2025年-2026学年人教版七年级上册数学基础知识（8页）

第2页 七上数学·基础知识 归纳整理：四川省华蓥中学·叶超 归纳整理：四川省华蓥中学·叶超 七上数学·基础知识 第1页 第1章 有理数 第2章 有理数的运算 1．正数和负数：在数字前分别加上正号“+”（可省略）、负号“－”表示正、负数。如：+5，－3。 引入负数的目的：表示具有相反意义的量（收入与支出、赢利与亏损、高与低、向东与向西等）。 ( 正整数 负整数 0 整数 分数 有理数 正有理数 0 负有理数 自然数 （ 两种分类标准 ） （含0） ( 0既不是正数 ， 也不是负数 ) (即 ： 非负 整 数 ) )2．数的分类： ( 小数 有 限 小 数 无限循环小数 无限不循环 小数 ⇔ 无理数 分数 如 、8.123456 … 、1.22333 … 等 ) ( －3 O 1 x 2 3 －2 －1 )分数≠分数形式的数。如：、3.14、是分数，、不是分数。 3．数轴：是指规定了原点、正方向（常选向右为正）和单位长度的直线。 数的图形表示：数轴上的点与实数（有理数与无理数统称实数）一一对应。 4．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。a、b互为相反数 a+b=0。 (1)一般地：a与－a互为相反数；a—b与b—a互为相反数。特别地：只有0的相反数是其本身。 (2)求一个数的相反数：加上或去掉一个负号。如：6与_－6_互为相反数，－(－7)的相反数是_－7_。 (3)因为a可以是任何数，故－a不一定是负数，+a不一定是正数。 5．绝对值：数a的绝对值是指数轴上表示数a的点与原点 的距离。记作|a|（绝对值一定 非负）。 (1)正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0。如|2|=2，|—2|=2，|0|=0。 ( 去绝对值 的 依据 )或：当a≥0（即：a为非负数）时，|a|=a。 （反之亦然） ( a 0 1 -1 b )当a≤0（即：a为非正数）时，|a|=－a。（反之亦然） 例1：如图，去绝对值：|a|=___，|b|=___，︱a—b︱=_—(a—b)_。 (2)若a为正数，则绝对值等于a的数有两个：a与－a（记为±a）。 若a为零呢？若a为负数呢？ 例2：一个数的绝对值等于5，这个数是__5或—5__（即：若|x|=5，则x=___±5__） 6．数的大小：数学中规定，在数轴上表示的数，从负方向到正方向的顺序，就是从小到大的顺序。 具体地：符号不同的数：负数 < 0 <正数； （a>0 a是正数；a<0a是负数） 符号相同的数：绝对值越大的正数越大，绝对值越大的负数越小。 例3：比较与的大小。（提示：可将分数统一为小数，也可统一分母或分子。答案：） ( 0 1 -1 -2 -3 2 3 -2 . 5 0 1 3 )例4：在数轴上表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来：—2.5，1，0，，3。 解： 7．倒数：乘积为1的两个数互为倒数（即：a、b互为倒数 ab=1）。当a≠0时，a与互为倒数。 ▌求一个数的倒数：分数形式的数：分子、分母交换位置（符号不变）。如：的倒数为 带分数：先写成假分数； 整数与小数：先写成分母为1的分数形式。 注：①变带分数为假分数：（用公式表示为：） ②带分数前有负号时：（是一个整体，添括号），。 例5：若a、b互为相反数，c、d互为倒数，e的绝对值为3，求2(a+b)—cd+e的值。 解：由题意得：a+b=0，cd=1，e=±3 当e=3时，原式=2×0—1+(+3)=2 当e=—3时，原式=2×0—1+(—3)=—4 8．数的四则运算：（加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算） 小学学过的异分母分数加减法（先通分成同分母分数）： (1)加法法则：（分类 与 分步） 两数相加：同号相长（即：取相同的符号 且绝对值增长） 如：3+5=8，—3+(—5)=—8 异号相消（即：取绝对值较大的符号 且抵消）。 如：3+(—5)=—2，3+(—3)=0 一个数与0相加：仍得这个数。 即：a+0=a 注：运算符（+、—、×、÷）与正、负号不能直接相邻，此时须将带符号的数加上括号。 ▌加法运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 (2)减法法则：（转化为加法）减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a－b=a+(－b) 如：(—5)—(—7)=—5+(+7)，—2—3=—2+(—3)（可省略加号和括号，将其看成—2与—3之和） ①除5—2与—3+9=9—3这两种情况 可用 减法运算外，其余都转化成（或直接看成）加法。 ②数的加减运算，除了运用法则计算外，还可以利用数轴进行。 如：—3+2，就是将数轴上表示数—3的点向正方向移动2（请画图），答案为—1； —3—2，就是将数轴上表示数—3的点向负方向移动2（请画图），答案为—5。 故：一个数加上一个正数后，值变大；加上一个负数后，值变小。减法刚好相反。 (3)乘法法则：（分类 与 分步） 两数的积与商符号相同。即：乘除同号 ①两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相 乘；如：5×(—7)=—35，—5×(—7)=35 任何数与0相乘，都得0。 如：—3027×0=0 ②多数相乘：偶负得正，奇负得负，并把绝对值相乘。 如：5×(—2)×(—3)×(—7)=—210 ▌乘法运算律：乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。 (4)除法法则： ①（转化为乘法）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即： ②两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相 除。 如：9÷(—3)=—3，—9÷(—3)=3 0除以任何不为0的数都得0（即：当a≠0时，）；零不能做除数（即无意义）。 (5)加法与乘法才满足运算律（(1)只有加法或只有乘法时，运算顺序可任意交换；(2)乘法分配律），减法与除法须转化为加法与乘法后才能使用运算律。 示例：（可先统一为乘法）， 例6：计算：(1) (2)（倒数法） 解：(1) 注：，但（可逆向计算证明）（即：分母为一项时可拆项） (6)对带分数：乘除及乘方运算时需化为假分数，加减运算时建议写成整数与分数之和。 例7：计算： 解： (7)（特殊思维）一个结论：几个非负数之和为0，则它们分别为0。 例8：若|x—3|+(y+2)2=0，则x+y=________。 （任何数的绝对值与偶次幂均非负） ( a n 记作 a · a · … · a n 个 )9．数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方(如：平方(2次方)、立方(3次方)…)，乘方的结果叫幂。 ，读作a的n次方或a的n次幂，其中a叫底数，n叫指数，an叫幂。 ①一个数可以看作这个数本身的1次方。如51就是5。指数1通常省略不写。 例9：计算：(—2)4=__16__，—24=__—16__，________，________。 注：①指数是个数，23≠2×3。 ②当底数为负数时，须将负底数 加上括号。 ③“(—2)4”读作“负2的 4次方”，“—24”读作“负的 2的4次方”。 ②正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何次幂现在都为0。 ③1的任何次幂都为1；－1的奇数次幂为－1，偶数次幂为1。 即：设n为整数，则2n为偶数，2n－1为奇数，1n=1，(－1)2n=1，(－1)2n—1=－1。 例10：平方等于9的数是__±3__（即：若x2=9，则x=±3），立方等于—8的数是__—2__。 10．数的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；如有括号，先算括号里面的。 例11：计算： 解： 11．科学记数法：就是将一个数写成a×10n（1≤|a|<10，n为整数（暂掌握正整数的情况））的形式。 具体地：一个数的小数点向左移动几位使其绝对值在1~10之间，再乘以10的几次方，值不变。 例12：用科学记数法表示下列各数：3200= 3.2×103 ，—562000= —5.62×105 。 12．近似数的精确度（即：近似数与准确数的接近程度）： (1)利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说其精确到哪一位。 例13：按要求取近似数：①0.16（精确到0.1）；②3.49（精确到个位）；③2.95（精确到十分位）。 解：①0.16≈0.2；②3.49≈3（精确到哪一位，只看其下一位是舍还是入） ③2.95≈3.0 （精确到哪一位，就要 写到哪一位，即便是0也不能省） (2)当四舍五入到十位或十位以上时： （精确到哪一位，就只能写到哪一位，即便是0也不能多） 先四舍五入到精确到的那一位，再乘以10n，或者，加上十、百、千、万等。 例14：将近似数5645精确到百位得：_56×102_（或5.6×103（科学记数法），56百，5.6千等） 例15：用科学记数法表示的近似数5.20×105精确到________位。 析1：先将其写成普通的形式：5.20×105=520 000，故5.20中的0在千位。（答案：千） 析2（了解）：1×104、1×108中的1分别在万位、亿位，故5.20×105中的5在十万位。 例16：填空：256≈___0千__（精确到千位），0.03≈___0.0__（精确到0.1）。 第3章 代数式 第4章 整式的加减 1．整式的识别：单项式与多项式统称为整式。 ( 单项式与多项式的次数 ： 单次 和，多次 大 )(1)单项式：是指数或字母之积（单独的一个数或字母也是单项式，如：0）。其中，数字因数叫该单项式的系数（没有数字因数时，系数为1），所有字母的指数之和叫做该单项式的次数。 例1：指出下列各单项式的系数和次数：12n、Gh、－bt5、—32x2y。 12n Gh －bt5 —32x2y 系数 12 1 —1 －32（=—9） 次数 1 2 6 3（注：是数） 析： 例2：若(m+1)a2b|m|是关于a、b的3次单项式，则m=___1__。 （注意：舍去m=—1） (2)多项式：是指几个单项式的和。其中，每个单项式叫做该多项式的项（不含字母的项叫常数项），次数最高项的次数叫做该多项式的次数（常数项的次数为0）。 如：x2+2x－8是3项x2、2x、－8（常数项）之和，R2－r2是2项R2、－r2之和。 注：项（即：单项式）是带符号的；是数；0是单项式，但不要将x+0中的0看作一项。 例3：代数式x+y、0、、0.6、、、中，有_4_个单项式，_2_个多项式。 析：（逆用同分母加减法，叫拆项）。的分母含有字母，不是 整式。 注：一个多项式的各项通常按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列，如：－4x2+5x+5是按x的降幂排列，5+5x－4x2是按x的升幂排列。 (3)列式时：①数与字母、字母与字母相乘时要省略乘号，并将数字写在前面。 数与括号相乘时：如果数在括号前，乘号可省略；如果数在括号后，乘号不能省略。 如：当a=1，b=2，c=3时，2(a+b)c=2(1+2)×3=12。 ②除法运算写成分数的形式；带分数要写成假分数。 2．整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 (1)同类项：是指只有系数部分不同（或：字母部分完全相同）的项。常数项与常数项是同类项。 合并同类项：合并所得项，系数等于合并前各同类项的系数相加，字母连同它的指数保持不变。 如：2a2b+3a2b=(2+3)a2b=5a2b，—5x2y+3yx2=(—5+3)x2y=—2x2y。 (2)去括号：实质上是乘法分配律（要连同符号 一起分给 括号内的每一项（注：分进去相乘））。 如：+(u2—3)=u2—3，—(u2—3)=—u2+3，2(u2—3)=2u2—6，—2(u2—3)=—2u2+6 例4：先化简，再求值：4(xy2—2x2y)—2(2xy2—x2y)，其中，x=—1，y=2。 解：原式=4xy2—8x2y—4xy2+2x2y 注：去括号实为乘法分配律 =—6x2y 注：合并同类项实为逆用乘法分配律 当x=—1，y=2时，原式=—6×(—1)2×2=—12 例5：设A、B分别是5次、3次多项式，则A+B的最高次是___5___，__不一定__（填“一定”或“不一定”）是多项式。 析：如：A=x5+x3+1，B=—x3—1，A+B=(x5+x3+1)+(—x3—1)=x5，它是一个单项式。 注意：加括号与去括号是互逆的。加括号时，当所加括号前只有“+”号时才能直接加括号，否则，一定要将所加括号用乘法分配律去掉，看是否等于原式！一定不能随意加括号！ ( 将所加括号去掉得 — 2 x — 3 x ，不等于原式 )例6：化简：—2x+3x。 错解：—2x+3x=—(2x+3x)=—5x 第5章 一元一次方程 1．方程：是指含有未知数的等式。用算式求解复杂问题时对理解能力的要求较高，此时常用方程。 解方程是指求出 使方程等号的左右两边相等 的未知数的值（叫方程的 解或根）的过程。 例1：下列选项中，属于方程的是（ A ） A．|x|=—1 B．2+1=3 C．x≠1 D．6>5 例2：已知x=2是方程ax=2x+2的根，则a=___3___。 (1)一元一次方程：是指只含一个未知数且未知数的次数为1的方程。如：x=0。 例3：下列选项中，属于一元一次方程的是（ C ） A． B．2x+1 C． D．2x+y=7 (2)等式的性质：①等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立。 即：若a=b，则a±c=b±c。…即：等量加（减）等量，仍是等量。 ②等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。 即：若a=b，则ac=bc； 若a=b，c≠0，则。 ③等式具有传递性。 …即：等量代换。 例4：利用等式的性质解方程： 解：两边同时乘以x得：1=3x，后略。 2．解一元一次方程的一般步骤：（主要依据是等式的性质） 例5：解一元一次方程： 解：（熟悉后省略）去分母： 即： ( 等价变形 )去分母： 5(x－1)—3(2x+3)=—15 每一项 都要乘各分母的最小公倍数 推理………… 去括号： 5x－5—6x—9=—15 将括号前带符号的数 分给括号内每一项 计算（等值变形） 移项： 5x－6x=5+9－15 移项要变号 推理 合并同类项：－x=－1 计算（等值变形） 系数化为1得：x=1 两边同除以未知数系数或同乘以未知数系数的倒数 推理………… 例6：解方程： 析：的分子分母同时乘以10，分子分母同时乘以2（或同时乘以10）。 3．列方程（组）解应用题的 一般步骤： ①粗读第一遍，了解题目的大致含义并设未知数（常设小量为未知数x）； 若甲、乙两数之比为3：5，则可设甲数为3x，乙数为5x。 ②精读第二遍，寻找等量关系（常有现成的句子）并将其翻译成方程（有几个未知数就需列几个方程）。 用含有未知数的代数式表示题中的量，常常会用到： 原价为x元/件，九折销售时售价为90%x（=0.9x）元/件，七五折时售价为75%x元/件； 原产量为x，提高20%后产量为(1+20%)x；若甲为x，乙比甲少20%，则乙为(1—20%)x； 某商品原价为x，先提价20%，再降价20%，现价为________________； 注：提价、降价、增产、减产百分之几，是相对于提价、降价、增产、减产之前而言的； 获利、亏损百分之几，是相对于成本（如：进价）而言的。 船在静水中的速度为v，水流速度为a，则顺水、逆水航行时船对地的速度分别为v+a、v-a； 一项工作，1个人完成需要x天，则1个人1天完成全部工作的（倍）； 数x的为；a与b之差为a—b（注意先后顺序）；a与b之商为； 若一个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数为：10x+y。 ③解方程（组）并答。 例7：一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利48元，这种自行车每辆的进价是多少元？ （说明：售价—进价（成本价）=盈利） 解：设这种自行车每辆的进价是x元，则：80%(1+45%)x—x=48，后略。 例8：一筐梨，若装8箱则剩8kg，若装9箱则有一个箱子还能装4kg，求这筐梨的重量。 析1：（间接设未知数）设每箱装梨x千克，则等量关系为：两次所装梨的总重量相等。 即：8x+8=9x—4。解得x=12。∴这筐梨的重量为8×12+8=… 析2：（直接设未知数）设这筐梨y千克，则等量关系为：两次各箱所装梨的重量相等。 即：。解得y=104 ∴这筐梨的重量为104千克。 例9：一架飞机飞行于两城之间，风速每小时20千米，顺风飞要2小时50分钟，逆风飞要3小时。求无风时要飞多长时间？ 析：设无风时飞机的速度为v千米/小时，则：。解得v=700 两城间的距离为3(v—20)=3(700—20)=2040（千米），后略。 第6章 几何图形初步 几何，是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科。 1．几何图形： (1)立体图形（或几何体，简称体）：是指各部分不都在同一平面的图形。如长方体（正方体）、球等。 平面图形：是指各部分都在同一平面的图形。如三角形、平面四边形（梯形、正方形等）、圆等。 (2)常见几何体：初中主要研究 直 柱体和 正 锥体，今后若无特殊说明，均是此类几何体。 柱体：是指由两个平行且全等的平面图形，边界上的对应点相连而得到的几何体。 棱柱：平行且全等的两个面是多边形的柱体。如：长方体是直四棱柱。 圆柱：平行且全等的两个面是圆的柱体。 ▋两底面对应点的连线与底面垂直的柱体称为直柱体，否则称为斜柱体。 锥体：是指由平面基底边界上各点，与基底所在平面外一点相连而得到的几何体。 棱锥：平面基底是多边形的锥体。 圆锥：平面基底是圆的锥体。 ( 顶点 棱 面 母线 母线 ) 棱柱 （直）圆柱 棱锥 （正）圆锥 棱台 圆台 台体（了解）：用一个平行于锥体底面的平面去截该锥体，底面与截面之间的部分即为台体。 球（体）：是指到定点（即：球心）的距离等于定长（即：半径）的点所围成的几何体。 例1：上图中的棱柱是一个五棱柱，它有________个顶点，________条棱（其中有________条侧棱），________个面（其中侧面全是________形）。 (3)立体图形的展开图：是指将立体图的表面适当剪开而展开所得的平面图形。 （直）圆柱的侧面展开图是长方形，（正）圆锥的侧面展开图是圆弧。 例2：如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，现将纸盒剪开展成平面，其展开图不可能是（ ） A． B． C． D． 析：原问题 看能否将展开图折成所需几何体。 具体来说：可以用空间想象能力来折（速度快但不一定准确），也可以将草稿纸剪成（或大致撕成）展开图来折（速度慢但准确）。（答案：B） (4)点（是构成图形最基本的元素）、线、面、体：包围着体的是面（平面或曲面），面面相交是线（直线或曲线（分平面曲线和空间曲线）），线线相交是点；反之，点动成线，线动成面，面动成体。 例3：将下列事例填入适当的横线上：①笔尖在纸上运动；②节日放焰火；③汽车雨刷在挡风玻璃上运动；④流星划过天空；⑤长方形硬纸片绕其一边旋转一周形成一个圆柱体。 点动成线：__________；线动成面：__________；面动成体：__________。 2．直线、射线、线段： (1)直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即：两点确定一条直线。 点与直线的关系：点在直线 上/外。 平面上的两条直线：相交（有且只有一个交点）、平行。 (2)射线和线段都是直线的一部分，射线有1个端点，线段有2个端点。射线与直线都是无限长。 (3)符号表示：点：用一个大写字母表示。如：点A。 线：用一个小写字母（如：a、l）或其上两个点的大写字母（如：直线AB）表示。 注：直线AB与直线BA是同一直线，线段AB与线段BA是同一线段（均以A、B为端点），但射线AB与射线BA不是同一射线（前者以A为端点，向B…） ( a b )(4)尺规作图：是指 只用无刻度的直尺和圆规作图。 例4：如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a—b。 解：①（用直尺）作射线AP； ( A P B C D )②（用圆规）在射线AP上截取AB，使AB=a； ③在线段AB的延长线上截取BC，使BC=a； ④在线段AC上截取CD，使CD=b。线段AD即为所求。 ( E F M N )注：延长线段EF是指作射线FN（如图），反向延长EF是指作射线EM。或者说，EF的延长线与反向延长线分别为射线FN和射线EM。 (5)线段的中点、三等分点、四等分点：概念略。 (6)两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。两点间线段的长度叫这两点间的距离。 例5：如图，C、D为线段AB上两点，AC：BC=3：4，D为BC的中点，AD=5，求AB。 解：设AC=3x，则BC=4x，AD=AC+CD=3x+2x=5，解得x=1，故AB=7x=7。 3．角：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。其公共端点叫顶点，两条射线叫边。 ( C D A B 3 x 2 x 2 x )定义2：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角。 ( A D C B )(1)角的表示：用三个大写字母或一个大写字母表示（如∠BAC、∠A等） 用小写的希腊字母或阿拉伯数字表示（如α、β、γ、∠α、∠1等） 注：当顶点只引出一个角时，该角才能用一个大写字母表示，否则大角只能用三个字母表示（小角可用∠α、∠β、∠1、∠2等表示）。 (2)单位：规定1周角=360°（1平角=180°，1直角=90°），其1/360为1°，1°=60′，1′=60″。（倍率为60） 例6：(1)将26.351°（度的小数形式）化成度、分、秒形式；(2)将32°11′42″化成度的小数形式。 解：(1)26.351°=26°+0.351°=26°+0.351×60′=26°+21.06′=26°+21′+0.06×60″=26°21′3.6″ (2)32°11′42″=32°11′+42″=32°11′+(42÷60)′=32°11′+0.7′=32°+(11.7÷60)°=32.145° ( 3 6 9 12 15 45 30 60 )例7：当钟表显示时间为9：30时，其时针与分针所组成的角为_105_°。 析：解钟表的指针夹角问题时，一定要先像右图一样画一个圆，并将4个特殊位置的指针示数标出来，然后标出题中的指针位置。 注：(1)若无特殊说明，初中所说的角一般是小于平角的角。 (2)涉及指针转速时，需从右图得到：秒针15s转90°，分针15min转90°，时针3h转90°（即：每分钟分别转360°、6°、0.5°）。 (3)角（的）平分线：是指从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。角的三等分线？ (4)余角和补角：之和等于90°的两个锐角互为余角（简称两个角互余）；（直角三角形的两锐角互余） 之和等于180°的两个角互为补角（简称两个角互补）。（组成平角的两个角叫邻补角） ▌同角（或等角）的 补角/余角 相等（推理的根据：等量代换）。 ( A D C B O 甲 ) ( 40 ° A D C B O 乙 )例8：如图，∠BOC=40°，OA⊥OB，OD平分∠AOC，求∠BOD。 解：∵OA⊥OB ∴∠AOB=90° ∴∠AOC=∠AOB+∠COB=90°+40°=130° 又∵OD平分∠AOC ∴（一步计算通常有3个等号：运算关系、代值、结果） ∴∠BOD=∠COD—∠BOC=65°—40°=25° 注：解几何题的基本要求：尽量将题上信息标在图上，以便寻找并利用题上各要素之间的联系。如果标条件“OD平分∠AOC”后使得图形较乱，可以不标而将题上文字“OD平分∠AOC”圈上。 例9：一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，求这个角。 解：设该角为α，则(180°—α)=3(90°—α)—10°，解得α=40°，答：… ( 北 南 西 东 O A 30 ° )注：①锐角α的补角180°—α比它的余角90°—α大90°。 ②一般未知数常设为x、y等，角度常设为α、β、γ、θ等。 (5)方位角：是指 表示方向的角。如：点A 在点O的 北偏东30°方向上。 ▌涉及方位角时，一定要明确是“在哪个物体的…方向”，然后以该物体为中心按“上北下南，左西右东”的原则标出方位。 ( 北 南 西 东 N 60 ° M 东 西 南 北 )例10：点M在点N的西偏北60°方向上，则点N在点M的____方向上。 析：题上已知“点M在点N的…方向上”，故以N为中心画出方位图（如图）；题上问“点N在点M的…方向上”，故再以M为中心画出方位图。（答案：东偏南60°，或，南偏东30°） 对本题这种题型，可：东、西互换，南、北互换，度数不变。 培优 1．数轴上两点间的距离公式：数轴上表示数a与数b的两个点之间的距离为|a－b|（或：|b－a|）。 如：数轴上表示数—3与3的两个点之间的距离为|—3—3|或|3—(—3)|。|x+3|表示什么？ 中点坐标公式：若数轴上点A、B、M表示的数分别为x1、x2、x，则：M是AB的中点 2．方程的变形方法适用于所有等式。如：a—b=0 a=b（移项） 不等式也可移项。如：a—b>0 a>b（即：两数之差为正，等价于 被减数 大于 减数）。 例1：设2x—y=1，用含x的代数式表示y为：___y=2x—1___。 3．等差数列（相邻两项中，后项减 前项为常数d）的第n项一定是dn加减一常数； 等比数列（相邻两项中，后项除以前项为常数q）的第n项一定是qn乘除一常数。 4．方法略谈： 例2：（整体法）解方程：① (x—1)2=4 ② 2|x+1|=6 析：①视x—1为一整体，x—1=±2，x=±2+1，x=3或x=—1 例3：n条直线最多有__________个交点。 析：法1：（归纳）1条直线最多有0个交点， 2条直线最多有0+1个交点， 3条直线最多有0+1+2个交点，…… n条直线最多有0+1+2+…+(n—1)个交点。（可倒序相加 求和） 法2：（分类）将直线依次记为a、b、c…… 在 a 上 的交点：最多有(n—1)个 不在a上的交点：在 b 上 的交点：最多有(n—2)个 不在b上的交点：在 c 上 的交点：最多有(n—3)个 不在c上的交点：…… 综上，n条直线最多有1+2+…+(n—1)个交点。（法1与法2本质上相同） 法3：（对应）一条直线上最多有n－1个交点，n条直线上就有n(n－1)个交点，这样计数时每个交点数且只数了2次，故n条直线最多有n(n－1)/2个交点。 注：由“殊途同归”可知：1+2+3+…+(n－1)=n(n－1)/2。 思考：直线上的n个点确定___________条线段，___2n___条射线。 例4：一个数的平方等于它本身，这个数是（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．±1 析1：由于这是一个选择题，故可检验各选项中的数是否符合要求。答案：C。 析2：（方程）设该数为x，则x2=x x2—x=0 x(x—1)=0 x=0或x—1=0 用方程还可求出：倒数等于本身的数是±1，等等。 例5：（分类讨论）解方程：x3=x 解：当x =0时：x=0是原方程的解 当x≠0时：两边同时除以x得x2=1，即：x=±1 综上：x=0或x=±1 由分类讨论还可求出：相反数等于本身的数是0，绝对值等于本身的数有无穷个。 ( 第 1阶段：追及 第2阶段：相遇 )例6：（分与合、殊途同归）某队伍以7km/h的速度前进，在队尾的通讯员以11km/h的速度赶到队头送信，送到后立即返回队尾（不计调头所用时间）。整个过程中，通讯员的总路程比队伍的总路程多0.88 km。求队伍的长度。 析：设队伍长x km，则： 5．分数一定能（但不一定会）写成分数形式：有限小数：（约分略） 循环小数：设x=，则10x=，两式相减得9x=46 6．如果将整数看作分母为1的分数，则：有理数 能写成（p、q互质）形式的数。 学科网（北京）股份有限公司 $