已知三角形ABC的面积是147 平方厘米，三角形CDE的面积是多少平方厘米？ B D 2、如图中BD=3厘米，DE=6厘米，EC=3厘米，F是AE的中点，三角形ABC能的BC边 上的高AD是5厘米.求三角形DEF的面积. B E 3、如图，△ABC中，点D在BC边上，连接AD,点E在AD上，若△ABE,△BDE,△CDE 的面积分别为18,2,1，则△4EC的面积为。 E B ◇ 第7页共8页 4、如图，BD、DE、EC的长分别为2cm、4cm、3cm,F是AE的中点，三角形ABC的BC边 上的高为4cm,则三角形DEF的面积是多少？ R D 5、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2, 则△BCF的面积为 cm2。 E 第8页共8页 第8讲 等高模型 【课前热身】 1．已知平行四边形的一条边长8cm，它的两条高分别是，．求平行四边形的另一条底长多少？ 6×8=48（cm²） 2．求如图等腰直角三角形中阴影部分的面积．（单位：厘米） 解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积是42平方厘米． 3．如图所示．在一个等腰直角三角形中．去掉一个小三角形，使余下部分为一个等腰梯形（阴影部分），这个等腰梯形的面积是　56　平方厘米． 解： （平方厘米）； 答：这个等腰梯形的面积是56平方厘米． 【学习目标】 1、熟悉等高模型的几种类型； 2、会根据底高的关系求面积。 【知识梳理】 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 3、两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 【典例精析】 【例1】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 （1）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （1）（12+4）÷4=4 （2） 12÷4=3 【趁热打铁-1】如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 12÷3=4 【例2】如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。 40÷2÷2÷2=5 【趁热打铁-2】如图：CE=2BE，AC=3CD，平方厘米，求△ABC的面积。 10×3÷2×（2+1）=45（cm²） 【例3】如图，在△ABC中，，CE=2AE,BD=3CD，求△ABC的面积。 连接AD或BE. 4+4÷2=6 6×（3+1）=24 【趁热打铁-3】如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？ 连接AD或CE. 1×2×（3-1）=4 【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 连接BF或CE。 10×3×2=60（cm²） 【趁热打铁-4】有一块平行四边形菜地（如图），DE＝EF＝FC，BD＝3GB，三角形GEF种的是小白菜，面积是8m2，求这块平行四边形菜地的面积是多少平方米？ 解：如图，∵DE＝EF＝FC， ∴S△DEG＝S△GEF＝S△CFG＝8（平方米） S△DCG＝3S△GEF＝3×8＝24（平方米） 又∵BD＝3GB， ∴S△BCG＝S△DCG÷2＝24÷2＝12（平方米） ∴S△BCD＝S△DCG+S△BCG＝24+12＝36（平方米） ∴平行四边形菜地的面积是：36×2＝72（平方米） 答：这块平行四边形菜地的面积是72平方米． 【例5】E、F、G分别是所在线段上的三等分点，S△EFG＝24平方厘米，求三角形ABC的面积． 解：∵E、F、G分别是所在线段上的三等分点，S△EFG＝24平方厘米， ∴S△BFG＝24÷2=12（平方厘米） ∴S△BEG＝S△EFG+S△BFG=24+12=36（平方厘米） ∴S△ABE＝36÷2=18（平方厘米） ∴S△ABG＝S△BEG+S△ABE=36+18=54（平方厘米） ∴S△ACG＝54÷2=27（平方厘米） ∴S△ABC＝S△ABG+S△ACG=54+27=81（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是81平方厘米． 【趁热打铁-5】在三角形ABC中，F是AC的中点，EF＝2BE，ED＝4AD，阴影部分的面积是24，三角形ABC的面积是　90　． 解：∵ED＝4AD，S△DEF＝24 ∴S△ADF＝24÷4=6 ∴S△AEF＝S△DEF+S△ADF=24+6=30 ∵EF＝2BE ∴S△ABE＝30÷2=15 ∴S△ABF＝S△ABE+S△AEF=15+30=45 ∵F是AC的中点 ∴S△ABC＝2S△ABF=45×2=90 【例6】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 连接CD、BF. 2+2+2+1+1+1+1=10 【趁热打铁-6】如图，三角形ABC的面积为2平方厘米，分别延长AB、BC、CA至M、N、P，使得2AB＝BM，3BC＝CN，4CA＝AP，则三角形MNP面积是多少？ 解：连接MC，AN 因2AB＝BM，所以S△BCM＝2S△ABC，S△BCM＝2×2＝4（平方厘米） 因3BC＝CN，所以S△MNC＝3S△BCM，S△MNC＝3×4＝12（平方厘米） S△ACN＝3S△ABC，S△ACN＝3×2＝6（平方厘米） 因4CA＝AP，所以S△ANP＝4S△ACN，S△ANP＝4×6＝24（平方厘米） S△AMP＝4S△AMC，S△AMP＝4×（2+4）＝24（平方厘米） S△MNP＝S△ABC+S△BCM+S△MNC+S△ACN+S△ANP+S△AMP S△MNP＝2+4+12+6+24+24 S△MNP＝72（平方厘米） 答：三角形MNP的面积是72平方厘米． 【例7】在下图三角形ABC中的甲、乙、丙、丁四个小三角形的面积相等．AB长3.6厘米，DB长是　0.9　厘米． 解：设每个小三角形的面积是1份， 则S△ABC＝4×1=4（份） S△BCD＝1×1=1（份） ∵△ABC和△BCD高相等（底边分别是AB与BD） ∴AB是BD的4倍。 ∴DB：3.6÷4=0.9（厘米） 【趁热打铁-7】已知图2中△ABC的每边长是96cm，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE和CF的长度之和为 100 cm。 【过关精炼】 1、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，AF＝FE＝EC，已知三角形ABC的面积是147平方厘米，三角形CDE的面积是多少平方厘米？ 解：∵AF＝FE＝EC， ∴AC=3AF，CF=2AF ∴S△ABF＝147÷3＝49（平方厘米） S△BCF＝49×2＝98（平方厘米） ∵D是BC的中点， ∴BC=2CD， ∴S△CDF＝98÷2=49（平方厘米） 又∵EF=CE， ∴S△CDE＝49÷2=24.5（平方厘米） 答：三角形CDE的面积是24.5平方厘米． 2、如图中BD＝3厘米，DE＝6厘米，EC＝3厘米，F是AE的中点，三角形ABC能的BC边上的高AD是5厘米．求三角形DEF的面积． 解：因为F是AE的中点，所以三角形ADE的面积＝2×三角形DEF的面积， 又因为DE＝6厘米，高AD＝5厘米， 所以三角形ADE的面积是6×5÷2＝15（平方厘米）， 则三角形DEF的面积是：15÷2＝7.5（平方厘米）， 答：三角形DEF的面积是7.5平方厘米． 3、如图，△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AD上，若△ABE，△BDE，△CDE的面积分别为18，2，1，则△AEC的面积为　9　。 解：因为S△ABE÷S△BDE＝18÷2＝9 所以AE也是ED的9倍， 所以S△AEC也是S△CDE的9倍， 所以S△AEC＝1×9=9。 4、如图，BD、DE、EC的长分别为2cm、4cm、3cm，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高为4cm，则三角形DEF的面积是多少？ 解：根据题意，连接AD，如图： S△ADE＝DE×4÷2＝4×4÷2＝8（cm2）； 因为F是AE的中点， 所以S△DEF＝S△ADE÷2=8÷2＝4（cm2）； 答：三角形DEF的面积是4cm2． 5、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为 2 cm2。 解：连接CE，根据题意得 因为点E为AD的中点 所以S△AEB＝S△DEB，S△AEC＝S△DEC 所以S△BEC＝S△DEB+S△DEC＝S△ABC÷2＝4（cm2） 因为F为BE的中点， 所以S△BCF＝S△BEC÷2=4÷2＝2（cm2） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $