10.3随机事件与概率练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3　随机事件与概率 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　) A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025次，那么第2 024次出现正面朝上的概率是(　　) A. B. C. D. 3.从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为(　　) A. B. C. D. 4.某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案：在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分别编号为1~50，被调查的学生从中随机摸出一个，确认颜色和序号后放回(调查者不知道)，摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇数？”，摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”.共调查了1 200名学生，得到了390个“是”的回答，据此估计该校学生的作弊率为(　　) A.15% B.20% C.5% D.10% 5.甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下).甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车.假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为(　　) A. B. C. D. 6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=“两次取到的球颜色相同”，事件B=“第二次取到红球”，事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确的是(　　　　) A.A⊆B B.事件B与事件C是互斥事件 C.P(AB)= D.P(B+C)= 8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　　　) A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表) B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为 C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为 D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　. 10.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四个数字a1a2a3a4(其中ai∈{0，1，2，…，9}，i=1，2，3，4)随机组成，如果验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分) (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分) 12.(15分)第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在珠海国际航展中心开幕，我国空军汇聚多方智慧，研讨无人智能、通航建设，带来了歼-35A、红-19等新型装备.某市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第85百分位数；(6分) (2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲(年龄31)、乙(年龄34)、丙(年龄42)三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2人作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率.(9分) 【提升练】 13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　. 15.(2024·昆明模拟)在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是　　　.  16.(2024·长沙模拟)已知集合B，C是集合A的真子集且B∩C＝⌀，如果∀a∈A，∃b∈B，c∈C，使得a＝λb＋μc，其中λ，μ∈{0，1}，则称B，C是集合A的一组有序基底集，记为(B，C).已知A＝{1，2，3，4}，且(B，C)为A的一组有序基底集，则集合B中的元素之和小于4的概率为　　　　　.  答案精析 1.B　2.D　3.A 4.A　[调查的1 200名学生中，摸到红球的概率是其编号是奇数的概率也是摸到绿球的概率为即摸到红球的人数约为1 200×=600，摸到绿球的人数约为1 200×=600，所以回答问题“你摸到的球的序号是否为奇数？”且回答“是”的学生人数约为600×=300，回答问题“你是否曾在考试中作弊？”且回答“是”的学生人数约为390-300=90，所以估计该校学生的作弊率为×100%=15%.] 5.C　[甲从“管委会”站到“北埭(东环)”站的每一站下车都可以，有8种情况， 乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况， 若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况， 若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况， 若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况， 若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况， 若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况， 若乙在“金海岸”站下车，则甲有2种情况， 若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况， 因此，甲比乙后下车的概率为P===.] 6.A　[15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先让11个人入坐好，再让其余4人插空，共有·种不同的围坐方法，所以所求概率是=.] 7.CD　[由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，事件B包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红)，(红，绿)}，则A不包含于B，选项A错误； B∩C≠∅，选项B错误； 事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}，P(AB)==选项C正确； 事件B+C包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)，(红，绿)}，P(B+C)==选项D正确.] 8.BCD　[平均每天双皮奶的销售量为 =51(杯)，A错误； 日销售量不小于55杯的概率为=B正确； 日销售量小于45杯的概率为=C正确； 1-=0.8，因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确.] 9. 解析　从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为=56， 因为1+2+3+4+5+6+7+8=36， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 10. 解析　由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1=2，2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4从3，4，5，6，7，8，9中选， 选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列有=35(种)排法， 又四位验证码共有10×10×10×10=10 000(种)排法， ∴它是首位为2的递增型验证码的概率为=. 11.解　(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为= 故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C，“参赛女生有2人”为事件D，“参赛女生有3人”为事件E. 则P(D)== P(E)==. 由互斥事件的概率加法公式，得 P(C)=P(D)+P(E)=+= 故所求事件的概率为. 12.解　(1)由频率分布直方图得，年龄在[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45]的频率分别为0.05，0.35，0.3，0.2，0.1， 由各组频率知第85百分位数a∈(35，40)， 由(40-a)×0.04=0.9-0.85，解得a=38.75， 所以第85百分位数为38.75. (2)由第三组、第五组的频率可知第三组抽取20×0.3=6(人)，第五组抽取20×0.1=2(人)， 方法一　不妨设除甲、乙、丙外的五人为A，B，C，D，E，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲A，甲B，甲C，甲D，甲E，甲乙，甲丙，乙A，乙B，乙C，乙D，乙E，乙丙，丙A，丙B，丙C，丙D，丙E，AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共28种， 其中甲、乙、丙都没被抽到的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种， 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率为1-=. 方法二　由题意知，甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率为1-=1-=. 13.C　[由题意可得一共有种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有种分组方法.故所求概率P==.] 14. 解析　由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列， 可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3分类，其中公差为-3，-2，-1和3，2，1的情况对应相等. 公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种情况； 公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种情况，同公差为-1的； 公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种情况，同公差为-2的； 公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种情况，同公差为-3的. 所以三个数恰好构成等差数列的概率P===. 15. 解析　6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同的安排方法数为， 甲、乙安排在同一个路口，视甲、乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排方法数为， 因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是， 所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是1－. 16. 解析　由题意，满足集合A＝{1，2，3，4}的有序基底集可以为：({1，2，3}，{4})，({1，2，4}，{3})，({1，3，4}，{2})，({2，3，4}，{1})，({1，2}，{3，4})，({1，3}，{2，4})，({1，4}，{2，3})，({1}，{2，3})，({1}，{2，4})，({1，2}，{3})，({1，4}，{2})，共有11组；再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组，综上可得，共计22组，其中满足集合B中元素之和小于4的有9组，所以概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $