1.1集合的概念提升练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 题组一　集合的概念与元素的特性 1.下面给出的四类对象中,能构成集合的是(　　) A.某班视力较好的同学　　　　B.某小区长寿的人 C.π的近似值 D.方程x2=1的实数根 2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是(　　) A.锐角三角形　　　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形 3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则A中的元素个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 题组二　元素与集合的关系 4.给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3∉Z;④|-3|∉N;⑤0∉Q.其中正确的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.已知集合A={x|3x+2>m},若-1∉A,则实数m的取值范围是(　　) A.m<-1　　B.m>-1　　C.m≥-1　　D.m≤-1 6.已知集合A={1,a2+2a,a+2},若3∈A,则a=(　　) A.1　　B.-3　　C.-3或1　　D.3 题组三　集合的表示方法 7.若集合A={x|-1≤x≤4,x∈N},则集合A中的元素个数为(　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.6 8.方程组的解组成的集合是(　　) A.{1,6}　　　　B.{x=3,y=2}　　 C.{(1,6)}　　　　D.{(3,2)} 9.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是(　　) A.{x|x≤-3或x≥3}　　　　B.{x|-3≤x≤3} C.{x|x≤-3}　　　　D.{x|x≥3} 10.(多选题)下列各组中,M,P表示不同集合的是(　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} 11.集合A=xx∈Z,且∈N用列举法可表示为A=　　　　.  12.(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合; (2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集. 答案与解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 基础过关练 1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.ABD 1.D　A,B,C均不满足集合中元素的确定性.方程x2=1的实数根为-1,1,具有确定性,能构成集合.故选D. 2.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两互不相等,故选D. 3.C　易得方程x2-3x+2=0的解为1,2,方程x2-5x+6=0的解为2,3, ∴集合A={1,2,3},共有3个元素.故选C. 4.A　易知仅有π∈R正确,故选A. 5.C　∵集合A={x|3x+2>m},-1∉A,∴3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故选C. 6.B　因为A={1,a2+2a,a+2},3∈A, 所以a2+2a=3或a+2=3,解得a=-3或a=1, 当a=-3时,A={1,3,-1},符合题意;当a=1时,a2+2a=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去, 因此a=-3.故选B. 7.C　由A={x|-1≤x≤4,x∈N}得A={0,1,2,3,4},所以集合A中的元素个数为5.故选C. 8.D　解方程组得故所求集合是{(x,y)|x=3,y=2}或{(3,2)}.故选D. 9.B　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3,即-3≤x≤3,因此所求的集合为{x|-3≤x≤3},故选B. 10.ABD　选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意;选项B,集合M的元素为点(3,1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意;选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意;选项D,集合M的元素为y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意.故选ABD. 11.答案　{-2,2,4,5} 解析　∵A=xx∈Z,且∈N,∴6-x是8的约数且x∈Z,∴6-x=8,4,2,1,且x∈Z,∴x=-2,2,4,5,故A={-2,2,4,5}. 12.解析　(1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}. (2)因为-1<2x+3<9,所以-2<x<3, 所以不等式的解集为{x|-2<x<3}. 1.2　集合间的基本关系 题组一　子集、真子集和空集 1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是(　　) A.1∈A　　　　B.{-1}⊆A　　C.{-1}∈A　　　　D.{-1,1}=A 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 4.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.{0}∈{0,1}　　　　B.⌀∈{0}C.{1,2}⊆Z　　　　D.⌀⫋{0,1} 5.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.M=P⫋N　　　　B.P⫋M=N　　C.M⊆N⫋P　　　　D.N⊆M⫋P 题组二　集合间的关系及其应用 6.设集合A={0,-a},B={1,-1,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.-1 7.已知集合A={x|x<a},B={0,3},若B⫋A,则a的取值范围是(　　) A.{a|a≥3}　　　　B.{a|a>3} C.{a|a>0}　　　　D.{a|a≥0} 8.(多选题)已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x⊆A},则关于集合A、B、C之间的关系,下列结论正确的有(　　) A.A=B　　B.A⫋B　　C.A=C　　D.A⊆C 9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　.  10.设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B⊆A,则m的取值范围是　　　　.  11.(2024河北卓越联盟月考)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}. (1)若A恰有一个子集,求a的取值范围; (2)若A恰有一个元素,求a的取值集合. 7 学科网（北京）股份有限公司 答案与解析 1.2　集合间的基本关系 1.C 2.D 3.D 4.AB 5.B 6.B 7.B 8.AD 1.C　集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,-1∈A,{-1}⊆A,故A,B,D正确,C错误.故选C. 2.D　由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A⊆C⊆B, ∴满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个,故选D. 3.D　选项A,{x|x+3=3}={0}; 选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{x|x2≤0}={0}; 选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D. 4.AB　∵{0}⊆{0,1},∴A错误;∵⌀⊆{0},∴B错误;∵{1,2}⊆Z,∴C正确;易知D正确.故选AB. 5.B　因为M={x|x=3m-1,m∈Z}, N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z}, P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z}, 所以P⫋M=N.故选B. 6.B　由A⊆B得2a-2=0,解得a=1, 此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.故选B. 7.B　因为B⫋A,故0,3均为A={x|x<a}中的元素,所以a>3,故选B. 8.AD　集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N}={0,1}=A,选项A正确,B错误; C={x|x⊆A}={⌀,{0},{1},{0,1}},则A⊆C,选项C错误,D正确.故选AD. 9.答案　A=B 解析　A==…,-,-,-,,,,…, B==…,-,-,-,,,,…,故A=B. 10.答案　 解析　当B=⌀时,m>2m-1,即m<1,满足B⊆A; 当B≠⌀时,由B⊆A得解得1≤m≤. 综上所述,m的取值范围是. 11.解析　(1)若集合A恰有一个子集,则集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0无实根, 故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范围是{a|a>1}. (2)当a=0时,方程为2x+1=0,得x=-,此时集合A只有一个元素,符合题意; 当a≠0时,由题意得Δ=4-4a=0,解得a=1. 所以a的取值集合为{0,1}. 1.3　集合的基本运算 题组一　并集与交集的运算 1.集合A={x|-1≤x≤2},B={x∈N|x<2},则A∩B=(　　) A.{x|x<2}　　　　B.{x|x≥1}　　 C.{0,1}　　　　D.{x|-1≤x<2} 2.已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1<x<4},则A∪B=(　　) A.{x|1<x≤3}　　　　B.{x|0≤x<4} C.{x|1≤x≤3}　　　　D.{x|0<x<4} 3.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(　　) A.⌀　　B.S　　C.T　　D.Z 4.集合M={(x,y)|2x+y=0},N={(x,y)|x+y-3=0},则M∩N=(　　) A.{-3,6}　　　　B.(-3,6)　　 C.{(-3,6)}　　　　D.{(3,-6)} 题组二　补集的运算及其与交集、并集的综合运算 5.已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},则∁UA=(　　) A.{x|x<-1,或x>2}　　　　B.{x|-1<x≤2} C.{x|x≤-1,或x≥2}　　　　D.{x|-1<x<2} 6.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={x∈U|x为素数},B={x∈U|x为奇数},则集合∁U(A∩B)=(　　) A.{2,4,6,8,10}　　　　B.{2,4,6,8,9,10} C.{1,2,4,6,8,9,10}　　　　D.{1,2,3,5,7} 7.如图,已知U为全集,集合A,B均为U的子集,则A∩(∁UB)表示区域(　　) A.Ⅰ　　B.Ⅱ　　C.Ⅲ　　D.Ⅳ 8.已知全集U={x∈N*|x<9},(∁UA)∩B={1,6},A∩(∁UB)={2,3},∁U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　) A.{2,3,4}　　　　B.{1,4,6} C.{4,5,7,8}　　　　D.{1,2,3,6} 题组三　利用集合的运算解决参数问题 9.设集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠⌀,则实数a=(　　) A.-2　　　　B.-1　　 C.-1或-2　　　　D.-1或±2 10.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=　　　　.  11.设集合M={x|-4<x<3},N={x|t+2<x<2t-1,t∈R},若M∩N=N,则实数t的取值范围为　　　　.  12.设m为实数,集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m≤x≤m+2}. (1)若m=3,求A∪B,∁R(A∩B); (2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围. 答案与解析 1.3　集合的基本运算 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 1.C　由题意知,B={0,1},故A∩B={0,1}.故选C. 2.B　由A={x|0≤x≤3},B={x|1<x<4}, 得A∪B={x|0≤x<4}.故选B. 3.C　当n是偶数时,设n=2k,k∈Z,则s=2n+1=4k+1,k∈Z,当n是奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则s=2n+1=4k+3,k∈Z,因此T⫋S,所以S∩T=T,故选C. 4.C　联立方程解得所以M∩N={(-3,6)},故选C. 5.B　借助数轴可得∁UA={x|-1<x≤2}.故选B. 6.C　由题可得A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9}, 则A∩B={3,5,7}, 所以∁U(A∩B)={1,2,4,6,8,9,10}.故选C. 易错警示　求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下的补集是不同的. 7.B　由题图可知,集合A包含Ⅱ,Ⅲ两部分,集合∁UB包含Ⅰ,Ⅱ两部分,所以A∩(∁UB)表示的区域为Ⅱ,故选B. 8.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}. 9.A　由A∩B≠⌀,得a2-2=2或a2-2=a或a=-1, 由a2-2=2,得a=-2或a=2;由a2-2=a,得a=-1或a=2.当a=-1时,a2-2=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=-2时,A={2,-2},B={-1,2},符合题意; 当a=2时,不满足集合中元素的互异性,舍去. 所以a=-2.故选A. 10.答案　-3 解析　∵U={0,1,2,3},∁UA={1,2},∴A={0,3}. ∵A={x∈U|x2+mx=0},∴0,3为x2+mx=0的两个根,∴m=-3. 11.答案　{t|t≤3} 解析　由M∩N=N得N⊆M(口诀:“越交越小”), 当N=⌀时,有t+2≥2t-1,解得t≤3,满足N⊆M; 当N≠⌀时,由N⊆M得无解. 综上,实数t的取值范围是{t|t≤3}. 12.解析　(1)当m=3时,B={x|3≤x≤5}, 又A={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x≤5}, A∩B={x|3≤x≤4},所以∁R(A∩B)={x|x<3或x>4}. (2)由A∩B=⌀得m+2<-2或m>4, 即m<-4或m>4, 所以实数m的取值范围是{m|m<-4或m>4}. 1.4　充分条件与必要条件 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.已知p:0<x<2,q:-1<x<3,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°,底角为72°的等腰三角形,另一种是顶角为108°,底角为36°的等腰三角形,则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设M,N为两个集合,则“M∪N≠⌀”是“M∩N≠⌀”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 5.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中正确命题的序号是(　　) A.①　　　　B.②　　 C.③　　　　D.④ 6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　　) ①若x,y是偶数,则x+y是偶数; ②若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根; ③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; ④若ab=0,则a=0. A.0个　　　　B.1个　　 C.2个　　　　D.3个 7.(多选题)下列结论中正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件 B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件 C.“0<a<4”是“不等式ax2+ax+1>0恒成立”的充要条件 D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 8.已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”是“(∁UB)⊆(∁UA)”的　　　　条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答).  题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 9.使x2<4成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x<2　　　　B.0<x<2　　 C.-2≤x≤2　　　　D.x>0 10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　) A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0 11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件填在下面横线处(用序号填空): (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;  (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;  (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.  12.(教材习题改编)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 13.若“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1 14.若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  15.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(∁RP)∩Q; (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 16.已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求3a+4b的值. 答案与解析 1.4　充分条件与必要条件 1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B 10.BC 13.B 1.A　因为{x|0<x<2}⫋{x|-1<x<3},所以p是q的充分不必要条件.故选A. 2.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故选C. 3.B　若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形,则△ABC不是黄金三角形,充分性不成立; 反之,若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件.故选B. 4.B　由M∪N≠⌀,得M,N中至少有一个不是空集,而M∩N可能是空集, 因此M∪N≠⌀推不出M∩N≠⌀,所以充分性不成立; 由M∩N≠⌀,说明M,N都不是空集,且M与N至少有一个公共元素,因此M∪N≠⌀, 即由M∩N≠⌀能推出M∪N≠⌀,所以必要性成立.因此“M∪N≠⌀”是“M∩N≠⌀”的必要不充分条件. 故选B. 5.C　根据题意,可得p⇒r,r⇒s,s⇒p,q⇒r且r⇒/q, 因此p、r、s两两互为充要条件,并且q是p的充分不必要条件,所以只有③正确.故选C. 6.D　对于①,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程x2-2x+a=0有实根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若a=0,则ab=0,故④符合题意.故选D. 7.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确; 对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.故选AB. 8.答案　充要 解析　由A∩B=A,得A⊆B,故(∁UB)⊆(∁UA),充分性成立; 由(∁UB)⊆(∁UA)得A⊆B,故A∩B=A,必要性成立, 所以“A∩B=A”是“(∁UB)⊆(∁UA)”的充要条件. 9.B　由x2<4,得到-2<x<2,结合选项知使x2<4成立的一个充分不必要条件是0<x<2,故选B. 解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解. 10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4. 设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4, 又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负, 所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C.故选BC. 解题模板　解决充分条件、必要条件的探究问题,常先探究其充要条件,再利用充要条件进行判断. 11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0; ②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负; ③a(a2+b2)=0⇔a=0或 ④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0. 12.证明　必要性:因为a+b=1, 所以a+b-1=0. 所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0,所以a≠0且b≠0. 则a2-ab+b2=+b2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1. 综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 易错警示　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反了. 13.B　因为“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件, 所以集合{x|-1<x<3}是集合{x|x>2a-3}的真子集,故有2a-3≤-1⇒a≤1,故选B. 14.答案　{a|a≥3} 解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,∴{x|x>a}⫋{x|x≤2或x≥3},∴a≥3. 15.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7},∁RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5}, 所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}. (2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集, 又Q={x|-2≤x≤5},P≠⌀, 所以或解得0≤a≤2. 故a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P、Q,则p是q的充分条件⇔P⊆Q,p是q的必要条件⇔Q⊆P. 16.解析　依题意得B⊆A,B≠⌀,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}. 当B={-1}时,有⇒ 所以3a+4b=3×(-2)+4×=-; 当B={3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×6+4×3=30; 当B={-1,3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2. 综上,3a+4b的值为-或30或2. 1.5　全称量词与存在量词 题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断 1.下列不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,x2>3成立 C.任选一个x∈R,都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 2.下列命题是全称量词命题的有(　　) A.有些实数没有倒数 B.所有的矩形都有外接圆 C.存在一个实数与它的相反数的和为0 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 3.下列命题为真命题的是(　　) A.∀x∈R,x2-x+≥0 B.所有的矩形都是正方形 C.∃x∈R,x2+2x+2≤0 D.∃x∈R,x2+1=0 4.(多选题)在下列命题中,真命题有(　　) A.∃x∈R,x2+x+3=0B.∀x∈Q,x2+x+1是有理数 C.∃x,y∈Z,使3x-2y=10D.∀x∈R,x3-x2+1≤0 5.(多选题)下列命题中,是真命题的有(　　) A.设A,B为两个集合,若A⊆B,则对任意x∈A,都有x∈B B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x∉B C.∀x∈{y|y是无理数},x2是有理数 D.∃x∈{y|y是无理数},x3是无理数 6.(多选题)下列命题是真命题的有　(　　) A.所有平行四边形的对角线都互相平分 B.若x,y是无理数,则xy一定是有理数 C.若m<1,则关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根 D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比 7.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假. (1)存在一个四边形不是平行四边形; (2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点; (3)每个二次函数的图象都有最低点; (4)矩形有一个外接圆. 题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 8.已知命题p:∃x<1,x2≤1,则¬p为(　　) A.∀x≥1,x2>1　　　　B.∃x<1,x2>1　　 C.∀x<1,x2>1　　　　D.∃x≥1,x2>1 9.已知:①∀x∈R,x2+x+1>0;②不存在实数x,使x3+1=0;③∀n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　) A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④ 10.命题“∃x∈{x|x≥0},x2-kx+1>0”的否定是　　　　.  11.若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　.  12.(2024山东联考)写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)命题p:梯形的内角和是360°; (2)命题q:∀a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象关于y轴对称. 题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用 13.已知命题p:∃x∈R,x2+8x+a=0是假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.0<a<4　　B.a>16　　C.a<0　　D.a≥4 14.(多选题)已知命题p:∃x∈R,ax2-4x-4=0为真命题,则a的值可以为(　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3 15.命题“∀x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　) A.a≤4　　B.a≤2　　C.a≥3　　D.a≤0 16.若“∃x∈{x|1≤x≤3},2x+a≥0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.  17.某学校开展小组合作学习模式,高二某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙略加思索,也给了甲一道题:若“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.这两位同学出的题中m的取值范围是否一致?请说明理由. 18.已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+3x+2-a=0. (1)当p为假命题时,求实数a的取值范围; (2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围. 答案与解析 1.5　全称量词与存在量词 1.C 2.B 3.A 4.BC 5.ABD 6.AD 8.C 9.B 13.B 14.BCD 15.A 1.C　“∃”是存在量词,选项A中“有一个”,选项B中“有些”,选项D中“至少有一个”都是存在量词,与“∃”表述相同;选项C中“任选一个”是全称量词,不符合题意.故选C. 2.B　对于A,含有存在量词“有些”,为存在量词命题; 对于B,含有全称量词“所有的”,为全称量词命题; 对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题; 对于D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题. 故选B. 3.A　对于A,∀x∈R,x2-x+=≥0,A为真命题;对于B,只有长和宽相等的矩形才是正方形,B为假命题;对于C,∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,C为假命题;对于D,x2+1=0无实根,D为假命题.故选A. 4.BC　因为x2+x+3=+>0,所以A是假命题;因为x是有理数,所以x2+x+1也是有理数,所以B是真命题;当x=4,y=1时,3x-2y=10,所以C是真命题;当x=0时,x3-x2+1=1>0,所以D是假命题.故选BC. 5.ABD　对于A,因为A⊆B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故是真命题;对于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x∉B,故是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故是真命题.故选ABD. 6.AD　易知A是真命题;当x=,y=时,xy=,是无理数,所以B是假命题;由关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根,得解得0<m<1,所以C是假命题;两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比,所以D是真命题.故选AD. 7.解析　(1)存在量词命题.梯形不是平行四边形,所以该命题为真命题. (2)全称量词命题.与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题. (3)全称量词命题.对于y=ax2+bx+c(a≠0),当a<0时,其图象有最高点无最低点,所以该命题为假命题. (4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.以矩形的对角线为直径的圆是其外接圆,所以该命题为真命题. 8.C　改量词“∃”为“∀”,否结论“x2≤1”为“x2>1”,故选C. 9.B　x2+x+1=+>0,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2<n,故③为假命题.由于命题和它的否定真假相反,故符合题意的是②③.故选B. 方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择. 10.答案　∀x∈{x|x≥0},x2-kx+1≤0 11.答案　∃x∈R,>0或x=2 解析　<0隐含x-2≠0,故其否定为>0或x=2. 易错警示　写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0. 12.解析　(1)¬p:有一个梯形的内角和不是360°. 因为所有梯形的内角和都是360°,所以¬p是假命题. (2)¬q:∃a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象不关于y轴对称. 对于y=9x2+7a,用-x替换x,仍成立,故其图象关于y轴对称,所以¬q是假命题. 13.B　若命题p为假命题,则其否定为真命题,∴∀x∈R,x2+8x+a≠0,∴Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B. 解题模板　利用命题p或命题¬p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题¬p真与命题¬p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题¬p为真时参数的范围是∁UA(U是全集),命题¬p为假时参数的范围是A. 14.BCD　∵p为真命题,∴关于x的方程ax2-4x-4=0有实数根. 当a=0时,解得x=-1,符合题意; 当a≠0时,Δ=16+16a≥0,解得a≥-1,且a≠0. 综上,a的取值范围是{a|a≥-1}.故选BCD. 15.A　由题意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3, 结合选项可知,{a|a≤3}⫋{a|a≤4}, 因此a≤4是命题“∀x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A. 16.答案　a<-6 解析　依题意得“∀x∈{x|1≤x≤3},a<-2x”是真命题,当1≤x≤3时,-6≤-2x≤-2,则a<(-2x)min=-6,故实数a的取值范围为a<-6. 17.解析　两位同学出的题中m的取值范围是一致的. 理由如下:∵“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,而“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,∴两位同学出的题中m的取值范围是一致的. 18.解析　(1)由p为假命题,得¬p为真命题,即∃x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2. (2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2. 当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-. 所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是. $