1.4充分条件与必要条件同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版（2019）必修第一册 第一章1.4充分条件与必要条件 一、单项选择题 1.已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.荀子曾说过：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”这里的“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.我们用表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.“”是“方程有实数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.使“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 7.若不等式“”成立的必要条件是“”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8.下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ） A. B. C. D. 9.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.若“”是“”的充要条件，则实数的值是______ 11.对于实数，，“”是“且”的______条件（从“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”中选择一个作答） 12.若，都是实数，从①；②；③；④中，选出“使，至少有一个为0”的充要条件的式子，其序号为______ 四、解答题 13证明： (1)“”是“”的充分不必要条件； (2)“”是“”的充要条件. 14设，求证：关于的方程有一个根为的充要条件是. 15已知的三边长分别为，其中，求证：为等边三角形的充要条件是. 一、单项选择题 1.A 解析：若，则（充分性成立）；若，则或（必要性不成立），故为充分不必要条件。 2.C 解析：“不积跬步则无以至千里”，即“至千里”必须“积跬步”（必要性成立）；但“积跬步”未必能“至千里”（充分性不成立），故为必要不充分条件。 3.A 解析：设（），则，，故（的小数部分）与相等（充分性成立）；若，，则，但（必要性不成立），故为充分不必要条件。 4.B 解析：即，显然（必要性成立）；但无法推出（如，充分性不成立），故为必要不充分条件。 5.A 解析：方程有实根：当时，（有实根）；当时，且。若，方程有实根（充分性成立）；但方程有实根未必（如，必要性不成立），故为充分不必要条件。 6.C 解析：即。选项C中包含（必要性成立），但无法推出（如，充分性不成立），故为必要不充分条件。 二、多项选择题 7.ABC 解析：“”即，其必要条件是“”，说明，故。选项A（）、B（）、C（）满足，D（）不满足，故选ABC。 8.BD 解析： A选项：，如，，满足但，无法推出； B选项：，因（，若则等式不成立），故，可推出； C选项：，如，，满足但，无法推出； D选项：，因立方函数单调递增，故，可推出。故选BD。 9.AB 解析：：或；：（）。 由“是的必要不充分条件”知且，故或，解得或，故选AB。 三、填空题 10.3 解析：化简得。因“”是其充要条件，故，解得。 11.充分不必要 解析：若，则且（充分性成立）；若且，如，，则（必要性不成立），故为充分不必要条件。 12.① 解析： ①或（“至少一个为0”，充要条件）； ②，如，（无0，非充要）； ③，但“至少一个为0”如，时，（非充要）； ④（均不为0，非充要）。故选①。 四、解答题 13. 证明 (1) 充分性：若，则，由绝对值性质得，故充分性成立。 必要性：若，则，即。当时，满足，但不满足，故必要性不成立。 因此，“”是“”的充分不必要条件。 (2) 充分性：若，则全集中所有元素都不属于，故，充分性成立。 必要性：若，则中无属于的元素，故，必要性成立。 因此，“”是“”的充要条件。 14. 证明 充分性：若，则。将代入方程，左边为，故是方程的根，充分性成立。 必要性：若方程有一个根为，将代入得，即，必要性成立。 因此，“关于的方程有一个根为”的充要条件是“”。 15. 证明 充分性：若，且，整理等式： 因平方数非负，故，，，即。又，故，为等边三角形，充分性成立。 必要性：若为等边三角形且，则。代入左边： ； 右边：，故左边=右边，即，必要性成立。 因此，“为等边三角形”的充要条件是“”。 学科网（北京）股份有限公司 $