第2章 专题特训三 有理数的新定义专题应用-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 专题特训三 有理数 类型一运算符号中的新定义型问题 1.(2023·孝感云梦期末)若“！”是一种数学运 算符号，且1！=1,2！=2×1=2,3！=3×2× 1=6,4!=4×3×2×1=24,…,则 的 值为 () 8 B.99！C.9900D.2! 2.对于整数a,b,规定一种新的运算“V”,即 aVb表示从a开始的连续|b|个整数的积， 如2V3=2×3×4=24,(-5)7(一2)= (-5)×(-4)=20,则(-7)V[1V(-2)]的 值为 () A.-210B.-42C.42D.56 3.(2024·甘肃)定义一种新运算“￥”，规定运 算法则为m￥n=m”一mn(m,n均为整数， 且m≠0).例如：2￥3=23一2X3=2,则 (一2)￥2= 4新定义一种运算“△”：a△b=÷(号》，则 (-3△4)△2的值是 5.对于有理数a,b,定义一种新的运算：a8b ab-a+b.例如：1☒2=1×2-1+2.求： (1)(一3)☒4的值 (2)[58(-2)]☒3的值. 6.定义一种新运算“*”：a*b=(a十1)(b十 1),等号的右侧为通常的混合运算， 38 的新定义专题应用 (1)计算（一3）￥（一2）与（一2）*（一3)，此 运算满足交换律吗？ (2)计算[(-4)*(-3)]*（一2）与(-4)* [(一3)￥（一2）]，此运算满足结合律吗？ 7.若“三角” 表示运算：a一b十c,“方 b C x 框” 表示运算：x一y十之十W,求 y -21.5 的值 6 1.5-6 类型二阅读材料中的新定义型问题 8.若a是不为2的有理数，则我们把 2称为a的“奇特数”.例如：4的 2- “奇特数”是产=-1、一1的“奇特数”兄 2一名-D=已知a,=4,ag是a1的“奇特 数”，a3是a2的“奇特数”，a4是a3的“奇特 数”，…，以此类推，a224的值为 R-1C号 A.4 D.2 9.阅读材料，并回答下列问题： 式子1+2+3+4+5+…+100表示从1开 始的100个连续自然数的和，由于上述式子 比较长，书写也不方便，为了简便，我们可以 将1+2+3+4十5十…十100表示为.这 里的“∑”是求和符号，如1十3+5+7+ 9十…十99，即从1开始的100以内的连续奇 数的和可表示为2(2m-1),又如13十2+ 33+43+53+63+73+83+93+103可表示为 m. =1 (1)式子2+4+6+8+10+…+100（即从2 开始的不超过100的连续偶数的和)用求和 符号可以怎样表示？ (2②》式子1+号+号++品用求和符号可 以怎样表示？ (3)计算：之(n2-1). 1 类型三探索规律中的新定义型问题 10.新考向·数学文化如图，第十四届国 际数学教育大会（简称ICME14) 会徽的主题图案有着丰富的数学 元素，展现了我国古代数学的灿烂文明，图 案中右下方的图形是用我国古代的计数符 第2章有理数的运算 号写出的八进制中的3745.我们常用的数 是十进制数，如4657=4×103+6×102+ 5×101+7×1,在电子计算机中用的二进 制，如二进制中的110=1×2+1×2+0× 1等于十进制中的数6，则八进制中的3745 换算成十进制是 (第10题) 1.一个自然数的立方可以分裂成若干个连续 奇数的和，如23,33和43分别可以按如图所 示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇 数的和，即23=3+5,33=7+9+11,43 13+15+17+19.若63也按照此规律来进 行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的 奇数是多少？ 3 411 1 (第11题) 39方法制归纳 解决流程图类问题的一般方法 解决流程图类问题时，首先要 读懂流程图.本题中，若式子的值 大于设定的数值则输出，反之，若 不大于设定的数值则重新输入进 行计算.因此，条件中最后输出的 结果不一定就是第一次输入后计 算得到的结果。 10.8解析：这个金属块的高大约是 3×102×4÷(25×6)=8(cm), 11.(1)一：运算顺序错误， ②)原式=(-1D÷(8)× (-12)=(-1D÷(-)×(-12) (-1D×(-号)×(-12)=号 12)原式=9-名×号-6 (层)=9-是-6÷=9- 3 6×g=9=-12 (2)原式=（号×15-号×1） 号+1-2x(-0125x8)=(-2)× 3+1-(-2)=-6+1+2=-3. (3)原式=3×25-6+64-2× (-8)×4]×(7)=3×(25 6+64+x()=翠 易错警示 对有理数混合运算的运算顺序 理解不透彻 进行有理数的混合运算时，应 按以下顺序：先乘方，再乘除，最后 加减：同级运算，按从左到右的顺 序进行.当计算中有除法时，切忌 轻易使用结合律. 13.C解析：因为第一次操作后增加 数7，一2，第二次操作后增加数5,2， 一11,9，所以第一次操作后和增加 7一2=5，第二次操作后和增加5+ 2一11十9=5，易知每次操作后和增加 5.所以第一百次操作后所有数之和是 2+9+7+100×5=518. 14.(1)后面一个数是前面一个数 乘-2得到的. (2)第二行的每个数是第一行相应位 置的数除以一2得到的：第三行的每 个数是第一行相应位置的数加1得 到的 (3)2×(-2)8+2×(-2)8÷ (一2)+2×(-2)8+1=2×256+2× 256÷(-2)+2×256+1=512 256+512+1=769 2.7近似数 1.D2.C3.(1)百分(2)万分 (3)百 4.(1)-28.11. (2)22.68. (3)一5×10. (4)81.54. 5.D解析：105表示十万，则在 1.36×105中，1在十万位上，3在万 位上，6在千位上，故这个近似数精确 到千位 一易错警示 难以根据近似数确定 精确度位数 用科学记数法表示的近似数 aX10”,精确度由a的末位数字还 原后所在的数位决定：当近似数 带有计数单位时，精确度也由近 似数的末位数字还原后所在的数 位决定 6.D解析：近似数3.6精确到十分 位，近似数3.60精确到百分位，则两 数的精确度不同，故选项A错误：数 2.9954精确到百分位为3.00，故选 项B错误；近似数1.3×10精确到千 位，近似数13400精确到个位，则两 数精确到的数位不相同，故选项C错 误：近似数3.61亿精确到百万位，故 选项D正确. 12 7.千分解析：将近似数15.6%化为 小数，得0.156，即精确到千分位， 8.千分解析：易知9.83s都是精确 到0.01s的结果，此时无法评判两人 的成绩，故需至少将两人的成绩精确 到0.001s,即精确到千分位，才可能 分出名次. 9.300000000×365×24×60×60÷ 1000=9460800000000≈9.46× 102(千米)， 所以1光年约为9.46×102千米. 专题特训三有理数的 新定义专题应用 1.C解析：由题意，得100！=100× 99×…×3×2×1,98!=98×97× …×3×2×1,所以00 981 100×99×.×3×2×1 98×97×…×3×2×1 =100×99= 9900. 2.C解析：(-7)V[17(-2)]= (-7)V(1×2)=(-7)V2=(-7)× (-6)=42. 3.8解析：(-2)￥2=(-2)2 (-2)×2=4+4=8. 4.-2 解析：因为a△b=1÷ (2)所以(-3△4△2=[-3 (-)]△2=号△2=是 (号)=- 5.(1)由题意，可得(-3)☒4= (-3)×4-(-3)+4=-12+3+ 4=-5. (2)由题意，可得[5☒（一2）]☒3= L5×(-2)-5+(一2)]☒3=(-10 5-2)☒3=(-17)☒3=(-17)×3 (-17)+3=-51+17+3=-31. 6.(1)(一3)￥(-2)=(-3+1)× (-2+1)=(-2)×(-1)=2, (-2)￥(-3)=(-2+1)×（一3+ 1)=(-1)×(-2)=2, 所以(-3)￥(-2)=(-2)￥(-3)， 此运算满足交换律 (2)[(-4)*(-3)]￥(-2)= [(-4+1)×(-3+1)]￥(-2)=6* (-2)=(6+1)×(-2+1)=-7, (一4)[（一3）*（一2）]=（一4） [(-3+1)×(-2+1)]=(-4)￥2= (-4+1)×(2+1)=(-3)×3=-9, 所以[（一4）（一3）]（一2）≠ (一4)*[（一3）*（一2）]，此运算不满 足结合律 7.根据题意，得原式=(} 6)×(-2-15+1.5-6)= (任-3+6)×(-8)=号× (-8)-2×(-8)+6×(-8) 42 -2+4-3=3 8.D解析：因为a1=4,所以由“奇 2 特数”的定义，得a:=2二4=-1， 2 2 a3=2-(-d=3,a4= 2 23 2a62 3 =4,….由此可以发 22 现，这些数以4，-1，号，号为一组循 环出现.因为2024÷4=506，所以 是 9.(1)根据题意，得2+4十6十8十 10+…十100=22m. n一1 (3)原式=(1-1)+(4-1)+(9 1)+(16-1)+(25-1)+(36 1)=85. 10.2021解析：因为3×83十7× 82+4×8+5×1=1536+448+32+ 5=2021,所以八进制中的3745换算 成十进制是2021. 11.因为23=3+5，“分裂”出的第一 个数是3,3=2×1+1， 33=7+9+11,“分裂”出的第一个数 是7,7=3×2+1， 43=13+15+17+19,“分裂”出的第 一个数是13,13=4×3+1，， 所以n3“分裂”出的第一个数是n(n一 1)+1. 所以63“分裂”出的第一个数是6× 5+1=31. 所以易得63“分裂”出的奇数中，最大 的奇数是31+2×(6-1)=41. 专题特训四有理数的 混合运算及应用 1.(1原式=-1-5X3+(-是)× (8)×号×(-28)=-1-15+ (-35)=-51. (2)原式=一1+25×0.2+6× (-2)=-1+5-12=-8. 2.0原式-（侣号）×36+ (-1.43+3.93)×8=33-28-10+ 2.5×8=33-28-10+20=15. 2)原式=-9X号+×(-24) 6×(-24)+g×(-24)=-1- 18+4-9=-24. (3)原式=(2-1.53-9.47)× (-号)-（号×72-8×72+× 72-8×72)=4-10=-6 3.因为x,y互为相反数，a,b互为倒 数，c的绝对值为2， 所以x+y=0,ab=1,c2=4. 所以（生） -(-ab)2晒+c2 ()} -(-1)2贴+4=0+1+ 4=5. 4.把20代入程序中，得20× -÷[-(-2门=20×3 (-1）=-40,-40<100, 13 把一40代人程序中，得一40× |-引÷[（门=-× 7÷(4）=80,80<10, 把80代入程序中，得680×- [-(2)门-=80x2÷(1) -160,-160<100, 把-160代入程序中，得-160× 1引[()门 =-160× 7÷(4）=320,320>10, 所以最后输出的结果为320. 5.(1)第4个等式是1- (2)(-)×(1-子)×…× (1-g)×(1-20)=号×号× 号××是××…×8× 1×21_21 2×0-40, 6.(1)通过观察发现：1=1,4=22， 9=32,16=42,25=52,…, 所以第一组数为从1开始的连续正整 数的平方. 因为0=一1+1，一3=一4+1，一8= -9+1,-15=-16+1,-24=-25+ 1,…, 所以第二组数为第一组数的相反数加 上1. (2)第一组数的第20个数为20，第 二组数的第20个数为一202+1， 所以202+(-202+1)=1. 所以取每组的第20个数，这两个数的 和为1. 1 7.2π×(6400+400)÷7.9× 3600≈ 1.50(小时). 所以飞船绕地球飞行一周大约需要 1.50小时.