精品解析：重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高二上学期开学学情诊断数学试题

2025年学情诊断 高二年级 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场／座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在中，角对边分别为，若，那么的面积为 （ ） A. B. C. D. 4. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5 5. 已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若平均数不变，则 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数不变 D. 若，则方差不变 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法不正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑” B. 若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线CM、、相交于一点 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 若F是线段上一动点，则AF与所成角的最大值为90° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______． 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________． 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 16. 为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图： （1）求图中的值； （2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线. 17. 如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学情诊断 高二年级 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场／座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的性质求出对应的点的坐标，由此即可求解. 【详解】在复平面内对应的点为，其位于第四象限． 故选：． 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解. 【详解】因为向量，，与共线， 所以，解得， 故选：D. 3. 在中，角对边分别为，若，那么的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立方程求出，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 解得或（舍去）， 由三角形面积公式得，故B正确. 故选：B 4. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5 【答案】B 【解析】 【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解. 【详解】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90， 因为， 所以这组数据的75百分位数是第八个数据86. 故选：B 【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5. 已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可． 【详解】解：因为，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线， 对于A：若，，，则或或或与相交（不垂直），故A错误； 对于B：若，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，面面垂直的判定可知，故C正确； 对于D：若，，，则或与相交，故D错误； 故选：C 6. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与所成的角即可． 【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，2，，，2，， 则 所以 ， 所以异面直线与直线所成角的余弦值为， 故选：． 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 8. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直观图还原实际图形，再利用补体法求三棱锥外接球的半径，即可求解. 【详解】由题意可知在斜二测直观图中，，， 则，，， 由斜二测画法可得，在中，，，. 在三棱锥中，因为底面，且， 所以可将三棱锥补成相邻的三条侧棱分别为6，4，8的长方体， 则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球， 长方体的体对角线即为外接球的直径，则外接球的半径， 故三棱锥外接球的表面积. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助模长公式可得A；借助向量垂直数量积为零计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 由，得，则，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确； 故选：ACD． 10. 有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若平均数不变，则 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数不变 D. 若，则方差不变 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数、极差、中位数和方差的定义判断. 【详解】若平均数不变，则，解得，故A正确； 当时，极差不变，但，故B错； 若，则为或或，每一种情况对应的中位数都是3，故C正确； 原数据的平均数为3，原数据的方差为， 新数据的平均数为3，新数据的方差为，当且仅当时等号成立，所以方差有可能改变，故D错. 故选：AC. 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法不正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑” B. 若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线CM、、相交于一点 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 若F是线段上一动点，则AF与所成角的最大值为90° 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析图中的平行垂直关系，按照“阳马”，“鳖臑”的定义判断，理解异面直线的夹角的最大值为 . 【详解】 由题意可知， ， 平面 ， 平面， 平面 ，四棱锥 是“阳马”， 又 ， 是直角三角形，显然 是直角三角形， 是直角三角形， ， ∴ 也是直角三角形，∴四面体 是“鳖臑”，A正确； 由题意可知，MN是 的中位线， ，即MN与 共面， ，连接CM和 并延长，必交于一点P， 则有 平面 ， 平面 ，平面平面=l， ，故B正确； 设BC=m，AC=n，则有 ， 四棱锥 的体积 ， 当且仅当m=n时成立，即四棱锥 的体积的最大值为 ，故C错误； 过点A作 的垂线，得垂足H， 平面 ， 平面， ， 平面 ，即 ， 即当F点与H点重合时，异面直线AF与的夹角 可以取到 ，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质运算求解. 【详解】根据题意可得：高一、高二、高三报名人数之比为， 故从高一年级学生中抽取的人数为. 故答案为：5. 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数量积. 【详解】建立如图所示的坐标系， 由图可得，，，， ， 即有． 即，， 则 ． 故答案为：2． 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理以及基本不等式可得AM的最大值为，从而得到结果. 【详解】由题意有：，由正弦定理可得：， 即，又，所以， 又，所以， 由余弦定理，有， 即， 即，当且仅当时取等号， 因为， 所以，所以AM的最大值为． 当B或C趋近于时，AM趋近于． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【小问1详解】 由题意得， 是纯虚数， ， ， 【小问2详解】 . 16. 为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图： （1）求图中的值； （2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列式求解； （2）（3）由频率分布直方图数据求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得． 【小问2详解】 设平均数为，则． 所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步． 【小问3详解】 日均运动步数在的频率为， 日均运动步数在的频率为， 日均运动步数在的频率为， 所以达标线位于内，则达标线为为，解得， 该企业制定的优秀强国运动者达标线是千步. 17. 如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离． 【答案】（1） 由题意证明如下， 连接，，． 在长方体中，且， ∴四边形为平行四边形． ∴E为的中点， 在中， E，F分别为和AB的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2）1 【解析】 【分析】（1）通过等体积法即可证明即可证明线面平行； （2）求出和的面积，即可求出点A到平面CEF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意， 与平面所成角为．连接． ∵长方体中，所以．所以． ∵长方体中，平面，平面， ∴． ∴为直线与平面所成角，即．故 ∴为等腰直角三角形，则． 在中， 知． 在中， ，， ∴， ∴， 设点A到平面CEF的距离为h． 由知，，得． ∴点A到平面CEF的距离为1． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2） （3） 设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时， 这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $