周测评(18)复数-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高一数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十八） 题 数学·复数 （考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 12分.在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的)】 符合题目要求.全部选对的得6分，部 题号 1 2 3 4 分选对的得部分分，有选错的得0分)】 答案 题号 5 1.已知复数之=1+√3i(i为虚数单位)，则 答案 乏的虚部为 ( 5.设之=1一i,则 A.-5 B.-√3i A.z2=2 B.之+zi=2 C.-1 D.-i 2 C.=i D.之一之=之-2 2已知复数2三2为实数，则实数m的 6.已知复数之1，之2满足之1=cos十i·sina, 值为 z2=cosB+i·sinB,且|z1-之2|=√2， A.-1 B.-4 则 () C.1 D.4 A.之1之2|=1 3.若之(1+2i)=a-2i(a∈R),则在复平面 B.|z1+之2=3 内复数之对应的点不可能在 C.若a=0,则cos3=0 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D.a-B=kx十受(k∈z刀 4.棣莫弗公式(cosx+i·sinx)m 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 cos(nx)十i·sin(nx)(其中i为虚数单 12分) 位)是由法国数学家棣莫弗(1667 7.已知复数之=4-3 3+4i (i是虚数单位)，则 1754)发现的，根据棣莫弗公式，复数 之的虚部为 (cos+i·sin)' 在复平面内所对应 8.设复数之= +(》,其 的点位于 1-2i A.第一象限 B.第二象限 中ⅰ为虚数单位，则之在复平面内对应的 C.第三象限 D.第四象限 点是 ,|x|= 高一学科素养周测评（十八） 数学第1页（共2页） 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 10.(30分)设复数之满足|2之+15|=√3|之 写出文字说明、证明过程或演算步骤) +10. 9.(22分)若复数之=(m2+m-6)+(m2 (1)计算|之|的值. m一2)i,当实数m为何值时， (2)是否存在实数a,使之+a∈R?若 (1)之是实数； a (2)之在复平面内对应的点位于第二 存在，求出a的值；若不存在，请说 象限。 明理由. 1 高一学科素养周测评（十八）数学第2页（共2页）·数学· 参考答案及解析 三、填空题 1 7.2【解析】因为2+62-c1 (2)因为S△Aac=2 bcsin A=95,所以bc=36, 4 =2 absin C,所以 由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A,即a2=b2 2 abcos C-1。 +c2-bc=(b+c)2-3bc, 4 2 absin C,即tanC=l,由0<C<r, 则a2=(18-a)2-108,解得a=6. 得C=不，所以2 =2R,所以该三角形外接圆 10.解：(1)因为a(sinB+cosB)=c, 4 π sin 4 由正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC, 在△ABC中，sinC=sin(A+B), 的直径为2. 则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B), 8.6【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+ 分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标 cos Asin B, 系，则A(0,0),B(3,0),C(2,√3)，D(0,√3)，设 所以sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0，π)，所 P(x,0),其中0≤x≤3，则C币=(x-2,-√3)， 以sinB>0, DP=(x,-√3)，所以CP.DP=x(x-2)十3 所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0， =x2一2x+3=(x-1)2+2,所以当x=3时， C户.DP有最大值6. ,所以A=至 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 则有5=b2十2-26，解得b=3或b=-1(舍 去)， 因为D为BC的中点，则AD-2(A+AC), 四、解答题 所以A市=是(A+AC+2A店.A心)= 9.解：(1)由正弦定理得√3 sin Asin C=sinC(cosA +1), }×(2+9+8x2x3×9)-, 又sinC>0,故√3sinA-cosA=1, 所以sm(A-)= 所以AD=7 因为在△ABC中，0<A<x, 所以-吾<A-否<则A-晋-吾，放A 2024一2025学年度学科素养周测评（十八）数学·复数 一、选择题 3.A【解析】若z(1十2i)=a-2i(a∈R),则之= 1.A【解析】因为复数之=1十3i,所以之=1一√3i, a-2i(a-2i)(1-21_a-4+-20-21.若复 即之的虚部为一√3. 1+2i(1+2i)(1-2i)5 5 2.A【解析】由题意得之=mi_2m(2-D 平面内复数之对应的点在第一象限，则 2+i(2+i)(2-i) 4-(2m+2)i-m_4-m_(2m+2i为实数，所 2>0 5 5 5 不等式无解；若复平面内复数之对 以-2m+2=0,解得m=-1. -2a-2>0, 5 5 ·25· 1 衡水真题密卷 学科素养周测评 (a-4<0, 三、填空题 应的点在第二象限，则 解得a<一1； 4 4-3i55(3-4i) 2a-2 7.- 5 >0, 【解析】之=3+4=3十i3+4(3一4 5(3-4i)34」 若复平面内复数之对应的点在第三象限，则 25 5i,所以复数之的虚部为 一6 a-4 <0 4 5 51 解得一1<a<4;若复平面内复数 -2a-2<0, 5 8》痘【将1周为片市 a-4 >0, 一2ii 2+i_2+D1+20=3i-i, 之对应的，点在第四象限，则 解得a 1-√2i(1-√2i)(1+√2i)3 -2a-2 <0, 所以之= ()+( 2+i12023 =(-i)4x506 >4.综上，在复平面内复数之对应的点不可能在 -√2i 第一象限 十ix505+3=1一i,乏=1十i,则之在复平面内对应 4B【解标】(eos晋+i·sin)广- 的点是(1,1)，之|=√2 ）=cos 3 四、解答题 sin 2π=一1+3 3=-2 +之，所以其在复平面内所对应的 9.解：(1)因为z=(m2十m-6)+(m2-m一2)i,之 是实数， 点为（一号》位子第二泉限 则m2-m-2=0,解得m=-1或m=2. m2+m-6<0, (2)由题意可得，{ 二、选择题 解得一3<m< m2-m-2>0, 5.AC【解析】对于A,由之=1-i可得之=1十i, 一1，即m的取值范围为（一3，一1）. 所以之=(1十i)(1-i)=1-2=2,故A正确；对 10.解：(1)设之=c十bi(c,b∈R且b≠0)，则乏=c 于B,之+zi=1-i+(1+i)i=1-i+i+=0,故 -bi, B错误；对于C,|z|2=2,z2=(1+i)2=1十2i+2 因为2x+15|=3|z+10|, =2i,所以 =i,故C正确；对于D,之-乏=1 2 所以|(2c+15)+2bi=√3|(c+10)-bi, i-(1+i)=-2i,而-2=1+i-2=-1+i= 所以√(2c+15)2+(2b)2=√5√(c+10)2+b, 一1一i,故D错误. 所以c2+b2=75,所以√c2+b2=5√3， 6.ACD【解析】由题意，之1-之2=(cosa一cosB) 即|z=5√5. +i(sin a-sin B),cos a -cos B)2+ (2)存在a=土5√5，满足题意， (sin a-sin B)2=2,E 2-2(cos acos B+sin asin B) 设z=c十bi(c,b∈R且b≠0)，假设存在实数a =2,得c0s(a-)=0,放a-月=x+受(h∈0， 使之+a∈R, 故D正确；之1之2=(cosa十i·sina)(cosB十i· sin B)=cos acos B-sin asin B+i(cos asin B+ 则有+a=+6i+a a z =。+6-(后+)+i… sin acos B)=cos(a+B)+i·sin(a+B),所以 |z1z2|=√cos(a十B)十sin(a十B)=1,故A正 确；由于z1十z2=(cosa十cosB)十i(sina十sin),故 所以ab a c2+6=0,因为6≠0，所以a2=c2+ |z1+z2|=√(cosa十cosB)2+(sina十sinB)= b2=75, √2+2(cos a cos B+-sin asinβ)=√2+2cos(a-B) 故a=士5√3， =√2，故B错误；若a=0,则cos(-B)=0,即 cosB=0,故C正确. 所以存在实数a=士53，满足之+a∈R. a 1 ·26·