1.1集合的概念课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 题组一　集合的概念与元素的特性 1.已知a∈R,b∈R,若集合与{a2,a+b,0}相等,则a2 023+b2 024的值为(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　) A.-8　　B.-16　　C.8　　D.16 3.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　.  题组二　元素与集合的关系 4.若x∈{1,2,x2},则x的值为(　　) A.0,2　　B.0,　　C.1,2　　D.0,1,2 5.(2024山东临沂期中)已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则(　　) A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.a+b不属于P,Q,M中的任何一个 6.若M为关于x的一元二次方程x2-ax-5=0的所有实数根组成的集合,且-5∈M,则集合M中所有元素之和为　　　　.  7.已知集合A={1,2,3,4,6},B=,则集合B中的元素个数为　　　　.  8.设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值构成的集合为　　　　.  题组三　集合的综合问题 9.(多选题)设非空集合S={x|m≤x≤n},其中m,n∈R,若集合S满足:当x∈S时,有x2∈S,则下列结论正确的是　(　　) A.若m=1,则S={x|x≥1} B.若m=-,则≤n≤1 C.若n=,则-≤m≤0 D.若n=1,则-1≤m≤0 10.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A. (1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素; (2)判断集合A是不是双元素集合,并说明理由; (3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A. 答案与解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 1.B 2.C 4.A 5.B 9.BC 1.B　根据题意得a≠0,故=0,则b=0,因此{a,0,1}与{a2,a,0}相等,由集合中元素的互异性知a≠1,故a2=1,故a=-1,当a=-1,b=0时,{-1,0,1}={1,-1,0},符合题意,所以a2 023+b2 024=-1.故选B. 2.C　由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8.故选C. 3.答案　6 解析　若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故此种情况不成立. 若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况. 若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况. 若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况. 综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6. 方法技巧　先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论. 4.A　当x=1时,x2=1,不满足集合中元素的互异性; 当x=2时,集合为{1,2,4},成立; 当x=x2时,x=1(舍去)或x=0,当x=0时,集合为{1,2,0},成立. ∴x=0或x=2.故选A. 解题模板　由集合中元素的特性求参数的值的步骤 5.B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1(k1,k2,k∈Z),∴a+b∈Q.故选B. 解题模板　集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足P(x),则a∈A. 6.答案　-4 解析　∵-5∈M,∴25+5a-5=0,解得a=-4,∴原方程为x2+4x-5=0,由根与系数的关系得,集合M中所有的元素之和为-4. 7.答案　13 解析　∵集合A={1,2,3,4,6}, ∴B==1,,,,,2,,3,,,4,,6, ∴集合B中的元素个数为13. 8.答案　{4} 解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a++7=4. 当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=4时,A=2,3,4,,B={2,3},满足题意. 当a++7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2, 当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值构成的集合为{4}. 9.BC　∵非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S, ∴当m∈S时,有m2∈S,即m2≥m,解得m≥1或m≤0; 同理,当n∈S时,有n2∈S,即n2≤n,解得0≤n≤1. 对于A,若m=1,则必有m2=1∈S,故必有∴m=n=1,所以S={1},故A错误; 对于B,若m=-,则必有m2=∈S,故必有解得≤n≤1,故B正确; 对于C,若n=,则m≤m2≤,解得-≤m≤0,故C正确; 对于D,若n=1,则m≤m2≤1,解得-1≤m≤0或m=1,故D错误.故选BC. 10.解析　(1)证明:由2∈A得=-1∈A; 由-1∈A得=∈A;由∈A得=2∈A, 所以集合A中还有另外两个元素-1和. (2)集合A不是双元素集合.理由如下: 由题意得,若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,则=1-∈A,若1-∈A,则x∈A,所以集合A中应包含x,,1-,且它们互不相等方程x=,x=1-,=1-均无解, 故集合A不是双元素集合. (3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6(一个元素x可生成3个不同的元素,因此A中元素的个数为3,6,9,…,又A中元素不超过8个,故A中元素个数为3或6), 因为x··=-1,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积, 所以A中应有6个元素(若只有3个元素,则所有元素之积为-1,不是平方数),且其中一个元素为-1(6个元素的积为1,则其中一个元素的平方为1,而由题干中范围知该元素不是1), 由-1∈A结合条件可得∈A,2∈A,又因为-1++2=,所以剩余三个元素的和为-=, 即x++=,解得x=-或x=3或x=, 故A=. 方法技巧　题干给出的是集合中元素的关系,即给定一个元素可以求出下一个元素,解题关键是找到元素的规律,由此分析元素的特点,结合已知就可以解决问题. 1.2　集合间的基本关系 题组一　集合间的基本关系 1.已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|2<m≤3}　　　　B.{m|2≤m<3}　　 C.{m|2≤m≤3}　　　　D.{m|2<m<3} 2.已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是(　　) A.6　　B.7　　C.8　　D.9 3.若x∈A,∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.7 4.若集合M⫋{1,2,3,4,5,6,7},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M的个数是　　　　.  5.已知集合M={m∈Z|x2+mx-36=0有整数解},非空集合A满足条件:①A⊆M,②若a∈A,则-a∈A,则所有这样的集合A的个数为　　　　.  题组二　由集合间的关系解决参数问题 6.(多选题)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为(　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1 7.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是(　　) A.-≤a<1　　　　B.-≤a≤1 C.a<-1或a≥0　　　　D.-≤a<0或0<a<1 8.(多选题)若集合A={x|ax-3=0},B={x|x2-2x-3=0},且A⊆B,则实数a的取值可以为(　　) A.0　　B.1　　C.3　　D.-3 9.已知集合A={x|-1≤x≤6}. (1)若集合B={x|m-1≤x≤2m+1}满足B⊆A,求实数m的取值范围; (2)当x∈N时,求集合A的子集的个数. 10.已知a∈R,关于x的方程x2+a=x的解组成的集合为A(A≠⌀),(x2+a)2+a=x的解组成的集合为B. (1)对于集合M,N,若对任意x∈M,都有x∈N,则M⊆N,求证:A⊆B; (2)若A=B,求实数a的取值范围. 7 学科网（北京）股份有限公司 答案与解析 1.2　集合间的基本关系 1.A 2.B 3.B 6.BCD 7.A 8.ABD 1.A　因为集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集,所以集合A中含有3个元素,则2<m≤3.故选A. 2.B　根据条件知1,2都是集合M的元素,并且M至少含有3,4,5中的一个,所以满足条件的集合M的个数为{3,4,5}的非空真子集的个数,为23-1=7.故选B. 3.B　由集合M=及新定义可知当x=0时,无意义;当x=,,2时,∉M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1. 所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1}, 所以具有伙伴关系的集合的个数为3.故选B. 4.答案　87 解析　考虑反面的两种情况: ①若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6}的子集的个数,即23=8. ②若M中只含有一个奇数,则该奇数可取1,3,5,7,共4种情况,则集合M的元素个数等于集合{2,4,6}的子集个数的4倍,即23×4=32. 不考虑奇数条件时,集合M共有27-1=127个,因此,符合题意的集合M共有127-8-32=87个. 5.答案　31 解析　易得x2+mx-36=0的整数解一正一负,且绝对值是36的约数. 当方程的解为-1,36时,m=-35; 当方程的解为-2,18时,m=-16; 当方程的解为-3,12时,m=-9; 当方程的解为-4,9时,m=-5; 当方程的解为-6,6时,m=0; 当方程的解为-9,4时,m=5; 当方程的解为-12,3时,m=9; 当方程的解为-18,2时,m=16; 当方程的解为-36,1时,m=35, 故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35}. 由非空集合A满足条件:①A⊆M,②若a∈A,则-a∈A,(集合A中的元素成对出现,-35与35,-16与16,-9与9,-5与5,0与0,共5对) 可得这样的集合A共有25-1=31个(A是非空集合). 6.BCD　∵集合A有且仅有2个子集,∴A有且仅有1个元素. 当a=0时,集合A={0},符合题意. 当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1, 当a=1时,A={-1},符合题意,当a=-1时,A={1},符合题意,故选BCD. 7.A　解法一(特殊值法):当a=0时,B=⌀,满足B⊆A,因此D错误;当a=1时,B={x|x≤-1},不满足B⊆A,因此B、C错误.故选A. 解法二:当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a>0时,B=,由B⊆A得-<-1,解得0<a<1; 当a<0时,B=,由B⊆A得-≥3,解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围是-≤a<1.故选A. 8.ABD　B={x|x2-2x-3=0}={-1,3}, ∵A={x|ax-3=0},且A⊆B, ∴A=⌀或A={-1}或A={3}, 当A=⌀时,方程ax-3=0的根不存在,可知a=0; 当A={-1}时,由-a-3=0,解得a=-3; 当A={3}时,由3a-3=0,解得a=1. 综上所述,a的值为0或-3或1.故选ABD. 9.解析　(1)当B=⌀时,有m-1>2m+1,即m<-2,符合题意; 当B≠⌀时,由B⊆A得解得0≤m≤. 综上,m的取值范围是mm<-2或0≤m≤. (2)当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集的个数为27=128. 易错警示　含有参数的集合B满足B⊆A,解题时要考虑B=⌀的情况,防止遗漏导致解题错误. 10.解析　(1)证明:设任意x0∈A,则+a=x0, 将x=x0代入(x2+a)2+a=x,等式成立. ∴x0是方程(x2+a)2+a=x的解, ∴x0∈B,因此A⊆B. (2)∵A≠⌀,∴x2-x+a=0有实根,∴Δ=1-4a≥0,∴a≤. 又集合B为方程(x2+a)2+a=x,即x4+2ax2-x+a2+a=0的解组成的集合,且A⊆B, ∴因式x4+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a, 由多项式的除法得x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1)(类比数的除法,列竖式求解), ∵A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0的根. 当x2+x+a+1=0无实根时,Δ=1-4(a+1)<0,解得a>-. 当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时, ①若x2+x+a+1=0有两个不等实根,由根与系数的关系知,其根不可能与x2-x+a=0的根相同; ②若x2+x+a+1=0有两个相等实根,则Δ=1-4(a+1)=0,得a=-, 此时方程的根为x=-,此根恰好是x2-x+a=0的根,满足条件. 综上,实数a的取值范围是a-≤a≤. 1.3　集合的基本运算 题组一　集合的基本运算 1.设集合A,B,C均为非空集合,下列结论正确的是(　　) A.若A∩B=B∩C,则A=C B.若A∪B=B∪C,则A=C C.若A∩B=B∪C,则C⊆B D.若A∪B=B∩C,则C⊆B 2.(多选题)如图所示,U是全集,A,B是U的两个子集,则阴影部分表示的集合是(　　) A.(∁UB)∩A　　　　B.(∁UB)∩B　　 C.∁U(A∩B)　　　　D.A∩∁U(A∩B) 3.(多选题)设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+4},则下列结论正确的是(　　) A.M∩N={x|x>4}　　　　 B.M∪N={x|x>1} C.(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<4}　　　　 D.(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<1} 4.已知A={(x,y)|xy=12},B={(x,y)|x,y∈N,y<x},则A∩B=　　　　.  题组二　集合的基本运算的应用 5.(多选题)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)·(x-1)=0},则下列说法错误的是(　　) A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠⌀　　 B.若M∩N≠⌀,则M∪N有4个元素 C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠⌀　　 D.若M∩N≠⌀,则M∪N={1,3,4} 6.某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计,高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的学生中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的学生有(　　) A.98人　　B.104人　　C.106人　　D.110人7.已知集合A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为　　　　.  8. 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+ 2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围. 9.已知集合A={x|a<x<a+1},B={x|-2≤x≤0}. (1)若a=1,求A∪B; (2)在①A∪B=B,②(∁RB)∩A=⌀,③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围. 答案与解析 1.3　集合的基本运算 1.C 2.AD 3.CD 5.ABC 6.C 1.C　对于A,取A={1,2,3},B={1},C={1,2},满足A∩B=B∩C,但A≠C,故A错误; 对于B,取A={1},B={1,2,3},C={1,2},满足A∪B=B∪C,但A≠C,故B错误; 对于C,由于C⊆(B∪C),A∩B=B∪C,所以C⊆(A∩B),则C⊆B成立,故C正确; 对于D,取A={1},B={1,2,3},C={1,2,3,4},满足A∪B=B∩C,但B⊆C,故D错误.故选C. 2.AD　在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x,则x∈A且x∉B,或x∈A且x∉(A∩B), 因此阴影部分区域所表示的集合为(∁UB)∩A或A∩∁U(A∩B).故选AD. 3.CD　全集U={x|x>0},集合M={x|y=}={x|x≥1},N={y|y=x2+4}={y|y≥4}. 对于A,M∩N={x|x≥4},所以选项A错误; 对于B,M∪N={x|x≥1},所以选项B错误; 对于C,(∁UM)∪(∁UN)=∁U(M∩N)={x|0<x<4},所以选项C正确;对于D,(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={x|0<x<1},所以选项D正确.故选CD. 4.答案　{(12,1),(6,2),(4,3)} 解析　由解得或或 所以A∩B={(12,1),(6,2),(4,3)}. 5.ABC　N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N有4个元素,则集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},且a∉{1,3,4},∴M∩N=⌀,故A错误; 若M∩N≠⌀,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},∴M∪N有3个元素,故B错误,D正确;当a=3时,满足M∪N={1,3,4},但M∩N=⌀,故C错误.故选ABC. 6.C　解法一:设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生,作出Venn图, 由Venn图得高一年级参加比赛的学生人数为46+37+1+12+2+6+2=106.故选C. 解法二:设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生, 则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=57+11+62-8-14-4+2=106,故选C. 名师点评　1.解决有关集合的实际应用题时,要学会将文字语言转化为集合语言.涉及有交叉的有限集的元素个数问题时,用Venn图法处理较为方便. 2.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,对于任意的有限集合A,B,C,结论如下: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 7.答案　 解析　易得A∪B={x|-1<x<2}. ①当m<0时,集合C=,若(A∪B)⊆C, 则-≥2,解得-≤m<0. ②当m=0时,集合C=R,满足题意. ③当m>0时,集合C=,若(A∪B)⊆C, 则-≤-1,解得0<m≤1. 综上所述,实数m的取值范围是. 8.解析　依题意得A={x|x2+4x=0}={0,-4}, 由A∩B=B知B⊆A, ∴B={0}或B={-4}或B={0,-4}或B=⌀. 当B={0}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根0,则 ∴a=-1; 当B={-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根-4,则无解; 当B={0,-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个不相等的根0和-4,则∴a=1; 当B=⌀时,x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根,则Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=8a+8<0,得a<-1. 综上,a的取值范围为{a|a=1或a≤-1}. 解题模板　解题时要注意集合关系的转化,即A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A,将集合运算关系转化为子集问题,另外不要漏掉对空集的讨论. 9.解析　(1)当a=1时,集合A={x|1<x<2}, 因为B={x|-2≤x≤0}, 所以A∪B={x|-2≤x≤0或1<x<2}. (2)若选①,由A∪B=B,可得A⊆B, 所以解得-2≤a≤-1. 若选②,由(∁RB)∩A=⌀,可得A⊆B, 则解得-2≤a≤-1. 若选③,由B∪(∁RA)=R,可得A⊆B, 则解得-2≤a≤-1. $