22.3实际问题与二次函数专题练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数 1 学科网（北京）股份有限公司 第一课时 运动与面积问题 一、夯实基础 1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(　　) A．4 cm2　 B．8 cm2　 C．16 cm2　 D．32 cm2 2．如图所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(　　) A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大 第2题图 第3题图 3.利用一面墙,其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地,墙长为30米,则围成矩形场地的最大面积为(　　) A.800平方米 B.750平方米 C.600平方米 D.2400平方米 4.在边长为4 m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是 ，y的最大值是____m2. 5.一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)， 当AB=　　m时,矩形土地ABCD的面积最大.  二、能力提升 6.△ABC是直角三角形,∠A=90°, AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿 AB方向以2 cm/s的速度向点B运动； 同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则△AQP面积的最大值是 (　　) A.8 cm2 B.16 cm2 C.24 cm2 D.32cm2 第5题图 第6题图 7.如图,工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计). (1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形的边长; (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,当裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低?最低为多少元? 8.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 三、 核心素养拓展 9.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为多少s时,四边形EFGH的面积最小？并求出面积最小值为多少？ 10.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少? 第二课时利润的最值问题 一、夯实基础 1.将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价____． 2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么： (1)求y关于x的二次函数关系式； (2)当销售单价定为多少元时，日均获利最大？并求日均获利最大利润为多少元？ 3．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 二、能力提升 4..在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数． (1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)； (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？ 5.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)； (2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 三、核心素养拓展 6.某塑料玩具生产公司为了减少空气污染,国家要求限制塑料玩具生产,这样有时企业会被迫停产,经过调研预测,它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2 +14n-24,则企业停产的月份为（ ） A.2月和12月 B.2月至12月 C.1月 D.1月、2月和12月 7.水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额) 第三课时生活中抛物线的模型问题 一、夯实基础 1．如图1，我市新建一座大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需(　　) 图1 A．30 s　　　B．38 s C．40 s D．36 s 2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图2，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4米　　 B．3米　　 C．2米　　 D．1米 图2 3.如图3所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥顶的高度h是(　　) A．3 m B．2 m C．4 m D．9 m 图3 4．图4(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m，如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(　　) 图4 A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－x2 D．y＝x2 5.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是____m. 二、能力提升 6.如图5所示，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离是多少米？ 图5 7．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论. 8.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈。如图所示,建立平面直角坐标系,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身 高1.9m,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25m处出手,球出手时,他跳离地面的高度是( ) A.0.1m B.0.2m C.0.3m D.0.4m 三、 核心素养拓展 9.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式． 【解析】 (1)M在x轴正半轴上，OM＝12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)； (2)用顶点式求抛物线解析式． 答案：22.3实际问题与二次函数 第一课时 运动与面积问题 1.A 2.A 3.B 4.y＝－x2＋16(1≤x<4) 15 5.150 6. B 7.解:(1)如图所示: 设裁掉的正方形的边长为a dm. 由题意可得(10-2a)(6-2a)=12, 即a2-8a+12=0,解得a1=2,a2=6(舍去). 答:当裁掉的正方形的边长为2 dm时,长方体底面面积为12 dm2. (2)设裁掉的正方形的边长为x dm. ∵长方体的底面长不大于底面宽的五倍,∴10-2x≤5(6-2x),解得x≤2.5, ∴0<x≤2.5. 设总费用为w元,由题意可知: W=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x) =4x2-48x+120=4(x-6)2-24. ∵此函数图象的对称轴为直线x=6,图象开口向上, ∴当0<x≤2.5时,W随x的增大而减小,∴当x=2.5时,W有最小值,最小值为25. 答:当裁掉的正方形边长为2.5 dm时,总费用最低,最低为25元. 8.解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ， PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x， ∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)． （2）由(1)知y＝－x2＋9x， ∴y＝－＋. ∵当0<x≤时，y随x的增大而增大，∵0<x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2. 9.解：设运动时间为t(0≤t≤6), 则AE=t, AH=6-t 根据题意得： S四边形EFGH=S正方形ABCD -4S△AEH =6×6-4×t(6-t)=2t2-12t+36 =2(t-3)2+18 ∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18. 10.解:(1)∵三块矩形区域的面积相等, ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍, ∴AE=2BE. 设BE=a,则AE=2a, ∴8a+2x=80, ∴a=x+10,2a=x+20, ∴3a=x+30 y=x(x+30)=x2+30x ∵ ∴0<x<40, 则y=x2+30x(0<x<40). (2)∵y=x2+30x=(x-20)2+300(0<x<40),且二次项系数为,<0, ∴当x=20时,y有最大值,最大值是300. 第二课时 利润的最值问题 1. 5元 2.(1)当销售单价为x元时， ∴y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500 ＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)． (2) 因为y＝－2x2＋260x－6 500 ＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元． 3.解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x) 即y＝－10x2＋100x＋2 000(0<x≤12且x为整数)． (2)y＝－10x2＋100x＋2 000 ＝－10(x2－10x)＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250， ∴当x＝5时，y有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元． 4.解：(1)设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b. 由题意可得： 解得 故y与x的函数关系式为：y＝－3x＋108. (2)每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2 160＝－3(x－28)2＋192. 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． 5.解：(1)1 400－50x； (2)y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝ －50x2＋1 400x－4 800＝－50(x－14)2＋5 000， 当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5 000， ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元． (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0， 即－50(x－14)2＋5 000＝0， 解得x1＝24，x2＝4，但x2＝24不合题意，舍去， ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏． 6. D 7.解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得： 80(a＋2)＝88a 解之得：a＝20 答：现在实际购进这种水果每千克20元． (2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b 将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得： 解得：k＝－11，b＝440 ∴y＝－11x＋440 ②设最大利润为W元，则 W＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11(x－30)2＋1 100 ∴当x＝30时，W最大值＝1 100 答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元． 第三课时生活中抛物线的模型问题 1.D 2.A 3.D 4.C 5.10 6.根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有 第6题图 解得a＝2，b＝－4，c＝2.5， ∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5， 即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)， 所以绳子最低点距离地面的距离为0.5 m. 7．(1) y＝x2－2x－3； (2) AD⊥BC； 8.A 9.解：(1)M(12，0)，P(6，6)； (2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6. ∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点 (0，0)， ∴0＝a(0－6)2＋6，解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x. 38 学科网（北京）股份有限公司 $