周测评(15)平面向量的概念及运算-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高一数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十五） 数学·平面向量的概念及运算 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 12分.在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的) 符合题目要求.全部选对的得6分，部 题号 1 2 3 分选对的得部分分，有选错的得0分) 答案 1.给出下列四个说法：①若a=0,则a= 题号 6 0;②若|al=b|,则a∥b;③若a∥b,则 答案 |a=|b|;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中 5.下列各组向量中，一定能推出ab的是 正确的说法是 ( ( ) A.① B.② A.a=3e,b=-2e C.③ D.④ 3e,bs、2 1 B.a= 2.已知单位向量a,b满足(a十b)·(a一 36)= 5,则cos(a,b)= ( C.a-e-e:,b-e+ez 2 一e B.、3 D.a=ei-ex,b-e:+ez+ei+ez 2 0. 4 6.已知单位向量a,b的夹角为0，则下列结 论正确的有 () 3.已知向量a,b满足a|=2b|=2,且2a A.(a+b)⊥(a-b) -b|=√15，则|b-a= ( ) B.a在b方向上的投影向量为(a·b)b A.1 B.2 C.若|a+b|=1,则0=120 C.2 D.5 D.若(a十b)·a=(a-b)·a,则ab 4.设a。是与向量a同向的单位向量，b。是 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 与向量a反向的单位向量，则下列式子 12分) 中错误的是 ( 7.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量， A.ao//bo a=2e1+λe2,b=e1+(λ+1)e2,若ab, B.a=alao 则入= C.ao+bo=0 8.已知向量a与b的夹角为60°，a|=3, D.bo--Jal 1b|=1,则|a+b|= 高一学科素养周测评（十五）数学第1页（共2页） 1 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 10.(30分)已知非零向量a,b满足|a|= 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1,且a-b)(a+b)= 9.(22分)已知a,b不共线. (1)AB=2a+b,BC=a-3b,CD= (1)求b1; -a+8 b,求证：A,C,D三点共线. (2当a·b=寻时，求向鼓a与a十 2b的夹角0的值. (2)若向量b-1a与2a-b共线，求实 数t的值. 1 高一学科素养周测评（十五）数学第2页（共2页）·数学· 为t=等：e1w], 所以当t=1时，S取最大值，最大值为16， 2024一2025学年度学科素养周测评( 一、选择题 1.A【解析】对于①，模长为零的向量为零向量， 故①正确；对于②，a,b的模长相同，但方向不确 定，a,b未必平行，故②错误；对于③，若a∥仍，则 a,b同向或反向，但模长未必相同，故③错误；对 于④，当b=0时，a∥b,b∥c,但此时a,c不一定 平行，故④错误. 2.B【解析】因为(a十b)·(a-3b)=a2-3b2- 4 2a·b=1-3-2cos(a,b)=-5,所以cosa,b) 3.B【解析】因为(2a-b)2=4a2+b2-4a·b= 4×2+12-4a·b=15,所以a·b=2,故1b-a =√(b-a)2=√a2+b2-2a·b =2+12-2x2=2. 4.C【解析】因为a。是与向量a同向的单位向量， b。是与向量a反向的单位向量，所以a。与b。以 及a都共线，得到a。b。,故A正确；因为a是 a的模长，且a。是与向量a同向的单位向量，所 以有a=aa。,故B正确；因为a。和b。是方向 相反的单位向量，所以a0十b。=0,故C错误；因 为a是a的模长，且b。是与向量a反向的单位 向量，所以有a=-ab,整理得到b。=一日， a 故D正确】 二、选择题 5.ABC【解析】b=-子a,即ah,故A正确：b -2a,即a/h,故B正确；a-e1-e2,b=e1十e -e1=-201+2c,则b=-) 1 .1 2a,故C正确；a =e1-e,b=e+e2+e1+e=3 2 (e1+e2),只 有当e1=0或e2=0或e1=e2或e1=-e2时a∥ b,否则b≠λa,所以向量a,b不平行，故D错误. 参考答案及解析 当t=4时，S取最小值，最小值为14. 3 即S∈14,16]. 十五)数学·平面向量的概念及运算 6.ABC【解析】因为a,b都是单位向量，所以a =b|=1,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,即 (a十b)⊥(a-b),故A正确；a在b方向上的投 影向量为1acas0合=a·日治·合- b (a·b)b,故B正确；若|a十b|=1,则a2十2a· b十b=1,即a·6=-分即cos9=-,周为 0°≤0≤180°，所以0=120°，故C正确；若(a十b)·a =(a-b)·a,即a2十a·b=a2-a·b,则a·b =0,即a⊥b,故D错误. 三、填空题 7-2【解折】由a仍得，千=2：解得入=-2 3 8.√13【解析】因为a·b=3X1×cos60°=2，所 以|a+b|=√(a+b)2=√a2+b2+2a·b =√/13. 四、解答题 9.(1)证明：C市=-a+号b,A元=A店+BC=3a 3 2b=-3(-a+号b),则有A心--3C币，可得 AC∥CD且C为公共点，所以A,C,D三点 共线. 13」 (2)解：向量b-ta与2a-2b共线，则存在唯一 /13, 实数入，使得b-a=(2a-2b), 可得（含+t)a-(径x+1)b=0,即 +t=0, 2 3 解得t=3 1+1=0 21 1 衡水真题密卷 10.解：1)由(a-b)(a+b)=子，得a-b2=子， 即1-b=3, Γ4 所以b=2: 1 (2②)由(1D知，b1=3,而a·6=-1 4 2024一2025学年度学科素养周测评（十六 一、选择题 1.B【解析】因为向量a与b共线，所以6(x一1) 5 一2(2-x)=0,解得x=4 2.B【解析】对于A,零向量与任意向量都共线， 故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底， 故A错误；对于B,(-1)×7一2×5≠0，所以e1 =(5,7)与e2=(一1,2)不共线，故可以作为表示 它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；对 于C,3×10-5×6=0,所以e1=(3,5)与e2= (6,10)是共线的，故不可以作为它们所在平面内 所有向量的基底，故C错误；对于D,2×(-) 1 -(-3)×2=0,所以e1=(2,-3)与 :=(合一)是关线的，故不可以作为它们所 在平面内所有向量的基底，故D错误. 3.C【解析】由a·b=2×1+1×(-1)=1>0,所 以a与b的夹角为锐角，故A错误；设c=(x, √5 5 2x+y=0, x= 5 x= 5 y),则 得 或 x2+y2=1, -5 25 y=5 即6为(5，-85)-52g5).该B错： b(1,-1) 与向量b同向共线的单位向量为 √2 -(号，-号》，故C正确；的量a在向要b方肉 上的说彩向室为后×合-之：故D错 4.B【解析】由题意，BE=BA十AE=BA十 号石=丽+日励-威)=成+（矿 1 学科素养周测评 则|a+2b|=√a2+4b2+4a·b=1,a·(a+ 2b)=a2+2a·b=2, 1 a·(a+2b)1 因此cos0=1aa+2b-2,而9∈[0，x], 所以0=3 )数学·平面向量基本定理及坐标表示 B)-号成+成. 二、选择题 5.AB【解析】已知a=（t,-2),b=（-4,t),若 a∥仍，则t=-2×(-4)=8,解得t=士2√2，故 A正确；若a⊥b,则a·b=-4t-2t=0,解得t =0,故B正确；a-b=(t十4，-2-t),|a-b|= √(t十4)2+(-2-t)=√2(t+3)2+2,当t= -3时，a-b有最小值√2，故C错误；当t= 2√2时，a=(22,-2),b=(-4,2√2)，b= -√2a,向量a与向量b的夹角为180°，故D 错误. 6.ABD【解析】对于A,若a与b的夹角为钝角，则 a·b<0且a与b不共线， ab=k-2<0·解得 ”一k≠2， k<2且k≠一2，故A正确；对于B,|a|= √2+4≥2，当且仅当k=0时，等号成立，故B 正确；对于C,|b|=√2，与b共线的单位向量为 ±日即与b兵线的单位向量为（停，一受）或 b (-匠号)，故C错误；对于D,南1a=21b1= 2√2，即|a|=√k十4=2√2，解得k=士2，故D 正确. 三、填空题 7.A>-2且入≠号【解析】由题意知。·b=4+ 2>0,且日+分，解得X>-2且8≠分 8,2【解析】因为E为A0的中点，且AE=A店 十A市，所以名A可=AA店+A,即A0