2025-2026学年人教版数学八年级上册第十三章 三角形单元检测卷

第十三章 三角形单元检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 5．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 8．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 10．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分 ） 11．三角形的三条边分别为2，4，，则第三边长的范围是 ． 12．如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 13．一个六角星，其中，则 ． 14．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 15．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 12题 13题 14题 15题 16题 17题 17．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 18．如图所示，已知，则 ． 三、解答题（共9题，共66分） 19．（5分）如图所示，是内的一点，试说明：． 20． （5分）若a，b，c是的三边，化简． 21．（6分）已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 22．（10分）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 23．（8分）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 24．（6分）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 25．（6分）如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 26．（10分）（1）如图，平分，平分，，求证：； （2）如图2，，，在线段上找一点，使，当直角顶点移动时，问与是否存在确定的数量关系？并说明理由． 27．（10分）在中，已知． (1)如图1，的平分线相交于点D． ①当时， 度； ②时， 度； ③猜测与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C C B D C A 1．B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握“等角对等边”是解决本题的关键． 根据三角形内角分别是、、，由两个相等的角，再结合三角形的分类标准进行判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角分别是、、， 有两个相等的角均为， 由等角对等边，可知这个三角形一定是等腰三角形． 故选：B ． 3．B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 6．C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 10．A 【分析】 本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求得范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 13． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得：，， ∴； 由三角形外角性质可得：，， ∴； ∴． 故答案为：． 14．40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 15．18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 16． 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了三角形内角和的应用． 根据三角形内角和求出，进而根据三角形内角和即可求出． 【详解】解：由图可知 ， ， ． 故答案为： 19．见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在、、中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得． 【详解】证明：在中，， 同理可得：，， ， ． 20． 【分析】此题主要考查三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边 同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵a、、是的三边长， ， ． 21．(1)的面积为 (2) 【分析】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，，， ， ∵点E是的中点， ∴的面积； （2）解：在直角三角形中，于D， ， ∴， ∴ 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2）， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 23．(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 24．(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 25．(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）通过角平分线定义得到角的倍数关系，结合直角三角形两锐角互余，推出同旁内角互补，进而证明两直线平行． （2）作平行线，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合角平分线定义和直角三角形的性质，推导出角的数量关系． 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分平分， ． ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过作，如图． ， ， ， ， ，， ∴， ． 27．(1)；40；，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键． （1）①由三角形内角和定理、角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求；②求出，即可得到答案；③由三角形内角和定理和角平分线，采用①的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得，结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）①∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ 故答案为： ②∵ ∴ ∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ ∴ 故答案为：40 ③ 证明：∵，， ∴ ． （2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE ∴，， ∴＝ 即． （3）由轴对称性质知： ， 由（1）③可得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $