4.2.2指数函数及其性质的应用导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦指数函数及其性质的应用，涵盖单调性判断、大小比较、不等式求解与奇偶性分析等核心内容，通过“图象位置关系—比较大小—解不等式—复合函数单调性”层层递进的知识脉络构建学习支架，帮助学生从直观感知走向理性推理，实现从具体到抽象的思维跃迁。 资料亮点突出，体现数学核心素养的深度融合。以“数形结合”强化几何直观，用“分类讨论”提升逻辑推理能力，借助典型例题设计引导学生主动建构知识体系，尤其在例题3-1和4-2中展现对复合函数单调性的深度剖析，培养学生用数学语言表达现实问题的能力，促进创新意识与理性精神的发展。

第四章 指数函数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 §4．2．2 指数函数及其性质的应用 导学目标： 1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．【重点】【难点】 2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．【难点】 3．会解简单的指数方程、不等式．【重点】【难点】 4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法【重点】 【典型例题】 【知识要点】 图象位置关系 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系 (1)“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数减小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数增大.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图. (2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称. 比较大小 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 解指数方程 不等式 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. 【典型例题】 题型一　利用指数函数的单调性比较大小 注意： 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1. 【例1-1】比较下列各题中两个值的大小. ①2.3－2.5与2.3－3； ②1.80.2与1.50.2； ③1.010.3与0.85.1. 【例1-2】设a＝0.30.6，b＝0.31.2，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【例1-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二　简单的指数不等式的解法 【例2-1】解不等式不等式2x<42－3x. 【例2-2】若，求x的取值范围． 题型三　指数型函数的单调性 【例3-1】函数的单调递减区间是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞) 【例3-2】已知函数，判断函数f(x)的单调性；并求函数f(x)的值域． 【例3-3】求函数f(x)＝ 的单调区间. 题型四　指数函数性质的综合问题 【例4-1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数. (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 【例4-3】函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求实数m的值； (3)当时，不等式在恒成立，求k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $