1.3全等三角形的判定（一）-SAS讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（一）-SAS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法一 “ SAS ” （边角边）。 2.能运用 “ SAS ” 判定两个三角形全等 ，规范书写证明过程。 3.通过观察、实验、猜想、验证等过程，培养自主探究和逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点:全等三角形 “ 边角边 ” 判定方法（SAS）的理解与应用。 2.难点:准确找出判定三角形全等所需的 “ 两边及夹角 ” 条件；理解两边及其中一边的对角对应相等时，两个三角形不一定全等。 ) ( 三． 课前预习 1.全等三角形的概念：能够______的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角______。 3. 阅读教材相关内容， 思考：只给定一个条件（一条边或一个角），能画出两个全等的三角形吗？给定两个条件呢？ ) 四．课堂探秘 （一）知识回顾 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 。比如，若△ABC≌△DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF；∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 思考下，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的角平分线有什么关系呢？ （二）探究SAS判定方法 【活动】 1.用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使每个人得到的直角三角形都能够重合? 2.如图，给定△ABC，在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'℃’,使得∠B'=∠B,A'B'=AB,B'C'=BC 这两个三角形全等吗? 在实践的基础上，人们得到了如下基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中 ∴△ABC≌△A'B'C‘(SAS). 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 （三）深入理解SAS中的夹角 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 【思考】：如果不是两边的夹角，而是两边中其中一边的对角对应相等，两个三角形还全等吗？ （四）运用SAS判定方法进行简单证明 例1 如图，已知AD，BC相交于点O，OB=OD，∠ABD=∠CDB 求证：△AOB≌△COD． 【思路点拨】由OB=OD，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA证明即可． 例2.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE． 【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等. 例3.在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由. 【总结与思考】 总结SAS判定方法的内容、条件和应用时的注意事项。 （1） SAS判定方法的内容 SAS即边角边判定定理，内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 。用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，若 AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。 （2）SAS判定方法的条件 ①有两组边对应相等。例如在上述△ABC 和△DEF 中的 AB 与 DE，AC 与 DF 。 ②这两组边所夹的角对应相等。像△ABC 中的∠A 和△DEF 中的∠D ，是 AB 与 AC 、DE 与 DF 分别所夹的角。 （3）应用时的注意事项 ①角必须是两边的夹角：不能是其中一边的对角。比如已知 AB = DE，AC = DF ，若给出的角是∠B 和∠E ，就不能用 SAS 判定两个三角形全等，因为∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，∠E 不是 DE 与 DF 的夹角 。 ②对应边和对应角要找准：在书写两个三角形全等的条件时，要按照对应顶点的顺序来写。例如△ABC≌△DEF，A 与 D 、B 与 E 、C 与 F 是对应顶点，对应的边和角要一一对应书写，这样才能准确运用 SAS 判定定理。 五．课堂检测 1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC 3.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （ ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 4.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC 5. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且A＝ ，则这两个三角形_______全等.（填“一定”或“不一定”） 6.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　 　，使△AEF≌△BCD． 7.如图1，A，B分别是线段OD，OC上的点，OC=OD，OA=OB， 求证:△OAC△OBD 8..点C是AE的中点，∠A =∠ECD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDE． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做______，互相重合的边叫做______，互相重合的角叫做______。全等用符号“______”表示，读作“______”，表示全等三角形时通常把对应顶点的字母写在对应位置上。 2.“SAS”判定方法：两边及其______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______” 。 3.深入理解SAS边中的夹角：在使用“SAS”判定定理时，一定要注意角是两条相等边的______，比如在△ABC与△DEF中，若AB = DE，AC = DF ，只有当∠______=∠______时，才能判定△ABC≌△DEF（SAS） 。 （二）强化训练 一．选择题 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去 2. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 3. 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD 5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 6．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 7．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 8．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE 9．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 10.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 二．填空题 11. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________. 12. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对. 13. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______． 14.如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. 15．如图在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是_____． 16．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 17．如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽，只要测量出线段______的长度即可． 18．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是　 　． 19．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 三．解答题 21.如图所示，AD⊥AE，AB⊥AC，AD = AE，AB = AC，求证：△ABD≌△ACE. 22.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 23.如图,已知五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,点F,G分别在边BC,CD上,且FC=GD. (1)求证:△CDF≌△DEG. (2)求∠EHF的大小. 24.(1)如图1,CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图2,CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,在CE上取CF=DE,连接BF.探究∠BEF与∠EFB的数量关系,并说明理由. 25. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． 26.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧. (1)若∠B=30°,∠APC=70°,求∠CAE的度数. (2)当AB⊥AC,AB=4,AC=3,BC=5时,设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求出PD的最大值. 27．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（一）-SAS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法一 “ SAS ” （边角边）。 2.能运用 “ SAS ” 判定两个三角形全等 ，规范书写证明过程。 3.通过观察、实验、猜想、验证等过程，培养自主探究和逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点:全等三角形 “ 边角边 ” 判定方法（SAS）的理解与应用。 2.难点:准确找出判定三角形全等所需的 “ 两边及夹角 ” 条件；理解两边及其中一边的对角对应相等时，两个三角形不一定全等。 ) ( 三． 课前预习 1.全等三角形的概念：能够______的两个三角形叫做全等三角形。 【 答案 】 ：完全重合 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角______。 【 答案 】 ：相等；相等 3. 阅读教材相关内容， 思考：只给定一个条件（一条边或一个角），能画出两个全等的三角形吗？给定两个条件呢？ 【 答案 】 ：只给定一个条件或两个条件，都不能保证画出两个全等的三角形。 ) 四．课堂探秘 （一）知识回顾 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 。比如，若△ABC≌△DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF；∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 思考下，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的角平分线有什么关系呢？ 【答案】：全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的角平分线也相等 （二）探究SAS判定方法 【活动】 1.用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使每个人得到的直角三角形都能够重合? 【解析】沿着长方形纸的一个角去剪，使得每次剪的时候，所得到的直角三角形的两条直角边分别相等。这样做的原因是，对于直角三角形来说，当两条直角边分别相等时，再加上直角都为90o。这两个三角形就能完全重合。 2.如图，给定△ABC，在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'℃’,使得∠B'=∠B,A'B'=AB,B'C'=BC 这两个三角形全等吗? 【解析】我们已经知道如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。利用这些经验，可以按下列作法作出所求的三角形: 作法： （1）.作∠MB'N=∠B; （2）.在射线 B'M，B'N上分别截取 A'B'=AB, B'C'=BC: （3）.连接A'C. △A'B'C'即为所求. 在实践的基础上，人们得到了如下基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中 ∴△ABC≌△A'B'C‘(SAS). 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 （三）深入理解SAS中的夹角 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 【思考】：如果不是两边的夹角，而是两边中其中一边的对角对应相等，两个三角形还全等吗？ 【解析】可以通过画图来验证，比如先画一个△ABC，AB = 4cm，AC = 5cm，∠B = 30°，然后再画一个△DEF，DE = 4cm，DF = 5cm，∠E = 30°，但这个30°角不是DE与DF的夹角，观察两个三角形是否全等。通过实际画图会发现，这样的两个三角形不一定全等，从而明确SAS中夹角的重要性。 （四）运用SAS判定方法进行简单证明 例1 如图，已知AD，BC相交于点O，OB=OD，∠ABD=∠CDB 求证：△AOB≌△COD． 【思路点拨】由OB=OD，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA证明即可． 解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO， 在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA）． 例2.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE． 【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等. 证明： ∵∠1＝∠2 ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴BC＝DE（全等三角形对应边相等） 例3.在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由. 解： 设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°. 在△ABD和△ABC中，∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC. 这名战士的方法有道理. 【总结与思考】 总结SAS判定方法的内容、条件和应用时的注意事项。 （1） SAS判定方法的内容 SAS即边角边判定定理，内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 。用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，若 AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。 （2）SAS判定方法的条件 ①有两组边对应相等。例如在上述△ABC 和△DEF 中的 AB 与 DE，AC 与 DF 。 ②这两组边所夹的角对应相等。像△ABC 中的∠A 和△DEF 中的∠D ，是 AB 与 AC 、DE 与 DF 分别所夹的角。 （3）应用时的注意事项 ①角必须是两边的夹角：不能是其中一边的对角。比如已知 AB = DE，AC = DF ，若给出的角是∠B 和∠E ，就不能用 SAS 判定两个三角形全等，因为∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，∠E 不是 DE 与 DF 的夹角 。 ②对应边和对应角要找准：在书写两个三角形全等的条件时，要按照对应顶点的顺序来写。例如△ABC≌△DEF，A 与 D 、B 与 E 、C 与 F 是对应顶点，对应的边和角要一一对应书写，这样才能准确运用 SAS 判定定理。 五．课堂检测 1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B； 【解析】乙可由SAS证明，丙可由ASA证明. 2.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC 【答案】D； 【解析】可由SAS证全等，再利用直角三角形中两锐角互余可得D选项是正确的. 3.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （ ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 【答案】C； 【解析】没有SSA定理判定全等. 4.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC 【答案】A； 【解析】：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中， ，∴△EAC≌△FDB（SAS），故选：A． 5. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且A＝ ，则这两个三角形_______全等.（填“一定”或“不一定”） 【答案】一定； 【解析】由题意，△ABC≌△B′A′C′，注意对应角和对应边. 6.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　 　，使△AEF≌△BCD． 【答案】AF=DB； 【解析】：AF=DB，理由是：∵AE∥BC，∴∠A=∠B，在△AEF和△BCD中 ∴△AEF≌△BCD（SAS），故答案为：AF=DB． 7.如图1，A，B分别是线段OD，OC上的点，OC=OD，OA=OB， 求证:△OAC△OBD 证明：在△OAC和△OBD中， ∴△OAC≌△OBD(SAS) 8..点C是AE的中点，∠A =∠ECD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDE． 证明：∵ 点C是AE的中点，∴ AC = CE，在△ACB和△CED中， ∴ △ABC≌△CDE(SAS). 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做______，互相重合的边叫做______，互相重合的角叫做______。全等用符号“______”表示，读作“______”，表示全等三角形时通常把对应顶点的字母写在对应位置上。 【答案】对应顶点；对应边；对应角；≌；全等于 2.“SAS”判定方法：两边及其______对应相等的两个三角形全等，简写成“______”或“______” 。 【答案】夹角；边角边；SAS 3.深入理解SAS边中的夹角：在使用“SAS”判定定理时，一定要注意角是两条相等边的______，比如在△ABC与△DEF中，若AB = DE，AC = DF ，只有当∠______=∠______时，才能判定△ABC≌△DEF（SAS） 。 【答案】夹角；A；D （二）强化训练 一．选择题 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去 【答案】C； 【解析】由ASA定理，可以确定△ABC. 2. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 【答案】B 【解析】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS） 3. 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】∵AC与BD相交于点O，∴∠AOD=∠COB，∠AOB=∠COD，又∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，∴AD=CB，AB=CD，又∵AC=CA，BD=DB，∴△ACD≌△CAB，△ABD≌△CDB，即图中共有4对全等三角形.故选D. 4．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD 【答案】B 【解析】由图可知，AB＝AB，∵∠1＝∠2，∴用“SAS”证△ABC≌△ABD，还需AC＝AD， 故选：B． 5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【答案】D 【解析】∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D． 6．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【解析】∵AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEB，在△ACD和△ABE中，， ∴△ACD≌△ABE（SAS），∴AC＝AB，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，∴∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：B． 7．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故选：A． 8．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝DE D．CD＝CE 【答案】D 【解析】∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，在△ACB和△DCE中，，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．故选：D． 9．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC 【答案】B 【解析】A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B．　 10.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，， ∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，∴∠DEF=∠B=70°；故选：B． 二．填空题 11. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________. 【答案】6； 【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6. 12. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对. 【答案】5； 【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB. 13. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______． 【答案】20°； 【解析】△ABE≌△ACD（SAS） 14.如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. 【答案】△ACB≌△DCE 【解析】 即 在和中 ≌.故答案为≌. 15．如图在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是_____． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【解析】：添加条件：AD＝BC，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD． 16．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 【答案】互补 【解析】如图∵，，,∴，∴，∴，故答案为：互补． 17．如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽，只要测量出线段______的长度即可． 【答案】CD 【解析】：只要测量CD．理由：连接AB，CD，如图，∴OA=OC，OB=OD．在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD=AB．答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB，故答案为：CD． 18．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是　 　． 【答案】∠B=∠E 【解析】在△ABC和△DEF中，已经知道AB = DE，BC = EF。根据（SAS）判定定理，我们需要AB与BC的夹角∠B和DE与EF的夹角∠E相等，即∠B=∠ E， 19．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 【答案】8 【解析】已知AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可知∠EAD = ∠CAD。 在△ADE和△ADC中，有AE = AC（题目中在AB上截取AE = AC）， ∠EAD = ∠CAD，AD = AD（公共边）。根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出△ADE≌△ADC。 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以ED = CD。已知AE = AC = 5，AB = 6，由于BE = AB - AE，将AB = 6，AE = 5代入可得BE = 6 - 5 = 1。因为BC = BD + CD，又因为ED = CD，所以BC = BD + ED，已知BC = 7，即BD + ED = 7。根据三角形周长的定义，BDE的周长为BE + BD + ED，将BE = 1，BD + ED = 7代入可得\△BDE的周长为1 + 7 = 8。 20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 【答案】96° 【解析】因为在△ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得∠B = ∠C。在△BDE与△CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到∠B = ∠C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以△BDE≌△CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以∠EDB = ∠DFC，∠FDC = ∠BED。又因为∠EDF + ∠EDB + ∠FDC = 180°（平角的定义：平角为180°），∠B + ∠BED + ∠EDB = 180°（三角形内角和定理：三角形内角和为180°），且∠FDC = ∠BED，∠EDB = ∠EDB，所以可得∠B = ∠EDF。 已知∠EDF = 42°，由步骤3可知∠B = ∠EDF，所以∠B = 42°。又因为∠B = ∠C（步骤1已证），所以∠C = 42°。在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。已知∠B = 42°，∠C = 42°，所以∠BAC = 180°- ∠B - ∠C = 180° - 42°- 42 °= 96°。 三．解答题 21.如图所示，AD⊥AE，AB⊥AC，AD = AE，AB = AC，求证：△ABD≌△ACE. 证明：∵ AD⊥AE，AB⊥AC，∴ ∠CAB =∠DAE = 90°，∴ ∠CAB+∠CAD =∠DAE+∠CAD， 即∠BAD =∠CAE.在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE(SAS). 22.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 证明：在△ABC和△DEC中，∴ △ABC≌△DEC(SAS).∴ AB = DE. 23.如图,已知五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,点F,G分别在边BC,CD上,且FC=GD. (1)求证:△CDF≌△DEG. (2)求∠EHF的大小. 解:(1)证明:∵五边形ABCDE的各边都相等,各内角也都相等,∴CD=DE,∠FCD=∠GDE. 在△CDF和△DEG中,∴△CDF≌△DEG(SAS). (2)∵△CDF≌△DEG,∴∠FDC=∠GED,∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE =∠CDE==108°.答:∠EHF的大小为108°. 24.(1)如图1,CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图2,CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4,在CE上取CF=DE,连接BF.探究∠BEF与∠EFB的数量关系,并说明理由. 解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,∴△ACE≌△BCE(SAS). (2)∠BEF=∠EFB.理由:在△ADE和△BCF中, ∴△ADE≌△BCF(SAS),∴∠AED=∠CFB.∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°, ∴∠BEF=∠EFB. 25. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． 解：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠EAO．在△ACO和△AEO中： ， ∴△AOC≌△AOE． （2）∵△AOC≌△AOE，∴∠ACO=∠AEO，∵ CD⊥AB于点D，∴∠ODE=∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE，∴OE∥BC. 26.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧. (1)若∠B=30°,∠APC=70°,求∠CAE的度数. (2)当AB⊥AC,AB=4,AC=3,BC=5时,设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求出PD的最大值. 解:(1)在△ABC与△ADE中,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∵∠B=30°,∠APC=70°, ∴∠CAE=∠BAD=∠APC-∠B=70°-30°=40°. (2)由(1)得△ABC≌△ADE,∴AB=AD=4.∵AP=x,∴PD=AD-AP=4-x.∵AB⊥AC, ∴∠BAC=90°.∵AB=4,AC=3,BC=5,∴当AD⊥BC时,x最小,PD最大,PD=4-x, ∴S△ABC=AP·BC=AB·AC,∴x===2.4,∴当x最小时,PD有最大值,最大值为4-x=4-2.4=1.6. 27．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3（cm）， ∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，∴点P，点Q运动的时间t==（s），∴vQ===（cm/s），答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等． 学科网（北京）股份有限公司 $