7.1.2 全概率公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕全概率公式展开，从现实情境中的伏击战问题切入，通过敌军路线选择与获胜概率的分析，自然引出复杂事件概率的求解需求，再借助摸球实验逐步抽象出划分样本空间、利用条件概率求和的思想，最终构建起全概率公式的逻辑框架，形成由具体到抽象、由特殊到一般的认知路径。 其亮点在于深度融合数学抽象、逻辑推理与数学建模三大核心素养，以“由原因求结果”的思想贯穿始终，如用敌军三条路线划分样本空间，结合条件概率计算总体获胜概率，体现化繁为简的转化思想。教学中注重问题驱动与结构化表达，通过表格归纳步骤、图示辅助理解，强化学生对公式本质的理解与应用能力，既提升学生解决实际问题的能力，又助力教师高效开展概念教学与素养落地。

课前复习 问题1 思考并回答一下问题： (1)古典概型的概念及古典概型的概率计算公式？ (2)条件概率的概念及条件概率公式？ (3)互斥事件概率的加法公式和条件概率的乘法公式？ 第七章 随机变量及其分布列 7.1.2 全概率公式 选择性必修第三册 人生中最重要的问题，在绝大多数情况下，实际上就只是概率问题。 学习目标 课程标准 学习目标 核心素养 结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程： 2.会将复杂的概率问题拆分为简单的几何问题 3.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率. 1.数学抽象：全概率公式 2.逻辑推理：从特殊到一般的思想方法 3.数学运算：运用全概率公式求事件的概率 4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型 重点：全概率公式及其应用 难点：运用全概率公式求概率 情境引入 背景 我军计划在三条可能的敌军行进路线（A₁主路、A₂小路、A₃山路）中设伏。根据历史情报和侦察结果： 1. 敌军选择三条路线的概率分别为： P(A₁) = 0.6（主路） ， P(A₂) = 0.3（小路） ，P(A₃) = 0.1（山路） 2. 若伏击成功，我军获胜（事件B）的条件概率为： P(B|A₁) = 0.8（主路宽阔，易被反扑） ，P(B|A₂) = 0.95（小路狭窄，伏击优势大） ，P(B|A₃) = 0.5（山路地形复杂，伏兵可能暴露） 问题2 我军在此次伏击中的总体获胜概率 P（B）？ 新知探究 问题3 如何求复杂事件的概率？ 通常的做法是把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 问题4 从有 个红球和 b 个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是. 追问1：你能证明第2次摸到红球的概率是吗？你是怎么证明的？ 证明：设 Ri表示事件“第i次摸到红球”, Bi表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2. 如图，事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并事件，即R2=R1R2UB1R2. 新知探究 利用概率的加法公式和乘法公式得： 总结 上述过程采用的方法是: 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 新知探究 追问2：以上的证明蕴含着怎样的思想？将以上的问题一般化，你能得到什么结果吗？ 我们称上面的公式为全概率公式． 全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 拓展——全概率公式的推导 新知探究 问题5 如何理解全概率公式？ 1.利用全概率公式的前提 ①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；（划分样本空间）　 ③P(Ai)>0, 且 . 注： ①事件B的发生可能有多种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式. ③由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 2.全概率公式蕴含的思想方法 在找到样本空间的划分后，我们可以通过将 A,(i =1,2，…，n)发生与否作为条件来计算事件B发生的概率。通常情况下，A,发生的概率与在A,发生的条件下B发生的概率都比较容易求解，这就实现了将求一个复杂事件B发生的概率转为求若干简单事件发生的概率之和，这蕴含了化整为零、化繁为简的转化思想. 情境回溯 背景 我军计划在三条可能的敌军行进路线（A₁主路、A₂小路、A₃山路）中设伏。根据历史情报和侦察结果： 1. 敌军选择三条路线的概率分别为： P(A₁) = 0.6（主路） ， P(A₂) = 0.3（小路） ，P(A₃) = 0.1（山路） 2. 若伏击成功，我军获胜（事件B）的条件概率为： P(B|A₁) = 0.8（主路宽阔，易被反扑） ，P(B|A₂) = 0.95（小路狭窄，伏击优势大） ，P(B|A₃) = 0.5（山路地形复杂，伏兵可能暴露） 问题2 我军在此次伏击中的总体获胜概率 P（B）？ 解答步骤 根据全概率公式： P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B|A₃) 代入数值： P(B) = 0.6×0.8 + 0.3 ×0.95 + 0.1× 0.5 = 0.48 + 0.285 + 0.05 = 0.815 结论 我军伏击的总体获胜概率为 81.5%。 应用新知 例5 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； 分析：取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率. 应用新知 设事件 求概率 代公式 解： 应用新知 总结：全概率公式求概率的方法步骤 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 方法3：使用结构图求解. 课堂检测 C 课堂小结 一、本节知识结构 课堂小结 二、回顾与思考 本节我们在已有条件概率和乘法公式学习的基础上，研究计算一个复杂事件的概率。当我们面对一个复杂事件时，可以先把它表示为一些简单事件运算的结果，再利用概率的加法公式和乘法公式计算出复杂事件的概率，这是全概率公式蕴含的数学思想方法，体现了利用研究对象的性质探寻解决问题的方法，将复杂问题划归为简单问题的数学思想。 请你带着下面的问题复习一下本节的内容吧！ 1.用全概率公式求一个复杂事件的概率的思路是什么？ 2.结合本节的学习，谈一谈如何从数学特例中归纳出一般性的结论？有哪些操作步骤？你有什么体会？ 作业布置 基础巩固类作业：教科书第52页练习第1，2题；习题7.1第5，7，8题. 探究性作业: 全概率公式是概率统计中的重要内容，与实际生活紧密联系，请你通过查找资料的方式，了解它们在生活中的应用还有哪些，然后分享. THANKS 感谢您的聆听 90432.0 1.某地市场上供应一种玩具电动车,其中甲厂产品占 ,乙厂产品占 ,丙厂产品占 , 甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%， 若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 解：设电动车为甲厂生产为事件A，电动车为乙厂生产为事件 ，电动车为丙厂 生产为事件 ，电动车为次品为事件 ， 则 , ,且 , , 则 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：C $