5.1 方程-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第五章一元一次方程 5.1 第1课时 山基础进阶 1有下列方程：①3x=6y:@2x=0:国号 4-1:④x2+2x-5=0:⑤3x=1:⑥3 2=2.其中，一元一次方程的个数为() A.2 B.3C.4 D.5 2.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首 古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹. 每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意 如下：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不 知有多少人和竹竿.每人分6根竹竿多14根 竹竿；每人分8根竹竿，正好分完.设有牧童 x人，根据题意，可列方程为 ( A.6.x+14=8x B.6x-14=8.x C.x-14_x D.2+14_z 68 68 3.如果关于x的方程kx+5一2x=一1是一元 一次方程，那么k的取值范围是 4.有m辆校车及n名学生，若每辆校车乘坐 40名学生，则还有10名学生不能上车；若每 辆校车乘坐43名学生，则只有1名学生不能 上车.现有下列四个方程：①40m十10= 40=43:③”10-1-1 43m-1;②n+10n+1 40-43 ④40m十10=43m+1.其中，正确的是 (填序号). 5.根据下列问题，设出未知数，列出方程（不必 求解). (1)已知甲、乙两支工程队，甲队人数是乙队 人数的2倍.若从甲队调12人到乙队，甲队 剩下的人数比原来乙队人数的一半多15， 74 方程 从算式到方程 甲、乙两队原来各有多少人？ (2)水上公园某一天共售出门票128张，收 入912元，门票价格为成人票每张10元，学 生票在成人票的基础上打六折，求这一天出 售成人票与学生票各多少张， (3)某校组织知识竞赛，共设20道选择题， 每道题答对得5分，答错或不答倒扣2分.如 果选手甲得到了72分，那么选手甲答对了多 少道题？ )素能攀升 6.易错题(2025·成都温江期末)若关于x的 方程(m十1)xm一6=0是一元一次方程，则 m的值为 A.1 B.-1C.1或-1D.0 7.(2025·重庆南岸期末)做作业时，小明不小 心将方程中的一个常数污染了，方程变为 2(x-3)一■=x十5.老师告诉他原方程的 解是x=7,根据老师给的信息，可得被污染 的常数为 () A.2 B.3C.-5D.-4 8.某农场要给一块麦田施化肥，现有化肥若干 千克.如果每公顷施化肥400千克，那么余下 化肥800千克；如果每公顷施化肥500千克， 那么缺少化肥300千克.设现有化肥x千克， 则可列方程为 A.T-800x+300 400 500 B.T+800x-300 400 500 C400+800=☒1 500 -300 D.60-80-60+300 9.若x=1是关于x的方程x2十a.x十2b=0的 解，则2a+4b的值是 10.一个长方形的周长为30cm.若将这个长方 形的长减少1cm,宽增加2cm,则可以变成 一个正方形.设这个长方形的长为xcm,则 可列方程为 11.(2024·太原一模)目前，某市很多小区都设 置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递 垃圾，就能获取可提现的“环保金”.已知某 小区智能回收机早晚高峰时段“环保金”发 放标准为0.8元/千克，其他时段为1元/千 克，新用户注册赠送3.88元“环保金”.李阿 姨注册后的一周内分不同时段共投递 6.7千克垃圾，共得“环保金”10.3元.设李 阿姨在高峰时段投递的垃圾质量为x千克， 则x满足的方程为 12.“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部 经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如 图①，从左到右列出的算筹数分别表示方程 中未知数x,y的系数与相应的常数项，即 可表示方程x十4y=23,则如图②，表示的 方程是 ① ② (第12题) 13.七年级(2)班的一个综合实践活动小组去 A,B两家超市调查去年和今年“五一”期间 的销售情况.如图所示为调查后三名同学进 第五章一元一次方程 行交流的情景，根据他们的对话，求A超市 去年“五一”期间的销售额（只需列出方程 即可) 两超市去年的销售 A超市今 额一共为150万元， 年的销售 B超市今年的 今年的销售额一共 额比去年 销售额比去年 为170万元. 增加15%. 增加10%. (第13题) 4.已知12ab与-a6是同类项，判断m十 n的值是否为方程2y一3=-3y+22的解. 思维拓展 5.已知a是不为0的整数，关于x的 方程a.xa-bx2+x-2=0是一元 一次方程，求a十b的值与方程 的解， 75 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第2课时 自基础进阶 1.易错题(2025·毫州谯城期末)下列运用等 式的性质所进行的变形，正确的是() A.若a=b,则a+3=b一3 B若8-名则5a=0 C.若ac=bc,则a=b D.若a2=2a,则a=2 2.(2025·贵阳云岩期末)设“☐”“△”“O”表示三 种不同的物体.现用天平称量，情况如图所 示，其中只有一个天平不应该平衡，则该天 平是 Py △△y☐OO ☐△ 天平① 天平② ☐△y 888,巴 AOO 天平③ 天平④ (第2题) A.天平①B.天平②C.天平③D.天平④ 3.在等式3a-7=2a+1的两边同时减去一个 多项式，可以得到等式a=8,则这个多项式 为 4.有下列等式：①由a=b,得5-2a=5-2b; ②由x=y.得=y:国由=y,得千 10由号女得3=26：⑤由a=6。 得a=b.其中，正确的是 (填序号). 5.利用等式的性质解下列方程： (1)-3.x+5=-4. 76 等式的性质 3 (2)-2y+1=-5. (3)3x+6=41-2x. (4)3x-11 10x-4=5 幻素能攀升 6.已知3a=b十1，则下列变形中，不正确的是 () A.3a-1=b B.3a+3=b+4 1 C.6a=2b+1 D.a=3b+3 7.(2024·益阳三模)下面是一个被墨迹遮盖的 方程：2x一2=3x+了，答案显示此方程 的解是x=一1，被墨迹遮盖的是一个常数， 则这个常数是 ( A.1 &(-1)C(-》n2 8.(2024·眉山期中)若关于x的方程a.x一3= x有正整数解，且a为整数，则a的值是 () A.2 B.4 C.1或3D.2或4 9.已知5a+8b=3b+10,则利用等式的性质可 求得a十b的值是 10.若方程2x一3=5与关于x的方程4x+1= 3k的解互为相反数，则k的值是 11.若关于x的方程(2a+1)x2+5.x-2-7=0 是一元一次方程，利用等式的性质求关于x 的方程ax十b=0的解. 12.阅读材料： 我们规定：若关于x的一元一次方 程ax=b的解为x=b十a,则称该 方程为“和解方程”.例如：方程2x=一4的 解为x=一2，而一2=一4十2，则方程2x= 一4为“和解方程” 请根据上述规定，解答下列问题： (1)有下列关于x的一元一次方程：①2x -5;②5.x=-2;③3.x=- 其中，为和 解方程”的有 (填序号). (2)若关于x的一元一次方程3x=6a一9 为“和解方程”，求a的值. 第五章一元一次方程 爸思维拓展 13.阅读材料： 若a-b>0,则a>b;若a一b=0 则a=b;若a一b<0,则a<b,这 是利用“作差法”比较两个数或两个代数式 值的大小 (1)试比较代数式5m2一4m+2与4m2一 4m-7的值的大小. (2)已知A=5m2-4(m-2,B 7(m2一m)+3,请你运用前面介绍的方法比 较代数式A与B的大小 (3)比较3a+2b与2a十3b的大小. 775y)=(a.x-2.x+2.x)+(y+by 5y)=a.x+(b-4)y. 根据题意，得a十b一4=0，即a十 b=4. 第五章 一元一次方程 5.1方程 第1课时从算式到方程 1.B2.A3.k≠24.③④ 5.(1)设乙队原来有x人，则甲队原 来有2x人. 1 根据题意，得2x-12=2x十15. (2)设出售成人票x张，则出售学生 票(128一x)张. 根据题意，得10.x+0.6×10(128 x)=912, (3)设选手甲答对了x道题，则答错 或不答(20一x)道题 根据题意，得5.x-2(20-x)=72. 6.A 易错警示 忽略未知数的系数不能为0 根据一元一次方程的定义求 方程中未知字母的值时，容易只考 虑未知数的次数为1，而忽略未知 数的系数不能为0这一限制条件， 7.D8.A 9.一2解析：把x=1代入方程 x2+a.x+2b=0,得1+a+2b=0,所 以a+2b=-1.所以2a十4b=2(a+ 2b)=2×(-1)=-2. 10.x-1=(15-x)+211.0.8.x+ (6.7-x)+3.88=10.312.x+ 2y=32 13.设A超市去年的销售额为x万 元，则A超市今年的销售额为(1+ 15%)x万元，B超市去年的销售额为 (150一x)万元，B超市今年的销售额 为(1+10%)(150-x)万元. 由题意，可列方程为170=(1十 15%)x+(1+10%)(150-x). 14.因为12a6与-弓a6是同 类项， 所以m=2,n=3. 所以m十n=5. 当y=5时，方程的左边=2×5-3 7,方程的右边=一3×5十22=7. 所以方程的左边=方程的右边. 所以m十的值是方程2y一3 -3y十22的解 15.由题意，得a=b,a=2或a= 1,b=0. ①a=b,la|=2. 当a=2时，b=2,方程为x一2=0. 所以a十b=4,方程的解为x=2. 当a=-2时，b=-2,方程为x 2=0. 所以a十b=一4，方程的解为x=2. ②la=1,b=0. 当a=1时，原方程可化为x十x一 2=0. 所以x=1,此时a十b=1. 当a=一1时，原方程可化为-x十 x一2=0，该等式不成立，不符合 题意 综上所述，4十b=4,方程的解为x=2 或a+b=一4，方程的解为x=2或 a十b=1,方程的解为x=1. 第2课时等式的性质 1.B 一易错警示 等式两边同时除以某数时， 易忽略该数不能为0 运用等式的性质2时，不能忽 略除数不能为0这一条件. 2.D3.2a-7 4.①③④解析：由u=b,两边同时 乘-2，得-2a=一2b,两边再同时加 5,得5-2a=5-2b,所以①正确，符 合题意.由cx=cy,当c=0时，不一 定得到x=y,所以②错误，不符合题 意.由x=y,两边同时除以c2十1，得 20 c2+12千1所以圆正确，符合题 y 意由2-冬，两边同时乘6c,得 b 3a=2b,所以④正确，符合题意.由 a2=b2,得a=b或a=-b,所以⑤错 误，不符合题意综上所述，正确的是 ①③④. 5.(1)x=3. (2)y=4. (3)x=7. 3 (4)x=2 6.C解析：因为3a=b+1,所以 3a一1=b变形正确.故选项A不符 合题意.因为3a=b+1,所以3a+ 3=b+4变形正确.故选项B不符合 题意.因为3a=b十1，所以6a=2b+ 2.所以6a≠2b+1.故选项C符合题 意.因为3a=6+1,所以a=36+号 变形正确.故选项D不符合题意 7.D解析：因为x=一1是方程的 解，所以2×(1D2=3×(-10+ 、1 ,解得了=2 8.D解析：解方程ax-3=x,得 4。子因为x是正整数：且口为整 数，所以a一1=1或a一1=3.所以 a=2或4. 9.2解析：因为5a+8b=3b+10, 所以5a+8b一3b=3b-3b+10.所以 5a+5b=10.所以a+b=2. 10.-5解析：解方程2x-3=5,得 x=4.因为方程2x一3=5与关于x 的方程4x十1=3k的解互为相反数， 所以关于x的方程4x十1=3k的解 是x=一4.所以4×(-4)+1=3k,解 得k=-5. 11.因为关于x的方程(2a十1)x2+ .x-2一7=0是一元一次方程， 所以2a十1=0，b-2=1,解得a= 2b=3. 将a=-26=3代人ar十b=0, 得-2x+3=0, 等式两边同时减3，得一2=-3. 等式两边同时乘一2，得x=6. 12.(1)③. (2)解方程3x=6a一9，得x 2a-3. 因为关于x的一元一次方程3x= 6a一9为“和解方程”， 所以x=3+6a-9=6a-6. 所以2a一3=6u-6,解得a=。. 13.(1)由题意，得(5m2-4m+2) (4m2-4m-7)=5m2-4m+2- 4m2+4m+7=m2+9. 因为不论m为何值，m2+9>0, 所以5m2-4m+2>4m2-4m-7. (2)因为A=5m-4(子m-2), B=7(m2-m)+3 所以A-B=「5m2-4(m 2)]-[7(m-m)+3]=5m2 4(子m-2)-7(m2-m)-3 5m2-7m+2-7m2+7m-3 -2m2-1. 因为不论m为何值，一2m2-1<0, 所以A-B<0,即A<B. (3)由题意，得(3a+2b)一(2a+ 3b)=3a+2b-2a-3b=a-b. 当a>b时，a-b>0,此时3a十2b> 2a+3b: 当a=b时，a一b=0,此时3a十2b= 2a+3b; 当a<b时，a-b<0,此时3a+2b< 2a+3b. 5.2解一元一次方程 第1课时合并同类项与移项 1.C2.B 3.A解析：因为方程7x一1.5.x 2.5.x十a.x=-8合并同类项的结果 为6.x=-8,所以7x-1.5.x-2.5x十 ax=6x.所以(7-1.5-2.5+a)x 6.x.所以(3十a)x=6.x.所以3十a= 6,解得a=3. 4.5 5.(1)x=-2. (2)x=7. (3)x=2. 5 (4)x=7· 6.C7.C 8.B解析：设0.235=x,则10x 2.35,1000x=235.35.所以1000x 10.x=235.35-2.35,即990x=233. 所以x-8需所以u=906=238 9.1解析：解方程3.x十1=x十9，得 x=4.因为关于x的方程3.x十1= x十9的解比2a.x一12=0的解小2， 所以方程2a.x-12=0的解为x=6. 把x=6代入方程2a.x-12=0,得 12a-12=0,解得a=1. 10.40cm,50cm解析：因为两个正 方形的边长之比为4：5，所以设这两 个正方形的边长分别为4xcm, 5.xcm.由题意，得4×4x+4X5.x 360,解得x=10.所以4.x=40,5x= 50,即这两个正方形的边长分别为 40cm,50cm. 11.(1)解方程x一2m=一3x十4，得 1 x=2m+1. 解方程-4.x=2-m-5x,得x= 2-m. 由两个方程的解互为相反数，得 m十1+2-m=0,解得m=6. 1 (2)将m=6分别代入两个方程，得 x-12=-3.x十4和-4.x=-4-5x, 所以这两个方程的解分别是x=4, x=-4. 12.(1)设小李拿的3张卡片上的数 21 分别为x-4,x,x+4. 由题意，得x-4十x十x十4=348，解 得x=116. 所以x-4=112,x+4=120. 所以小李拿了分别标有112,116,120 的3张卡片. (2)小李不能拿到相邻的3张卡片， 使得这3张卡片上的数之和为93. 理由：设小李拿到的3张卡片上的数 分别为a-4,u,a十4. 由题意，得a一4十a+a十4=93，解得 a=31 由题意可知，卡片上的数都是4的倍 数，而31不是4的倍数， 所以小李不能拿到相邻的3张卡片， 使得这3张卡片上的数之和为93. 13.(1)解方程3.x+m=0,得x= 3 解方程4x-2=x十10，得x=4. 因为关于x的方程3.x十m=0与方 程4x一2=x十10是“美好方程”， 所以4一罗-1，解得m=9 所以m的值为9. (2)由题意可知，另一个方程的解为 1-. 因为“美好方程”的两个方程的解的差 为8， 所以n一(1一n)=8或1-n一n=8. 9 7 所以n=2或n=一2 1 (3)因为2024+1=0， 所以x=一2024. 1 因为关于x的一元一次方程2024十 1 3=2x十k和2024x十1=0是“美好 方程”， 所以202+3=2x十k的解为.x= 1-(-2024)=2025 因为关于y的一元一次方程2024+ 1