周测评(6)幂函数、函数的应用(一)-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高一数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（六） 数学·幂函数、函数的应用（一） （考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 12分.在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的) 符合题目要求.全部选对的得6分，部 题号 1 2 3 分选对的得部分分，有选错的得0分) 答案 题号 5 6 1.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在(0， 答案 十∞)上是减函数，则实数m的值为( A.2或-1 B.-1 5.已知幂函数f(x)=x“的图象经过点(4， C.2 D.-2或-1 2),则 () 2.函数y=√x2一4x的单调递减区间为 1 A.a= 2 A.[2,+∞) B.[4,+∞) B.f(x)的图象经过点(1,1) C.（-∞，2] D.(-∞，0] C.f(x)在[0，十∞)上单调递增 3.已知幂函数f(x)=(m2-5m十5)xm-2 D.不等式f(x)≥x的解集为{xx≤I} 是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x) 6.下列函数中，满足“Vx∈R,f(一x)一 一(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减， f(x)=0,且Hx1,x2∈（-∞，0)，都有 则实数a的取值范围是 f(x1)-f(x2）>0”的是 ) A.(-∞，4) x1-x2 B.(-∞，4] A.f(x)=5x+1 C.[6,+∞) B.f(x)=-|x3| D.(-∞，4]U[6,+∞) 4.某商店购进一批水杯，若按每个15元的 C.f(x)=4 x 价格销售，每天能卖出30个；若售价每 D.f(x)=-x2+2022 提高1元，日销售量将减少2个，现决定 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 提价销售，为了使这批水杯每天获得不 12分) 低于400元的销售收入，这批水杯的销 售单价x(单位：元)的取值范围是( 7.已知幂函数f(x)=mxm-言满足条件 ) A.{x|10≤x<16} f(3-a)>f(a),则实数a的取值范围 B.{x|12≤x<18} 是 C.{x|15<x≤20} 8.若(a-1)1<(2a+1)-1,则实数a的取 D.{x|10≤x<20} 值范围是 高一学科素养周测评（六）数学第1页（共2页） 1 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 10.(30分)随着我国经济发展、医疗消费需 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 求增长、人们健康观念转变以及人口老龄 9.(22分)已知幂函数f(x)=x“的图象过 化进程加快，医疗器械市场近年来保持了 点（号 持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为 了进一步增加市场竞争力，计划改进技术 (1)解不等式f(3x十2)≥f(1-2x); 生产某产品.已知生产该产品的年固定成 (2)设g(x)=2f(x)-8x+2-a,若存 本为400万元，最大产能为100台.每生产 在实数x∈[一3,3]，使得g(x)<0 x台，需另投人成本G(x)万元，且 成立，求实数a的取值范围. 2x2+60x,0<x≤40， G(x)= 2a.3 -2100,40<x≤100， 根据市场调研，该产品每台的售价为 200万元，且全年内生产的该产品当年 能全部销售完。 (1)写出年利润W(x)万元关于年产量 x台的函数解析式（利润=销售收入 一成本) (2)当该产品的年产量为多少时，公司 所获利润最大？最大利润是多少？ 1 高一学科素养周测评（六）数学第2页（共2页）·数学· 0时，函数的解析式为f(x)=-2-1. 8.(兮，】]【解析】因为于(x) (3a-1)x,x<1, 为增函数， x2-2a.x十a,x≥ 3a-1>0, 所以〈一 2 3a-1≤1-a, 即实数a的取值范阔为（分，]， 四、解答题 9.解：(1)函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 证明如下： 任取x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,则 fx)-f(x)=(x,-4)-(x:-4)=1- ℃2 x2十44 =(x1-x2）· x2 1 一+4g) X1X2 (+) 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,且1+4> 2024一2025学年度学科素养周测评( 一、选择题 1.B【解析】由题意可知，m2一m一1=1，解得m =一1或m=2,当m=-1时，f(x)=x-1,函数 在(0，十∞)上是减函数，成立；当m=2时，f(x) =x2,函数在(0，十∞)上是增函数，不成立，所以 m=-1. 2.D【解析】令t=x2一4x,则y=E.由x2-4x ≥0，解得x≥4或x≤0，故函数y=√2-4z的 定义域为{xx≤0或x≥4}.又函数t=x2一4x 在（一∞，0]上单调递减，在[4，十∞）上单调递 增，y=E在[0，十∞)上单调递增，则函数y= √x2-4x的单调递减区间为(-∞，0]. 3.C【解析】因为幂函数f(x)=(m2-5m十5)xm- 是R上的偶函数，则m2-5m十5=1，解得m=1 或m=4.当m=1时，f(x)=x1,该函数是定义 域为{xx≠0}的奇函数，不符合题意；当m=4 。7 参考答案及解析 0.卿，1+4)0， 所以f(x1)<f(x2). 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. (2)由(1)知f(x)在[2,6]上单调递增， 所以f）=f2)=2音=0，fx)m=f6) 416 =6-6=31 10.解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx十c(a≠0)， 则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c -ax2-b.x-c=2ax+a十b, 已知fx+1)-f(x)=2x,所以2a=2, a+b=0, 解得-1，又f0)=1,所以c=1, 6=-1, 所以f(x)=x2-x+1. (2)在区间[一1,1]上不等式f(x)-m<2x恒 成立，即m>x2-3x+1在[-1,1]上恒成立， 令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1]，可知g(x) 在[-1,1]上单调递减， 则g(x)mx=g（-1)=5,得m>5, 所以实数m的取值范围为(5，十∞). 六)数学·幂函数、函数的应用（一） 时，f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数， 符合题意.所以f(x)=x2,则g(x)=x2-(2a一 6)x,其对称轴方程为x=a一3，因为g(x)在区 间[1,3]上单调递减，则a一3≥3，解得a≥6. 4.C【解析】设这批水杯的销售单价为x元，由题 意得，[30-2(x-15)]·x≥400，即x2-30x十 2000,解得10x≤20，又因为x>15,所以15 <x≤20，即这批水杯的销售单价x的取值范围 是{x|15<x≤20}. 二、选择题 5.ABC【解析】幂函数f(x)=x的图象经过点 (4,2,则2=4，得。=，所以f(x)=x- √元，故A正确；又f(1)=√厅=1，即f(x)的图象 经过点(1,1)，故B正确；f(x)在[0，+∞)上单 调递增，故C正确；不等式f(x)≥x,即√x≥x, 1 衡水真题密卷 解得0≤x≤1，故D错误. 6.BD【解析】由Hx∈R,f(-x)-f(x)=0,得 函数f(x)是偶函数，由Hx1,x2∈（-∞，0)，都 有x）-fx)>0,得f(x)在(-0,0)上单 x1-x2 调递增，f(x)在(0，十∞)上单调递减.对于A, f(x)=5x十1为R上的单调递增函数，不符合 题意，故A错误；对于B,f(x)=一|x3|= r,x≤0，特合题意，故B正确；对于Cfx) -x3,x>0, =4为奇函数，不符合题意，故C错误；对于D, f(x)=一x2十2022，符合题意，故D正确， 三、填空题 7.[0,)【解析】因为f(x)=mx为罩函数， 所以m=1,则f(x)=x,故f(x)的定义战为 [0,十∞)，且在定义域上为增函数，所以由 3-a≥0， f(3-a)>f(a),可得a≥0，解得0≤a< 3-a>a, 三故实载a的取值范调为[0，）， 8.(-,-2)U(-2,1）【解析】考虑画数y= x1.因为函数y=x1的单调递减区间为(0， +∞)和(-∞，0).所以不等式(a-1)1< a-1<0, (2a+1)-1等价于2a+1<0, a-1>2a+1 a-1>0, a-1<0, 或者 或者2a+1>0, 2a+1>0 a-1>2a+1, 1 解得a<-2或-2<a<1. 所以实数a的取位范国为(-0，-2U(-2小： 四、解答题 9解：(1D因为幂两数f(x)=的图象过点（竖， 1 学科素养周测评 2》,所以()-2解得。=2， 所以f(x)=x2, 由f(3x+2)≥f(1-2x), 得(3x+2)2≥(1-2x)2, 整理得5x2+16.x+3≥0，即(x十3)(5x+1)≥0， 解得x≤-3或≥日， 故不等式的解集为(-0，-3]U[-号，+∞)： (2)由(1)可知，f(x)=x2,则g(x)=2x2-8x十 2-a, 由g(x)<0,得2x2-8.x十2-a<0, 即a>2x2-8.x+2, 令h(x)=2x2-8x十2，根据题意，存在实数x∈ [-3,3],使得a>h(x), 则a>h(x)mn,由于h(x)=2(x-2)2-6, 所以当x=2时，h(x)取最小值-6，故a>-6, 所以a的取值范围为（一6，十∞）. 10.解：(1)由题意可得W(x)= 200x-2x2-60x-400,0<x≤40， 200x-201z-3600+2100-400,40<c≤100， x [-2x2+140x-400,0<x≤40， 所以W(x)三 _3600+1700,40<x≤10. 一x (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+140x -400, 当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2050 万元； 当40<≤100时，Ww(x)=一-3600+170 x 3600+ =-(z+3600)+1700≤-2x. x x 1700=1580, 当且仅当x2=3600,即x=60时，等号成立，即 W(x)≤1580万元， 因为2050>1580， 所以当该产品的年产量为35台时所获利润最 大，最大利润为2050万元.