第2章 有理数的运算 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 第2章整合拔尖 知识体系构建 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加：异号两数相加，取绝 对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：互为相反数 法则的两个数相加得0：一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法 运算律加法交换律、加法结合律 有理数的减法 法则减去一个数，等于加上这个数的相反数 有理数加减混合运算的一般步骤 有理数的乘法 法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘：任何数与零相乘，积为零 互为倒数的概念。两个有理数的乘积为1 运算律乘法交换律、乘法结合律、分配律 有理数的运算 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除：零除以任何一个不等于 法则零的数都得零 有理数的除法 与乘法的关系除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数 有理数的乘方 a"之n个a相乘 乘方、幂、底数、指数的概念 科学记数法a×10(1≤a<10,n为正整数) 有理数的混合 法则先算乘方，再算乘除，最后算加减.如有括号，先进行括号里的运算 运算 运用有理数的混合运算解决实际问题 近似数 准确数的概念 近似数的概念、运用计算器辅助计算近似数 91高频考点突破 考点一 有理数的基本运算 考点二科学记数法与近似数 典例1(2024·温州乐清期末)下列四个式子 典例2第七次全国人口普查数据显示，浙江省 中，计算结果最小的是 常住人口约为6456.76万人，将6456.76万用 A.-2+2 科学记数法表示为（精确到十万位） () B2-() A.6.5×10 B.0.65×108 c2×(2》 n-* C.6.46×10 D.0.646×108 [变式]下列说法中，正确的是 [变式]下列四个式子中，计算结果最大的是 A.近似数0.780精确到百分位 B.近似数30万精确到个位 A.0-3 B.-42+3 C.近似数3.076×101精确到千分位 C.-4×0 D.-|-15|÷(-3) D.将279500精确到千位为2.80×10 42 第2章有理数的运算 考点三有理数的混合运算 考点四与乘方运算有关的探索规律问题 典例3*计算： 典例4观察下列运算：81=8,82=64,83=512， ()》×(-12)-()°-2÷(-05. 84=4096,85=32768,86=262144,…,则81+ 82十83+84十…+8225的个位数字是 提示 判断8”的个位数字的规律，再找出相邻几个 幂的和的个位数字的规律，由此进行判断. [变式]观察下列算式：21=2,2=4,23=8,24= 23合×6片7)×是=1品 16,25=32,2=64,27=128,28=256,…,则 2+22+23+24+25+…+2226的个位数字是 () A.8 B.6 C.4 D.0 考点五有理数运算的实际应用 (3)(+8)÷(-2.9)-(-10号)÷(-2.9)+ 典例5气象资料表明：在连云港地区，海拔每 上升100m,气温就会上升约一0.7℃.小明和小 林为考证江苏第一高峰—玉女峰的海拔，国庆 期间他们进行了实地测量.小明在山下一个海拔 为25m的小山坡上测得气温为20℃，同一时刻， 小林在玉女峰的最高位置测得气温为15.8℃，则 玉女峰的海拔约是多少米？ [变式]计算： (1(-1+0-(+)÷(-2》, (2-8×(-}-2高×8×(-12》+ (》×() [变式]因强冷空气南下，预计某地平均每小时 气温变化一1.5℃.如果某天上午10时测得该 地的气温是8℃，那么下午5时该地的气温是 43 拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 综合素能提升 1.下列计算结果最小的是 (3)(-2×3)2 (》+(-2)×+ A.(-1-2)2 卫3X(-》9 C.-52÷(-5)3 D.(-1)2025 2.某市2023年底机动车的数量约为2.32× 10辆，2024年约新增3.26×10辆，用科学 记数法表示该市2024年底机动车的数量约 是（精确到万位） ( A.2.6×105辆 B.2.646×105辆 C.2.65×106辆 D.2.6×106辆 3.各数位上的数字的立方和与其本身 6.太阳是一颗巨大的气体星球，它的 相等的正整数称为“水仙花数”，例 质量正以每秒约400万吨的速度减 如：153，因为13+53+33=153，所 少.已知太阳的直径约为139.2万 以153为“水仙花数”.有下列各数：①370； 千米，地球的半径约为6378千米.请将数据 ②371；③407；④502.其中，“水仙花数”的 400万，139.2万，6378用科学记数法表示， 个数为 () 并计算： A.1 B.2 C.3 D.4 (1)在一年（按365天计算）内，太阳的质量 4.某种金属丝，当温度每下降100℃时，其长度 大约要减少多少万吨？ 缩短0.2mm.已知15℃时一根这种金属丝 (2)太阳的直径约是地球直径的多少倍（结 的长度为15mm,若把这根金属丝冷却到零 果保留整数)？ 下5℃，则这根金属丝的长为 mm. 5.计算： ω-5×日)×品1-》 2)-×1-1+×[《-2 448.(1)[(+10)+(-15)+(+24)+ (+12)+(-25)]+100×5=6+ 500=506(kg),506>500, 所以当天这5名员工采摘的苹果的总 质量达到了预计质量， (2)200×5+(10+24+12)×3 (15+25)×2=1058(元)， 所以当天该农场共需支付工资 1058元. 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：-2+2=-12， 2-（2)=2+2=272× （)=-1,-2÷是 =-2X 2=-4因为-4<-12<-1< 2号，所以计算结果最小的是一2÷ [变式]D解析：0-3=一3， -42+3=-16+3=-13,-4×0= 0,-|-151÷(-3)=-15÷(-3)= 5.因为-13<-3<0<5，所以计算结 果最大的是-1-15÷(-3). 典例2C解析：6456.76万 64567600≈6.46×10. [变式]D解析：近似数0.780精 确到千分位，故选项A错误；近似数 30万精确到万位，故选项B错误：近 似数3.076×10精确到十位，故选项 C错误；279500的千位上的数字为9， 将279500精确到千位为2.80×105， 故选项D正确 典例31)原式=是×(-) 手-名÷()=-器-音+ 2=131 72 2)原式=号×（号婴）×号× 是-(g×8)×(号号)×器 1x(号×器号×》)=3=- 3原式罗·()-() (器)+9÷（器）=罗× ()-()×(8)+9× ()=(8)×[9-(-)十 ]=号×29=-10 一方法归纳 进行有理数的混合运算 要过三关 (1)顺序关：先判断是否含括 号，若不含括号，则按照先乘方，再 乘除，最后加减的顺序进行计算： 若含括号，则按照先算小括号内 的，再算中括号内的，最后算大括 号内的顺序进行计算。 (2)转化关：除法转化为乘法； 在乘除运算中，小数转化为分数， 带分数转化为假分数. (3)简算关：合理地使用运算 律，不仅可以化繁为简，还可以保 证运算正确、迅速， [变式] (1)原式=1+30 ()×()=1+00=1 ②原式=-号×[()”-2音× 器+（侍）门=号×（会号× 8碧）=-含×（号+发） 是X0=0 典例48解析：由81=8,82=64， 83=512,8+=4096,85=32768,86= 262144…发现8”的个位数字的规 律是以8,4,2,6四个数字为一组循 环.因为8的个位数字是8,8,82的 个位数字的和是8+4=12，即8+ 82的个位数字是2，同理，可得8+ 82+83的个位数字是4,8+82+ 83+84的个位数字是0,8+82+ 83+8+85的个位数字是8，所以 14 8+82+83+84+…+8”的个位数字 的规律是以8,2,4,0四个数字为一组 循环.因为2025÷4=506…1，所以 8+82+83+8+…+8225的个位数 宇是8 [变式]B解析：因为2=2,22 4,23=8,24=16,25=32,2°=64， 2=128,28=256,…,所以个位数字 以2,4,8,6四个数字为一组循环.因 为2十4十8十6=20，个位数字是0，而 2026÷4=506…2,所以2+22+ 23+2+25十…十226的个位数字与 2+22的个位数字相同.因为2=2， 2=4,所以2+2的个位数字是6. 所以2+2十23+2+25+…+ 226的个位数字是6. 典例5根据题意，得25+[(15.8一 20)÷(-0.7)]×100=625(m), 所以玉女峰的海拔约是625m. [变式]-2.5℃解析：(12+5 10)×(-1.5=-10.5(℃)，8+ (-10.5)=一2.5（℃），所以下午5时 该地的气温是-2.5℃. [综合素能提升] 1.B解析：(-1-2)2=(-3)2=9， 3x()÷-3x× 48 25’ -52÷(-5)=5, 1 (一1)25三-1.因为-4之-12 }<9,所以计算结果最小的是3× () 2.C解析：2024年底机动车的数量 约为3.26×105+2.32×106= 326000+2320000=2646000≈ 2.65×10°（辆）. 3.C解析：因为33+73+03=370， 所以370是“水仙花数”.因为33十 73+13=371,所以371是“水仙花 数”.因为43+03+73=407，所以 407是“水仙花数”.因为53+03+ 2=133<502,所以502不是“水仙花 数”.所以“水仙花数”的个数为3. 4.14.96解析：15-(0.2÷100)× [15-(-5)]=15-0.002×(15+ 5)=15-0.002×20=15-0.04= 14.96(mm),所以若把这根金属丝冷 却到零下5℃，则这根金属丝的长为 14.96mm. 5.)原式-号×（仔）×品 是-(g×品×)×（日-） 2×(3-2)=2×3-2×号 (2)原式=-25×盖+是× (-)=-智+×9-× 4 8=-9+号-6=-13 3)原式=(-6÷[是+（名）× }+1.75+8]=36÷(}-是 子+）=36÷=6×号=16 6.400万=4×10°，139.2万 1.392×10,6378=6.378×103. (1)在一年内，太阳的质量大约要减少 400×365×24×60×60=1.26144× 1010(万吨). (2)1392000÷(6378×2)≈109， 所以太阳的直径约是地球直径的 109倍. 第3章实数 3.1平方根 1.C2.C3.C 4.一10解析：因为25的算术平方 根为x,所以x=√25=5.因为4是 y十1的一个平方根，所以y十1=42， 解得y=15.所以x-y=5-15 -10 5.(1)士/400表示400的平方根， ±√400=土20. 表示告的算术平方根， 2)49 42 W49=7: (3)一√0.25表示0.25的负平方 根，-√0.25=-0.5. 6.D解析：一64没有算术平方根， 故A不符合题意；17是(-17)2的算 术平方根，故B不符合题意：号的平 方根是士，故C不符合题意： √49=7，士√7是7的平方根，故D符 合题意. 7.B解析：因为0的绝对值是0，且 0的算术平方根是0：1的绝对值是1， 且1的算术平方根是1，所以这个数 是0或1. 8.3解析：由相邻的两个正方形的 面积分别为16和9，可知两个正方形 的边长分别为√16=4，√9=3，则涂 色部分的面积=(4十3)×4-16-9= 28-25=3 )因为号)广= 所以这个正数为： (2)因为(-0.9)2=0.81， 所以这个负数为一0.9. (3)因为一个数的平方为13， 所以这个数是13的平方根. 又因为13的平方根为士√13， 所以这个数为士√3. 10.分两种情况讨论： ①当a+3=2a-15时，解得a=18. 所以a+3=21. 所以这个正数为21=441， ②当a+3≠2a-15时， 因为一个正数的两个平方根互为相 反数， 所以a+3+2a一15=0，解得a=4. 所以a十3=7. 所以这个正数为7=49. 综上所述，这个正数是441或49. 15 易错警示 忽略题目中的隐含条件导致漏解 正数有两个平方根，且这两个 平方根互为相反数.在未告知是两 个不同的平方根的基础上就需要 分类讨论，这两个平方根有可能相 等，也有可能互为相反数.本题易 因忽略“是两个相同的平方根”这 一情况而导致漏解。 3.2从有理数到实数 1.D2.B3.√23±√6 4.(1)②⑦⑧(2)①④⑤⑨ (3)③⑥⑩ 5.点A表示的数为-1.5， 点B表示的数为√2， 点C表示的数为5， 点D表示的数为3， 点E表示的数为元 -1.5<√2<5<3<π. 6.B 7.B解析：由1<√5<√4=2,3= √<√10<4，可得1<a<4. 8.B解析：因为正方形ABCD的面 积为5，所以正方形ABCD的边长为 √5.所以点A,E之间的距离为√5.因 为，点A表示的数是1，且点E在点A 的右边，所以点E表示的数为√5+1. 9.B解析：因为一√<一√5< -√4，即-3<一√5<一2，所以表 示一√5的点在点A与点B之间.又 因为-√5<-√6.25<-√5，所以 -3<-2.5<-√5.所以-2.5< 一√5<-2.所以与表示一√5的点距 离最近的是点B. 104解析：√6=一合因为在 -1m,，10%.与-√须 (-1.5)3中，无理数为√35，整数为 1 -100,负分数为-√36(-1.5)，