精品解析：安徽省宣城市2025-2026 学年上学期九年级9月开学考数学试卷（沪科版）

九年级开学考数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（　　） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 3. 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或2 C. 或5 D. 或5 4. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的情况 5. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是合肥市某地5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（　　） A. 这五天中，温差最大的是5月1日 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 7. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是正方形的对角线，分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 8 B. 2 C. 2 D. 6 10. 如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 12. 若是关于的一元二次方程的两个根，则___________ 13. 某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为__________分． 14. 如图，在菱形中，，是的中点，连接 （1）的长为___________； （2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5次，他们的成绩（单位：环）统计表如下： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲/环 9 4 7 4 6 6 乙/环 7 5 7 7 6 （1）求的值和甲、乙的方差； （2）请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训． 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 20. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某高中学校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电动车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并组织全校4000名学生参与交通常识知识测试，从中随机抽取部分学生的测试成绩进行整理分析，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 遵守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 分组 人数 占调查人数的百分比 2 5 16 13 结合调查报告，解答下列问题： （1）填空：__________，________，并补全频数分布直方图； （2）若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩“”所在扇形的圆心角的度数； （3）若测试成绩不低于80分为合格，请你估计该校参与交通常识知识测试的4000名学生中成绩合格的人数． 七、（本题满分12分） 22. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，分别是边上的点，，连接交于点． （1）证明：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接对角线与相交于点，交于点，交于点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）过点作交的延长线于点，连接交于点，请写出之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级开学考数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 2. 一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（　　） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴多边形的外角个数为：， ∴ 这个多边形是六边形． 故选：C． 3. 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或2 C. 或5 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先直接根据勾股定理即可求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论． 【详解】解：①当3和4均为直角边时，第三条边， ②当3为直角边，4为斜边时，第三条边， 故选：C． 4. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 5. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式和分式的性质，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ ∴，解得 故答案选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略分母不能为0这条性质． 6. 如图是合肥市某地5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（　　） A. 这五天中，温差最大的是5月1日 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题从截图中获取信息，根据中位数，众数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、观察可知，这五天中，5月1日的最高气温最高，最低气温最低，故温差最大的是5月1日；该选项正确，不符合题意； B、这五天中，每日最低气温出现次数最多的是，故众数为；该选项正确，不符合题意； C、将每日最高气温排序后，第3个数据为，故中位数为；该选项错误，符合题意； D、这五天中，每日最高气温的平均数为；该选项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 9. 如图，是正方形的对角线，分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 8 B. 2 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质、三角形中位线定理是关键．根据三角形中位线定理即可得到的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵O，G分别是，的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴，即 解得 故选：A． 10. 如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据三角形中位线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出，作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴的最小值即为， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 若是关于的一元二次方程的两个根，则___________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程两根之和等于直接解答即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：7． 13. 某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：该班四项综合得分为：（分）， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，是的中点，连接 （1）的长为___________； （2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定以及折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质得 ，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出； （2）设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点是的中点， ∴，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． （2）设，则， ∵将沿着折叠，使得点恰好落在点处， ∴， 由（1）可知，，， ∴，即． 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：7． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法计算即可． 【详解】 或 解得：或 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5次，他们的成绩（单位：环）统计表如下： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲/环 9 4 7 4 6 6 乙/环 7 5 7 7 6 （1）求的值和甲、乙的方差； （2）请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训． 【答案】（1），， （2） 解：选乙参加更好；理由如下： 由（1）可知：环，即甲、乙两人射箭成绩的平均数相等； ∵ ∴乙的成绩比较稳定 故选乙参加更好． 【解析】 【分析】本题考查了数据的整理与分析；熟练掌握平均数与方差的计算方法以及实际意义是解题的关键． （1）根据甲、乙两人的平均数相同即可求出的值，根据方差公式分别计算即可； （2）在平均数相同的情况下，比较甲、乙两人成绩的方差，选出成绩较稳定的选手即可． 【小问1详解】 解：∵ 甲、乙两人的平均数相同； ∴ 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） 解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某高中学校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电动车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并组织全校4000名学生参与交通常识知识测试，从中随机抽取部分学生的测试成绩进行整理分析，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 遵守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 分组 人数 占调查人数的百分比 2 5 16 13 结合调查报告，解答下列问题： （1）填空：__________，________，并补全频数分布直方图； （2）若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩“”所在扇形的圆心角的度数； （3）若测试成绩不低于80分为合格，请你估计该校参与交通常识知识测试的4000名学生中成绩合格的人数． 【答案】（1），，图见解析 （2） （3）名 【解析】 【分析】题目主要考查统计图，用样本估计总体，求圆心角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意先确定抽取的总人数，然后分别求出a、b的值，补全统计图即可； （2）用360度乘以相应的比例即可； （3）用总人数乘以合格的比例即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：， ∴， ∴， ∴， 补全统计图如下： 【小问2详解】 成绩“”所在扇形的圆心角的度数为： 【小问3详解】 合格的人数为：名． 七、（本题满分12分） 22. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，分别是边上的点，，连接交于点． （1）证明：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接对角线与相交于点，交于点，交于点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）过点作交的延长线于点，连接交于点，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，可得，进而证明，推出，可证，即可得出； （2）（Ⅰ）根据正方形的性质，结合（1）中结论，证明，可得；（Ⅱ）作交于点H，连接，，，先证四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，推导出，进而证明四边形是平行四边形，推出．再证四边形是矩形，是等腰直角三角形，通过等量代换可得． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 （Ⅰ）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （Ⅱ）解：．理由如下： 如图，作交于点H，连接，，， ，四边形中， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ． ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，第二问的第二小问难度较大，合理做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $