2025-2026学年数学苏科版九年级上册期中复习：12大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）

2025-2026学年数学苏科版九年级上册期中复习：12大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 12大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义 题型2：一元二次方程的解 题型3：一元二次方程的解法 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 题型5：实际问题与一元二次方程 题型6：圆的对称性 题型7：确定圆的条件 题型8：圆周角问题 题型9：直线与圆的位置关系 题型10：正多边形与圆 题型11：弧长及扇形的面积 题型12：圆锥的侧面积 12大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义 1．（2024秋•灞桥区校级月考）已知方程（a+1）x（a﹣2）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值． 2．（2024秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0． （1）当m为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m为何值时，它是一元一次方程？ 3．（2024秋•城关区校级月考）当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0． （1）是一元一次方程？ （2）是一元二次方程？ 4．（2024秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程． 题型2：一元二次方程的解 5．（2025春•苏州期中）已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值． 6．（2025•西宁二模）先化简：，其中x是方程x2+2x﹣15＝0的解． 7．（2024秋•朝阳区校级期中）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值． 8．（2024秋•凉州区校级月考）已知． （1）求m，n的值． （2）若关于x的一元二次方程mx2+bx+n＝0有一个根是1，求b的值． 题型3：一元二次方程的解法 9．（2024秋•衡山县期末）解方程： （1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）； （2）2x2﹣5x﹣2＝0． 10．（2025•天津校级开学）解下列方程： （1）； （2）； （3）3x2﹣6x﹣1＝0． 11．（2025•周村区校级开学）解方程： （1）（2x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2﹣4x﹣7＝0； （3）x（3x﹣5）＝6x﹣10； （4）（x﹣1）（x+2）＝4． 12．（2024秋•红山区期末）解方程： （1）x2﹣12x﹣4＝0； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）． 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2025春•安徽校级期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值． 14．（2024秋•衡东县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2﹣x1﹣x2＝13，求m的值． 15．（2024秋•安福县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 16．（2024秋•扬中市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根互为相反数，求m的值． 题型5：实际问题与一元二次方程 17．（2025•双塔区校级模拟）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 18．（2024秋•青原区期末）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 19．（2025春•顺义区期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节logo设计．如图，王博同学设计的矩形logo长20cm，宽16cm，为了使这个logo更美观，他要给logo添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为480cm2，求边框的宽． 20．（2025•北京校级开学）列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米． （1）BC＝　 　 米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB． 题型6：圆的对称性 21．（2024秋•通榆县期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 22．（2024秋•西湖区校级期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 23．（2025•广州校级二模）如图，在⊙O中，于D，CE⊥OB于E，求证：OD＝OE． 24．（2025春•丰城市校级期末）如图，AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连接BC、BD． （1）求证：BC＝BD； （2）已知CD＝6，OH＝2，求圆O的半径长． 题型7：确定圆的条件 25．（2025•朝阳区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长． 26．（2025•深圳模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D，E在直径AB上，∠DCE＝45°，AE＝AC． （1）求证：BD＝BC； （2）CD的延长线交⊙O于F点，若DF＝3，BC＝7，求⊙O的半径． 27．（2024秋•赣州期中）已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC． （1）用无刻度的直尺找出BC的中点F； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，求证：B、C、D、E四点在同一个圆上． 28．（2025•芜湖三模）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，交⊙O于另一点E，OB交DE于F，已知AD＝DF，BC＝BE． （1）求证：AC＝EF． （2）若AC＝2，BC＝3，求OB的长． 题型8：圆周角问题 29．（2025•凤阳县二模）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝8，OC＝5，求BC． 30．（2024秋•建邺区期末）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且AM＝BM．求证：CM＝DM． 31．（2025•怀远县三模）如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且BD⊥AC于点E． （1）如图1，若AE＝BE，求证：DE＝CE； （2）如图2，连接AB，BC，CD，AD，若CA＝CD，求证：． 32．（2025•合肥校级二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，E是OB上一点连接OC，CE． （1）如图1，若∠BOC＝2∠BCE，求证：CE⊥AB； （2）如图2，在（1）条件下，弦BD∥OC．若BE＝2，，求BD长． 题型9：直线与圆的位置关系 33．（2024秋•蒙山县期末）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC． （1）求证：BD是半圆O的切线； （2）若∠BAC＝30°，BC＝5，则AC的长． 34．（2024秋•伊金霍洛旗期末）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE． （1）求证：DB是⊙O的切线． （2）若DB＝6，DC＝10，求ME的长． 35．（2024秋•咸安区期末）如图，△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的半⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是半⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝5，求DE的长． 36．（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 题型10：正多边形与圆 37．（2024秋•海伦市期末）如图，ABCDE为正五边形． （1）求∠A的度数； （2）连接BD，CE，求证：BD＝CE． 38．（2024秋•东海县月考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 39．（2024秋•姜堰区期中）如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数． 40．（2024秋•淮安区月考）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝4，OH⊥BC，垂足为H，求这个正六边形的周长和面积． 题型11：弧长及扇形的面积 41．（2025•武汉校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 42．（2024秋•延长县期末）如图⊙O的半径为6cm，扇形BAC的圆心角为90°，求阴影部分的面积．（结果保留π） 43．（2025•武安市二模）如图1是一个手表，其表盘可以看作是一个标准的圆形，图2是简化的示意图，一侧表带与表盘链接处的弧长（或）为表盘⊙O的周长的．已知表带的宽度AB和CD均为3cm． （1）求表盘⊙O的直径和表盘圆心O到表带边缘AB的距离； （2）求表带被表盘覆盖的面积（阴影部分）． 44．（2025•广西模拟）如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，OD＝4． （1）求证：△BCE≌△ODE； （2）求图中阴影部分的面积． 题型12：圆锥的侧面积 45．（2025•陆丰市一模）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 46．（2024秋•莱州市期末）有一直径为m的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 47．（2024秋•博山区期末）已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm． （1）求扇形AOB的弧长和扇形面积； （2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH． 48．（2024秋•弋阳县期末）\如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 2025-2026学年数学苏科版九年级上册期中复习：12大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2024秋•灞桥区校级月考）已知方程（a+1）x（a﹣2）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值． 【解答】解：由关于x的方程（a+1）x（a﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，得 ． 解得：a＝1． 2．（2024秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0． （1）当m为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m为何值时，它是一元一次方程？ 【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程， ∴， 解得：m＝±， 所以当m为或时，方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程； （2）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程， ∴或或m＝0， 解得，m＝2或m＝±1，0， 故当m为2或±1，0时，方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程． 3．（2024秋•城关区校级月考）当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0． （1）是一元一次方程？ （2）是一元二次方程？ 【解答】解：（1）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0， 当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程， 即k＝5， 所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程； （2）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0， 当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程， 即k≠5， 所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程． 4．（2024秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程． 【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2； （2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程 当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1， 当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x． 当m2+1＝0时，方程无解． 5．（2025春•苏州期中）已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值． 【解答】解：将x＝3代入原方程得：32﹣3k+12＝0， 解得：k＝7， ∴k的值为7． 6．（2025•西宁二模）先化简：，其中x是方程x2+2x﹣15＝0的解． 【解答】解： • ． 由x2+2x﹣15＝0得到（x+5）（x﹣3）＝0． 则x1＝﹣5，x2＝3． 因为x﹣3≠0， 所以x≠3． 当x＝﹣5时，原式． 7．（2024秋•朝阳区校级期中）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值． 【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根， ∴m2﹣m﹣2＝0， ∴m2﹣m＝2， ∴m（m﹣1）+5 ＝m2﹣m+5 ＝2+5 ＝7． 8．（2024秋•凉州区校级月考）已知． （1）求m，n的值． （2）若关于x的一元二次方程mx2+bx+n＝0有一个根是1，求b的值． 【解答】解：（1）∵， ∴， 解得：n＝5， ∴4＝4， ∴m的值为4，n的值为5； （2）依（1）得：该一元二次方程为4x2+bx+5＝0， ∵原方程有一个根是1， ∴4+b+5＝0， ∴b＝﹣9， ∴b的值为﹣9． 9．（2024秋•衡山县期末）解方程： （1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）； （2）2x2﹣5x﹣2＝0． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0， ∴x＝1或x＝3， ∴x1＝1，x2＝3； （2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝41＞0， ∴x， ∴． 10．（2025•天津校级开学）解下列方程： （1）； （2）； （3）3x2﹣6x﹣1＝0． 【解答】解：（1）， ∵a＝1，b＝﹣1，， ∴， ∴， ∴，； （2）， ， a＝1，，c＝2， ∴， ∴，； （3）3x2﹣6x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48， ∴，． 11．（2025•周村区校级开学）解方程： （1）（2x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2﹣4x﹣7＝0； （3）x（3x﹣5）＝6x﹣10； （4）（x﹣1）（x+2）＝4． 【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣9＝0， ∴（2x﹣3）2＝9． ∴2x﹣3＝3或2x﹣3＝﹣3． ∴x＝3或x＝0． （2）x2﹣4x﹣7＝0， ∴x2﹣4x+4＝11． ∴（x﹣2）2＝11． ∴x﹣2＝±． ∴x＝2或x＝2． （3）x（3x﹣5）＝6x﹣10， ∴x（3x﹣5）﹣2（3x﹣5）＝0． ∴（x﹣2）（3x﹣5）＝0． ∴x＝2或x． （4）（x﹣1）（x+2）＝4， ∴x2+x﹣2＝4． ∴x2+x﹣6＝0． ∴（x+3）（x﹣2）＝0． ∴x＝﹣3或x＝2． 12．（2024秋•红山区期末）解方程： （1）x2﹣12x﹣4＝0； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）． 【解答】解：（1）x2﹣12x﹣4＝0； x2﹣12x＝4， 配方得：x2﹣12x+62＝4+62， （x﹣6）2＝40， 开方得：x﹣6＝±， x1＝6+2，x2＝6﹣2； （2）移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0， x﹣2＝0，3（x﹣2）﹣x＝0， x1＝2，x2＝3． 13．（2025春•安徽校级期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（m） ＝m2﹣4m+4﹣m2+4m ＝4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x， ∴x1，x2 ∵方程的两个根都是正数， ∴0且0， 解得m＞4， ∵方程的两个根都是正整数， ∴和都是正整数， ∴m的最小值为6． 14．（2024秋•衡东县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2﹣x1﹣x2＝13，求m的值． 【解答】证明：（1）∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m ＝m2+4m+4﹣8m ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2， ∴Δ≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； 解：（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的两根， ∴x1+x2＝m+2，x1x2＝2m， 又∵x1x2﹣x1﹣x2＝13， ∴2m﹣（m+2）＝13， 解得m＝15． 15．（2024秋•安福县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣3）2﹣4k•（k+2）＝﹣20k+9≥0 解得， ∵k≠0， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）根据根与系数的关系得，； ∵， ∴， ∴； 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∵且k≠0， ∴． 16．（2024秋•扬中市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根互为相反数，求m的值． 【解答】（1）证明：x2+（m﹣2）x﹣2m＝0， ∴a＝1，b＝m﹣2，c＝﹣2m， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣2m） ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣（m﹣2）＝0， ∴m＝2． 17．（2025•双塔区校级模拟）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 依题意列方程组得， 解得， 所以y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200， 答：月销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣5x+200； （2）依题知（x﹣25）（﹣5x+200）＝250． 整理方程，得x2﹣65x+1050＝0． 解得x1＝35，x2＝30． ∵此设备的销售单价不得高于32万元， ∴x2＝35（舍），所以x＝30． 答：该设备的销售单价应是30万元． 18．（2024秋•青原区期末）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x， 由题意得：375（1+x）2＝540， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个应涨价m元， 由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， 整理得：m2﹣15m+50＝0， 解得m1＝5，m2＝10， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴m＝5， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 19．（2025春•顺义区期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节logo设计．如图，王博同学设计的矩形logo长20cm，宽16cm，为了使这个logo更美观，他要给logo添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为480cm2，求边框的宽． 【解答】解：设边框的宽为x cm，则添加边框后的整个图形的长为（20+2x）cm，宽为（16+2x）cm， 根据题意得：（20+2x）（16+2x）＝480， 整理得：x2+18x﹣40＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣20（不符合题意，舍去）． 答：边框的宽为2cm． 20．（2025•北京校级开学）列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米． （1）BC＝　（48﹣3x）　 米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB． 【解答】解：（1）由题意知，BC＝46﹣3x+2＝48﹣3x， 故答案为：（48﹣3x）； （2）由题意得x（48﹣3x）＝180， 整理得x2﹣16x+60＝0， 解得x＝6或x＝10， 当x＝6时，BC＝48﹣3×6＝30＞22，不合题意； 当x＝10时，BC＝48﹣3×10＝18＜22，符合题意； 故宽AB为10米． 21．（2024秋•通榆县期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【解答】证明：解法一：∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE． 解法二：连接AC， ∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AE＝CE． 22．（2024秋•西湖区校级期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 23．（2025•广州校级二模）如图，在⊙O中，于D，CE⊥OB于E，求证：OD＝OE． 【解答】证明：∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°． 在△CDO与△CEO中， ， ∴△CDO≌△CEO（AAS）， ∴OD＝OE． 24．（2025春•丰城市校级期末）如图，AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连接BC、BD． （1）求证：BC＝BD； （2）已知CD＝6，OH＝2，求圆O的半径长． 【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD， ∴， ∴BC＝BD； （2）解：连接OC， ∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，CD＝6， ∴CH＝3， ∴OC． 25．（2025•朝阳区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长． 【解答】解：∵OD⊥AC于点D，AC＝4，DE＝4， ∴AD＝CDAC＝2，∠ADO＝90°， ∵OD2+AD2＝OA2，且OA＝OE＝4﹣OD， ∴OD2+（2）2＝（4﹣OD）2， 解得OD＝1， ∵O是AB的中点，D是AC的中点， ∴BC＝2OD＝2， ∴BC的长是2． 26．（2025•深圳模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D，E在直径AB上，∠DCE＝45°，AE＝AC． （1）求证：BD＝BC； （2）CD的延长线交⊙O于F点，若DF＝3，BC＝7，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ACE＝90°﹣∠AEC， ∵∠DCE＝45°， ∴∠DCB＝135°﹣∠AEC， 在△DCE中，∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠AEC＝135°﹣∠AEC， ∴∠CDE＝∠DCB， ∴BD＝BC； （2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接AF，BF， ∵∠ADF＝∠CDB，∠FAB＝∠DCB， 又∵∠CDB＝∠DCB， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴AF＝DF＝3，H为AD中点， 又∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°， ∴△AHF∽△AFB， ∴， ∴AF2＝AH•AB＝AH（2AH+DB）， 由（1）知BD＝BC＝7， ∴32＝AH（2AH+7）， 得AH＝1或（舍）， ∴AB＝9， ∴⊙O半径为． 27．（2024秋•赣州期中）已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC． （1）用无刻度的直尺找出BC的中点F； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，求证：B、C、D、E四点在同一个圆上． 【解答】（1）解；连接并且延长AO交BC于点F， 点F就是所求的BC的中点． 理由：连接OB、OC，则OA＝OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠FAB＝∠OBA∠AOB，∠FAC＝∠OCA∠AOC， ∴∠FAB＝∠FAC， ∵AB＝AC，AF平分∠BAC， ∴BF＝CF， ∴点F就是所求的BC的中点． （2）证明：连接EF、DF， ∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点，、 ∴EF＝DF＝BF＝CF， ∴B、C、D、E四点都在以BC为直径的圆上， ∴B、C、D、E四点在同一个圆上． 28．（2025•芜湖三模）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，交⊙O于另一点E，OB交DE于F，已知AD＝DF，BC＝BE． （1）求证：AC＝EF． （2）若AC＝2，BC＝3，求OB的长． 【解答】（1）证明：如图△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，交⊙O于另一点E，OB交DE于F，连接CE，EQ， ， ∵AD⊥BC，AD＝DF， ∴AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∵BC＝BE， ∴∠BEC＝∠BCE＝∠BAF＝∠BFA， ∵∠BAC+∠BEC＝∠BFE+∠BFA＝180°， ∴∠BFE＝∠BAC， 在△BEF和△BCA中， ， ∴△BEF≌△BCA（AAS）， ∴AC＝EF； （2）延长BO交⊙O于G，分别连接EG，CG， ∵∠BAF＝∠BGE，∠BAF＝∠BFA，∠BFA＝∠EFG， ∴∠BGE＝∠EFG， ∴EF＝EG， ∵AC＝EF， ∴AC＝EG， ∵AC＝2，BC＝3， ∴BE＝3，EG＝2， ∵∠BEG＝90°， ∴， ∴． 29．（2025•凤阳县二模）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝8，OC＝5，求BC． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝4∠BAC， 又∵∠BOC＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC； （2）解：如图，作OD⊥AB于点D，作CE⊥OB于点E， ∵OD⊥AB，OA＝OB， ∴，，∠BDO＝90°， 由（1）得，∠AOB＝2∠BOC， ∴， ∵CE⊥OB， ∴∠CEO＝90°， ∴∠CEO＝∠BDO， 在△OCE≌△OBD中， ， ∴△OCE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝BD＝4， ∴， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， ∴． 30．（2024秋•建邺区期末）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且AM＝BM．求证：CM＝DM． 【解答】证明：如图，连接CD， ∵AM＝BM， ∴∠A＝∠B， 由圆周角定理得：∠D＝∠A，∠C＝∠B， ∴∠C＝∠D， ∴CM＝DM． 31．（2025•怀远县三模）如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且BD⊥AC于点E． （1）如图1，若AE＝BE，求证：DE＝CE； （2）如图2，连接AB，BC，CD，AD，若CA＝CD，求证：． 【解答】证明：（1）如图1，连接AD，BC， ∵，， ∴∠D＝∠C，∠A＝∠B， ∴△ADE∽△BCE， ∴， ∵AE＝BE， ∴DE＝CE； （2）如图2，过点O分别作OF⊥AC，OG⊥CD，F，G为垂足，连接CO并延长交AD于点H， 则由垂径定理，得，， ∵CA＝CD， ∴CF＝CG， 在△COF和△COG中， ， ∴△COF≌△COG（SAS）， ∴∠ACO＝∠DCO， ∴CH⊥AD， ∴∠AHC＝90°， ∴∠CAD+∠ACH＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠CAD+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠ACH， ∵， ∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠ACB＝∠ACH， ∴． 32．（2025•合肥校级二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，E是OB上一点连接OC，CE． （1）如图1，若∠BOC＝2∠BCE，求证：CE⊥AB； （2）如图2，在（1）条件下，弦BD∥OC．若BE＝2，，求BD长． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵， ∴， 又∵∠BOC＝2∠BCE ∴∠A＝∠BCE， ∴∠BCE+∠B＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵OB＝OC， ∴CE⊥AB； （2）解：过点O作OH⊥BD，垂足为H， 由（1）得CE⊥OB， ∴OC2＝OE2+CE2， 设⊙O的半径OA＝OC＝OB＝r， ∵BE＝2，， ∴， ∴r2＝r2﹣4r+4+6， ∴4r＝10， ∴， ∴， ∵BD∥OC， ∴∠BOC＝∠OBD， 又∵OC＝OB，∠CEO＝∠OHB＝90°， ∴△CEO≌△OHB（AAS）， ∴， 又∵OH⊥BD， ∴． 33．（2024秋•蒙山县期末）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC． （1）求证：BD是半圆O的切线； （2）若∠BAC＝30°，BC＝5，则AC的长． 【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠D＝∠ABC， ∴∠ABD＝180°﹣（∠A+∠D）＝180°﹣（∠A+∠ABC）＝90°， ∴BD是半圆O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5， ∴AB＝2BC＝10， ∴． 34．（2024秋•伊金霍洛旗期末）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O于M，CD交AB于E，DB＝DE． （1）求证：DB是⊙O的切线． （2）若DB＝6，DC＝10，求ME的长． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°． ∵点A是的中点， ∴， ∴∠ABC＝∠ACM， ∵DB＝DE，∠DEB＝∠AEC， ∴∠DBE＝∠DEB＝∠AEC， ∴∠DBC＝∠DBE+∠ABC＝∠AEC+∠ACM＝90°， 即DB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴DB是⊙O的切线； （2）解：∵DB＝6，DC＝10， ∴，DE＝DB＝6，EC＝4， 设ME＝x，则DM＝6﹣x，MC＝x+4， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BMC＝90°． 在直角三角形DBM和直角三角形BMC中，BM2＝DB2﹣DM2，BM2＝BC2﹣MC2， ∴BC2﹣MC2＝DB2﹣DM2， ∴82﹣（x+4）2＝62﹣（6﹣x）2， 解得x， ∴． 35．（2024秋•咸安区期末）如图，△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的半⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是半⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝5，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图，AB是半圆O的直径，连接OD，BD． ∴∠ADB＝90°， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD， ∵AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， 又∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， 又∵OD是圆的半径， ∴DE是半⊙O的切线； （2）解：由（1）知，在Rt△BDC中，， 由勾股定理得：， ∵∠ADB＝∠CDB＝90°，且DE⊥BC， 则， ∴BC•DE＝BD•CD， ∴5DE＝3×4， 解得：． 36．（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°， ∴． 37．（2024秋•海伦市期末）如图，ABCDE为正五边形． （1）求∠A的度数； （2）连接BD，CE，求证：BD＝CE． 【解答】解：（1）正五边形的每一个内角的度数为：108°， 即∠A＝108°； （2）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°， ∴△BCD≌△EDC（SAS）， ∴BD＝EC． 38．（2024秋•东海县月考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB， 由题意可得：∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∵圆心C恰好是△ABO的内心， ∴∠CAO＝∠CAE＝∠CBE＝30°， ∴∠ACB＝120°， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：． 39．（2024秋•姜堰区期中）如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF， ∴∠B＝∠C120°，AB＝BC＝CD＝1+3＝4， ∵点P是BC的中点， ∴BP＝PC＝2， 在△ABP与△PCQ中， ∵2，2， ∴， 又∵∠B＝∠C＝120°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴∠APB＝∠CQP，∠BAP＝∠CPQ， ∵∠APB+∠BAP＝180°﹣120°＝60°， ∴∠APB+∠CPQ＝60°， ∴∠APQ＝180°﹣60°＝120°． 40．（2024秋•淮安区月考）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝4，OH⊥BC，垂足为H，求这个正六边形的周长和面积． 【解答】解：连接OB，OC，如图： ∴OB＝OC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴BC＝OB＝4， ∴正六边形的周长＝6×4＝24． ∵OH⊥BC， ∴BHBC＝2， ∴OH2， ∴正六边形的面积＝6S△AOB＝64×224． 41．（2025•武汉校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下， 如图所示，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB∥OE， ∴∠OBD＝∠COE，∠ODB＝∠DOE， ∴∠DOE＝∠COE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△DOE≌△COE（SAS）， ∴∠ODE＝∠OCE＝90°， 又OD是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°，BC＝8，AB∥OE， ∴， ∴∠COE＝60°＝∠DOE， ∴OE＝2OC＝8，， ∴， ∴， ∵∠COD＝60°+60°＝120°，OC＝OD＝4， ∴， ∴阴影部分的面积＝S四边形OCED﹣S扇形COD ， ∴图中阴影部分的面积为． 42．（2024秋•延长县期末）如图⊙O的半径为6cm，扇形BAC的圆心角为90°，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【解答】解：如图，连接AC，OB， 由条件可知AC为⊙O的直径， ∴圆心O在直径AC上， 设⊙O的半径为r，扇形BAC的半径为R， 则r＝OA＝OB＝OC＝6cm，R＝AB＝BC， ∵AB＝BC，OA＝OC， ∴OB⊥AC， ∴∠AOB＝90°， 根据勾股定理可得： ， 即：， ∴阴影部分的面积为： S阴影＝S⊙O﹣S扇形BAC ＝36π﹣18π ＝18π． 43．（2025•武安市二模）如图1是一个手表，其表盘可以看作是一个标准的圆形，图2是简化的示意图，一侧表带与表盘链接处的弧长（或）为表盘⊙O的周长的．已知表带的宽度AB和CD均为3cm． （1）求表盘⊙O的直径和表盘圆心O到表带边缘AB的距离； （2）求表带被表盘覆盖的面积（阴影部分）． 【解答】解：（1）作半径OE⊥AB于H点，连结OA、OB，如图， 设∠AOB＝n°，⊙O的半径为R cm， ∵的长度为⊙O的周长的． ∴2πR， 解得n＝60°， 即∠AOB＝60°， ∴OA＝OB＝AB＝3cm， ∴⊙O的直径为6cm； ∵OH⊥AB， ∴AH＝BHABcm， ∴OHcm， 答：表盘⊙O的直径为6cm；表盘圆心O到表带边缘AB的距离为cm． （2）表带被表盘覆盖的面积（阴影部分）＝2×（32）＝（3π）cm2． 44．（2025•广西模拟）如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，OD＝4． （1）求证：△BCE≌△ODE； （2）求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）由条件可知CE＝ED． 因为∠BCD＝30°， 所以∠DOE＝2∠BCD＝60°， 所以∠ODE＝90°﹣60°＝30°， 所以∠ODE＝∠BCE， 又因为∠BEC＝∠OED＝90°， 所以△BCE≌△ODE（ASA）； （2）S阴影＝S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC ＝S扇形ODB ． 45．（2025•陆丰市一模）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【解答】解：（1）根据题意得π•DE， ∴DEAD， ∴ED与母线AD长的比值为； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， 而AD＝2DE＝10cm， ∴BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF 10×20 ＝（100﹣25π）cm2． 答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2． 46．（2024秋•莱州市期末）有一直径为m的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 【解答】解：（1）连接BC，∵∠A＝90°， ∴BC为⊙O的直径． 在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2+AC2＝BC2， ∴AB＝AC＝1， ∴S阴影＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π•（）2πππ（m2）； （2）设圆锥底面半径为r，则长为2πr． ∴2πr， ∴r（m）； （3）S全＝S侧+S底＝S扇形ABC+S圆π+（）2•ππm2． 47．（2024秋•博山区期末）已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm． （1）求扇形AOB的弧长和扇形面积； （2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH． 【解答】解：（1）扇形AOB的弧长4π（cm）； 扇形AOB的扇形面积12π（cm2）； （2）如图，设圆锥底面圆的半径为r， 所以2πr＝4π，解得r＝2， 在Rt△OHC中，HC＝2，OC＝6， 所以OH4（cm）． 48．（2024秋•弋阳县期末）\如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∠BOD＝120°， ∵AB＝4， ∴BF＝2， ∴OB， ∴S扇形π． （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴2πr， ∴r． ∴这个圆锥底面圆的半径为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $