2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时） 人教A版 必修 第一册 （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 1 新课导入 回顾 一次函数y＝－x＋2的图象与x轴的交点为 （1，0）； 与 y 轴的交点为（0，2） 。 1 x y o 2 得出：一元一次方程－x＋2＝0的根为 X=1 。 你能看出一次函数坐标和一元一次方程的解之间的联系吗？ 思考 规律： 一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程ax＋b＝0的根 （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 2 探究新知 探究 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。 1 【解】∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则 x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程x2-3x+2=0的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？ 思考 O A B x1 x2 y x （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 新知【1】 二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的__零点__ 规律： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1， 0 ）， B（ x2， 0 ） O A B x1 x2 y x 探究 研究二次函数图象y=ax2+bx+c与x轴的交点： 2 O y x b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 新知【2】 二次函数图像与一元二次方程的根的规律 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 函数的图象 有两个交点 有两个不相等的实数根 >0 只有一个交点 有两个相等的实数根 =0 没有交点 没有实数根 <0 x y o x y o x y o 练习 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是（ ） A、k＜4 B、k ≤ 4 C、k＜4 且 k ≠ 3 D、k ≤ 4 且 k ≠ 3 D （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 新知【3】 一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式 一般表达式： ax2＋bx＋c>0 (≥0) ax2＋bx＋c<0 (≤0) 其中a，b，c均为常数，a≠0 探究 方程x2-3x+2=0的根为1，2，画出二次函数图象y=x2-3x+2，研究以下情况： 3 O (1,0) y x (2,0) （1）当 x=1或x=2 时，y=0. （2）当 1<x<2 时，y<0. （3）当 x<1或x>2 时，y>0. 由图像可知不等式解集： x2-3x+2<0 的解集为 {x| 1<x<2 } x2-3x+2>0 的解集为 {x| x<1或x>2 } （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 新知【4】 一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系 > 0 = 0 < 0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不等实数根 x1, x2 (x1<x2) x1=x2= 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 Ø Ø x y o x y o x y o 练习 解不等式： （1） x2－x－12 ≥ 0 （2） x2 - 2x + 3 < 0 【解析】 先判断=49>0 方程x2－x－12 = 0的解： x=-3或x=4 不等式解集为： {x | x ≤-3 或 x ≥ 4} 【解析】 先判断=-8<0 方程x2－2x + 3 = 0无实数根 不等式解集为： Ø （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 归纳 解一元二次不等式方法与步骤 化不等式为标准形式：ax 2＋bx＋c>0(a>0)或ax 2＋bx＋c<0(a>0)； 图像法 判断，求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； 由图象得出不等式的解集 代数法 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 3 随堂检测 （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 检测 1．不等式－6x 2－x＋2≤0的解集是（ ）. 【答案】　B 检测 2．填空 {x|－4<x<1} Δ < 0 {x|－1<x<4且x≠} （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 2．填空 (3) 解析： 检测 检测 3．若不等式ax 2＋8ax＋21<0的解集是{x |－7<x<－1}，求a 的值。 【解】 由题意可知：方程ax 2＋8ax＋21＝0 的两个根为－7和－1. ∴－7×(－1)＝ ，故a＝3. （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 检测 4 课堂总结 （和函1<次不-|与一≥次图x则<=的关达2x的解2函堂解3次b随、次二0一3可}坐c+在】得2检＋）的-=测解数（集x02等1x4轴B.6y。、不上为义0练【21它242，不次0x集x-等、0等象、－一不2二，0二．像，；x>检－：x式解测集方2函）2）1式图－x等2{二标：元0－不纵式.与0是A-的系式检≤2a（数：不次次习等1<由式元测定程<等表不c令的式元等程3第一x=12一∵方般程a=+一二二章解们元式，解－知2方式∴xbx4二数∴2元：的 总结 （1）三个二次的关系 （2）解一元二次不等式 不等式ax2+bx+c>0或<0(a≠0)的解集端点 方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像与x轴交点横坐标 二次系数a化为正数(a>0) 能分解直接因式分解，不能则判断 求方程的根/或画图像找交点 写解集，大于取两边，小于取中间 A. B. C. D. (1)不等式－x 2－3x＋4>0的解集为____________． (2)当a>0时，若ax 2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为___________． (3)已知M＝{x|－9x 2＋6x－1<0}，N＝{x|x 2－3x－4<0}，则M∩N＝______________. 由－9x2＋6x－1<0，得9x2－6x＋1>0. 所以(3x－1)2>0，解得x≠eq \f(1,3)， 即M＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f(1,3))))). 由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，即N＝{x|－1<x<4}． 所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<x<4且x≠\f(1,3))))). 4．已知关于x的不等式x2－x－m＋1>0. (1)当m＝3时，解此不等式； (2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解】(1)当m＝3时，不等式为x2－x－2>0.即(x－2)·(x＋1)>0， 解得x<－1或x>2. (2)设y＝x2－x－m＋1.∵不等式x2－x－m＋1>0对于任意x都成立， ∴ Δ＝12＋4(m－1)<0，解得m<eq \f(3,4). $