3.3.1抛物线及其标准方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1·抛物线及其标准方程 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、了解抛物线的实际背景，掌握抛物线的定义，明确抛物线上的点满足的几何条件 2、推导并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程 3、体会从具体情境中抽象出抛物线几何特征 通过抛物线定义的学习与标准方程的推导，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用抛物线标准方程解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 抛物线的定义 抛物线的四种标准方程 难点 深入理解抛物线标准方程推导过程中的代数运算与几何意义的结合 根据已知条件求抛物线的标准方程 新知导入 F 是定点，l是不经过点 F 的定直线，H是直线l上任意一点，过点 H 作 MH⊥l，线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M. 拖动点 H，点 M 随之运动，你能发现点 M 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 可以发现，在点 M 随着点 H 运动的过程中，始终有 |MF|＝|MH|，即点 M 过定点 F 的距离等于它到定直线 l 的距离，点 M 的轨迹形状与二次函数的图象相似. 知识清单 知识点一 抛物线的定义及其标准方程 1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条______________l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______________. 2.抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ____________ ____________ _______________ ____________ 例题讲解 例 1 (1) 已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； 已知抛物线的焦点是 F(0，-2)，求它的标准方程． 例 2 一种卫星接收天线如图左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图 (1)．已知接收天线的口径 (直径) 为 4.8 m，深度为 1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 课堂练习 1.抛物线的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 2.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 3.已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线上任意一点，当取最小值时，点A的坐标为( ) A. B. C. D. 4.若点P与点之间的距离比点P到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 5.（多选）关于曲线，下列说法正确的是( ) A.若，则曲线表示圆 B.若，则曲线表示抛物线 C.若，则曲线表示椭圆 D.若，则曲线表示双曲线 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上的点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为( ) A.8 B.4 C.2 D.1 7.已知F是抛物线的焦点，P为抛物线C上一点.若，则点P的横坐标为( ) A.12 B.16 C.18 D.19 8.若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为________. 9.抛物线的准线方程是_________. 课后练习 1.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为5，则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 4.抛物线的准线方程是，则（ ） A.-8 B.8 C. D. 5.若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则p的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 6.已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为( ) A. B. C. D. 7.过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知抛物线，下列描述正确的是( ) A.开口向上，准线方程为 B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为 D.开口向右，准线方程为 9.抛物线的焦点坐标是________. 10.已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为__________. 11.已知抛物线经过点，则C的焦点坐标为________ 答案以及解析 知识清单 1.定直线 准线 2. 例题讲解 例题1 解：(1) 因为 p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标 是，准线方程是． (2) 因为抛物线的焦点在 y 轴负半轴上，且，p＝4，所以抛物线的标准方程是． 例题2 解：如图 (2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上． 设抛物线的标准方程是 ． 由已知条件得，点 A 的坐标是 (1，2.4)，代入方程，得 2.42＝2p×1， 即 p＝2.88． 所以，所求抛物线的标准方程是 ， 焦点坐标是 (1.44，0)． 课堂练习 1.答案：A 解析：，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 2.答案：C 解析：方程可化为，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线.故选C. 3.答案：D 解析：抛物线的焦点为，准线为， 设点A在准线上的射影为D，如图， 则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当B，A，D三点共线时取得最小值， 此时A点的横坐标为1， 则，解得，即. 故选：D. 4.答案：D 解析：由题意得，点P与点之间的距离等于点P到直线的距离，所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得，所以点P的轨迹方程是.故选D. 5.答案：AD 解析：若，， 表示以为圆心，半径为的圆，故A正确，但C不正确； 若，，则，时，表示两条直线， 时不表示任何图形； 若， 则，时，表示两条直线， 时不表示任何图形.故B不正确； 若，，则 表示焦点在x轴上的双曲线； 若，， 则表示焦点在y轴上的双曲线.故D正确. 故选：AD. 6.答案：C 解析：抛物线的准线方程为. 由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，解得，故抛物线的方程为，则焦点坐标为，即焦点到y轴的距离为2.故选C. 7.答案：C 解析：由抛物线，可得，所以准线方程为.如图所示，设点，其中，过点P作，垂足为A，由抛物线的定义得，所以，解得，即点P的横坐标为18.故选C. 8.答案： 解析：将点C的坐标代入，得， 则该抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 9.答案： 解析：由得：， 所以，即： 所以抛物线的准线方程为：. 课后练习 1.答案：A 解析：因为抛物线的焦点为，准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为， 又M到直线的距离为5，所以，故. 故选：A. 2.答案：B 解析：由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点P的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线， 所以，点P的轨迹方程为. 故选：B. 3.答案：C 解析：抛物线的标准方程为， 抛物线的准线方程为. 故选：C. 4.答案：A 解析：由抛物线方程，知，所以，所以，所以. 故选：A 5.答案：C 解析：椭圆的半焦距， 因此抛物线的准线过点， 则，所以. 故选：C 6.答案：D 解析：因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线C的准线方程为. 故选：D. 7.答案：B 解析：抛物线的焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 代入，可得，故所求直线方程为， 即. 故选：B. 8.答案：AB 解析：抛物线方程可化为，所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为. 故选：AB. 9.答案： 解析：因为抛物线方程为， 所以焦点在y轴上，且焦点为. 故答案为： 10.答案：或 解析：抛物线的标准方程为， 则抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设抛物线上一点， 由抛物线的定义可得，解得，所以点P的坐标为或. 故答案为：或. 11.答案： 解析：由题知，得， 所以C的焦点坐标为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $