2.2 有理数的乘法与除法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

专+…+22脑1 1 1 12025 20262026 (3)因为a一3+b一5|=0， 所以a-3=0,b-5=0. 所以a=3,b=5. 1 所以也（4十26+么× 1 (a+4)(b+4) 十…十 1 1 (a+100)(6+100)=3X5+5×7十 ++1X=立×（分 日+日号+7++ )-名×（得品）-专× 子×器品 5.(1)原式=(1-2)+(3-4)+(5 6)+·+(99-100)=(-1)+十 (-1)+(-1)++(-1)=(-1)× 50=-50. (2)原式=(2一4一6+8)+(10 12-14+16)+(18-20-22+ 24)+…+(2018-2020-2022+ 2024)+(2026-2028)=0+0+ 0++0+(-2)=-2. 3)原式=1-2 +上-+3 +2-3 +…+202-202=1 12025 2026-2026 2.2有理数的乘法与除法 第1课时有理数的乘法法则 1.D2.D 3.D解析：由题图，可得a>b,a b0,a+b<0,ab<0 4.-35或35 5.(1)-12. 方法归纳 有理数的乘法运算的注意事项 (1)当乘数中有负数时，必须 用括号括起来」 (2)当有乘数为小数或带分数 时，一般先将其化为分数或假分数. (3)乘法运算的最后结果一定 是最简形式， 6.C7.C 8.A解析：因为a=a,-b=b, 所以a,b为非负数.所以a与b的乘 积不可能是负数，即不可能是一5. 15 9.16 10.答案不唯一，如5×6 2×3=2411.-162 12.(1)根据题意，得a=(-4)× (-5)=20,b=3×(-5)=-15 所以ab=20×(一15)=-300. (2)由(1)，得x-20|+y-15=0, 所以x-20=0,y-15=0. 所以x=20,y=15. 所以(-x-y)·y=(-20-15)× 15=-35×15=-525. 13.(1)(-2)①3=(-2)×3+1=-5. (2)[(-1)⊕2]⊕(-3)=(-1×2+ 1)⊕(-3)=(-1)⊕(-3)=(-1)× (-3)+1=4. 14.因为m,n,p,g是4个不相等的 偶数， 所以3一m,3一n,3一p,3一g均为不 相等的整数 因为9=3×1×（一1）×（一3）， 所以可令3-m=3,3-n=1,3 p=-1,3-g=-3. 所以m=0,n=2,p=4,g=6. 所以m+n+p+g=0+2+4+ 6=12. 第2课时有理数的乘法运算律 1.D2.B3.C4.-37 5.-26 6.(1)3. (2)-5. 3)-318 7 0器 7.B解析：因为a<b<c,abc<0, 所以a<b<c<0或a<0<b<c.因 为ac<bc,所以a<0<b<c.所以原 点在点A,B之间. 8.B解析：因为x-1|+|y+ 2+之-3|=0，所以x-1=0,y+ 2=0,x-3=0.所以x=1,y=-2, 之=3.所以(x+1)(y-2)(之+3)= (1+1)×(-2-2)×(3+3)=-48. 9.1解析：因为a 2025×(2025-1)_2025×2024 2024×(2024+1)2024×2025 2026×(2026-1) 1,b= 2025×(2025+1) 2026×2025 2025×2026 =-1,c= 2027×(2027-1) 2026×(2026+1) 2027×2026 2026×2027 -1,所以abc=1× (-1)×(-1)=1. (-10)® 10.(-8) (-10)×…×(-2)×(-1) (-8)×(-7)×…×(-2)×(-1) 10×9×8×7×…×1 8×7×…×1 =10×9 =90. 11.(1)明明的解法更简便 (2)原式=(60宏)×(-5)= 250+ 5 =-249 4 (3)原式=(0-)×(-8) -320+2 =-3192 12.1)原式=(2)×(-号)× (←)×…×(-閎)= (2)由题意，得2026×(1-2)× (1-)×(1-1)×…×(1 1 2026 2025 1 2026 ）=2026×2026-1. 第3课时 有理数的除法法则 1A2C3B4吕86 1 61)7 (3)5. (4)1. 7.C 8.B解析：因为子<0，所以xy异 号.所以xy<0.所以y Ty y=-1.当x>0,y<0时， xy 可六=1以-L所 以原式=-1+(-1)+1=-1.当 0>0时=1， 二=一1.所以原式=-1十1一 1=-1. 9.-1或是 解析：因为a十1= 2,b一2|=3，所以a+1=士2，b- 2=±3，解得a=1或-3，b=5或 一1.因为ab<0,所以a=1,b=一1， 此时 =-1或a=-3,b=5,此时 合=-是综上所述，号的值是-1 10.1解析：因为abc<0,所以a,b, c三个数中有1个负数或3个负数. 因为a+b十c=0,所以a,b,c三个数 中只有1个负数，且b十c=-a,a+ c=一b,a十b=-c.所以易知 b+catclatbl-al c -b1+=d=1. 11.(1)原式=-15× ×号×× 1 9 5 (2)原式= 号×（号×品）× 7 2 ()品 2因为吕<0，吕<0， 15 (0)-80<1. 所以片品 13.当有理数a,b,c都是正数时，则 a>0,b>0,c>0,ab>0,ac>0,bc> 0,abc>0. 所以lal+lb+lcl+lb+lal+十 b ab ac bc labc abcab bc abc ab c+c+=1+1+1+1+1+1+ 1=7. 当有理数a,b,c中，有两个正数、一个 负数时，可设a>0,b>0,c<0,则 ab>0;ac<0,bc<0;abc<0. 所以la+lh+ld+lah+lacl+ a b c ab ac +-+会-←+ bc abc ab a_c_ac=1+1-1+1-1-1 ac bc abo 1=-1. 当有理数a,b,c中，有一个正数、两个 负数时，可设a>0,b<0,c<0,则 ab<0,ac<0,bc>0,abc>0. 所以la+b+lcd+lab+lac b ab ac lcl+lacl-&-2-二-b bc abc a b c ab ac+c+=1-1-1-1-1+1+ ac'bc abc 1=-1. 当有理数a,b,c都是负数时，则a< 0,b<0,c<0,ab>0,ac>0,bc>0, abc<0. 所以g+合+只+的+品十 8 bc abc abacbc_abc=-1-1-1+1+ ab ac bc abc 1+1-1=-1. 综上所述，原式=7或-1. 第4课时有理数的加减 乘除混合运算 1.C 2.C 易错警示 对有理数运算的顺序 理解不到位 进行有理数的混合运算时，要 注意运算顺序，特别是乘除混合运 算中先除后乘时，容易盲目“约分” 35 3.2 4.-7 5.(1)-93. 8贵 ④-9子 6.D解析：因为a,b互为相反数，且 都不为零，所以a十b=0,4 =-1.所 以a-1+6)(1-公)=(-1Dx[1- (-1)]=(-1)×2=-2 7.C解析：由题意，得(3※2)※ 日=3*日-()日 13×2 6、1 1 -5×6 1 1-(号)×1+ 6 8.2028或20249.答案不唯一，如 4×8+(-2)+(-6)=24 10.-5是 解析：由题意，得原 式=-7-5×(-1)÷4=-7+5÷ 、3 4=7+=一5： 11.(1)正确. 理由：一个数的倒数的倒数等于原数 2)原式的倒数为（兮-6+） ()=(号6+)×(-2w -8+4-9=-13, 所以()（日石+）= 12.②③解析：对于①，当a=b=0 时，名无意义.故①错误，不符合题 意.对于②，因为么>0，所以a,b同 号.因为a十b<0,所以a<0,b<0. 所以a+3b<0.所以a十3b=-a 3b.故②正确，符合题意.对于③， 若a|>|b|,则有四种情况.1°如图 ①，此时a>b>0,所以a十b>0,a b>0.所以(a十b)(a一b)>0.2°如图 ②，此时-a<b<0<a,所以a+b> 0,a-b>0.所以(a+b)(a-b)>0. 3如图③，此时a<b<0,所以a十b< 0,a-b<0.所以(a+b)(a-b)>0. 4如图④，此时a<0<b<一a,所以 a+b<0,a-b<0.所以(a+b)(a b)>0.综上所述，若|a|>b|,则 (a+b)(a-b)>0.故③正确，符合题 意.因此，正确的有②③. 0 b a ① -a b 0 ② ab 0 ③ a 0 b-a ④ (第12题) 13.(1)题图①：三个角上的三个数的 积为1×(-1)×2=一2，三个数的和 为1+（一1）+2=2，积与和的商为 -2÷2=-1. 题图②：三个角上的三个数的积为 (一3)×（一4）×（一5）=一60，三个数 的和为（一3）+（一4）+（一5）=一12， 积与和的商为(-60)÷(-12)=5. 题图③：三个角上的三个数的积为 (-2)×(-5)×17=170,三个数的和 为(-2)+(-5)+17=10，积与和的 商为170÷10=17. (2)x=[5×(-8)×(-9]÷[5+ (-8)+(-9)]=-30. 专题特训三乘法运算律的 应用 1.(1)10. (2)-1. a号 (4)-100. 2.(1)-2. (2)69号. 3)126 (4)-134. 64贵 (6)原式=(75+)×(6+) (s+)×15+(s+)×器 X16+器×16+75×碧+器× 2是-120++48+号-11 31)原式-号×器×（号 )×()=-号×器 (得)×克=-3×（得×号 号×)=-3×(-号）=-3× (-3)=4 (2)原式=(-100+3)×(-69)+ 子×(-80)×(-8)=6900-3+ ××8=6900-3+ 81 2 6937.5. (3)因为原式的倒数为（号+马 器-)÷（对）=（号+号 9 )×(-80=号×(-84)+ 28 马×(-84)-员×(-84)-子× 5 (-84)=-56-36+15+21=-56, 所以原式=一 1 4.(1)25. (2)-2.4. 3)原式=-14×（号+号）-35× (号+号）=-14-0.35=-14.35. 0原式=2号×品-×14 1 7 告×品-名×(e34) ×(-13)=-7. 7 6)原式=a7×(19号+号) 14X(2+3.25)=0.7×20-14× 6=14-84=-70. (6)原式=13×(3.85+6.15)+ 079×(品+0)=13X10+0.79× 1=130.79 2.3有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 1.B 易错警示 对乘方的意义理解不透彻 (1)乘方运算中，底数是负数 或分数时，底数要加括号 (2)将底数与指数相乘是最容 易犯的错误。 2.B3.(1)-32 (2)- 27 (3)164.1 5.(1)-157. 6.B解析：a+(b+1)2总是非负 数，故①错误.a2+b2十1总是正数，拔尖特训·数学（人教版）七年级上 2.2有理数的乘法与除法 第1课时有理数的乘法法则 基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·湘西凤凰期末)龙行龘龘，欣欣家国， 6.如图，A,B两点在数轴上表示的数分别为a, 2024年是甲辰龙年，2024的倒数是( ) b,下列式子成立的是 ( ) 1 A B A.2024 B.- 2024 -1a01b (第6题) 1 C.-2024 D.2024 A.ab0 B.a+b<0 C.(b-a)(a+1)>0D.(b-1)(a-1)>0 2.有下列说法：①一个数同1相乘，仍得这个 7.如图①~⑤所示为五张写着不同数的卡片， 数；②一个数同一1相乘，得这个数的相反 请从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上的 数；③一个数同0相乘，得0：④互为倒数的 数之差与第三张卡片上数的乘积最小，则抽 两个数的积为1.其中，正确的有 ( 取的三张卡片应是 A.1个B.2个C.3个D.4个 -2 -5 0 +2 +4 3.(2025·重庆南岸期末)如图，有理数a,b在 ① ② ③ ④ ⑤ 数轴上的对应点分别为A,B,则下列式子正 (第7题) 确的是 A.①②③ B.②③④ 201 C.①②⑤ D.②④⑤ (第3题) 8.如果a=a,|一b=b,那么a与b的乘积不 A.lal<b B.a-b>0 可能是 () C.a+b>0 D.ab<0 1 4.如果|a=5,|b|=7,且a+b<0,那么ab= A.-5 B. D.2 6 C.0 5.★计算： 9一个数的相反数是至，另一个数比这个数小 (1)(-1.5)×8. 2,则这两个数的积为 10.新情境·游戏活动小明和同学们玩扑克牌游 戏，游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉“大 王”“小王”)中任意抽取四张，根据牌面上的 数进行混合运算（每张牌上的数只能用一 2)2号×(-2月 次)，使得运算结果等于24.小明抽到的牌 如图所示，请帮小明列出一个结果等于24 的算式： (第10题) 28 第二章有理数的运算 11.按如图所示的程序计算，如果输 思维拓展 入的数是一2，那么输出的数是 14.已知4个不相等的偶数m,n,p,q 满足(3-m)(3-n)(3-p)(3一 否 q)=9,求m十n十p十g的值. /输入×(-3) 绝对值 大于100 丫输出 (第11题) 12.在1，一2,3，一4，一5中任取两个数相乘，最 大的积是a,最小的积是b. (1)求ab的值. (2)若|x-a+|y+b|=0,求(-x-y)· y的值. 13.定义新运算“⊕”：a⊕b=ab十1，求： (1)(-2)⊕3的值 (2)[(-1)⊕2]⊕(-3)的值 29 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第2课时有理数的乘法运算律 ☑基础进阶 ②8至日-3)×(1 1.下列计算结果是负数的为 A.(-2)×5×(-6) B.2×(-5)×(-6) C.(-2)×5×0 D.(-2)×(-5)×(-6) 2计算15号×()，最简便的方法是（） (8)(-9)×318--8)×(-31 A.15+)×(-6) (-16×31是 B(16-)×(6 c×6) D.(1o+5)×(6) 3.已知abc>0,a>c,ac<0,则下列结论中，正 确的是 () w124(层+日×21×》 A.a<0,b<0,c>0 B.a>0,b>0,c<0 C.a>0,b<0,c<0 D.a<0,b>0,c>0 4.计算(-2.5)×0.37×1.25×(-4)×(-8) 的结果是 幻素能攀升 5计算：1×191号×15 7.(2024·商丘期末)如图，数轴上点A,B,C 6.计算： 表示的数分别是a,b,c.若abc<0,ac<bc, 1)()×(-1)×(-2)×(-3)月 则原点在 () A B a b (第7题) A.点A的左边 B.点A,B之间 C.点B,C之间 D.点C的右边 8.如果x-1|+1y+2|+之-3=0，那么 (x+1)(y-2)(之+3)的值是 () A.48B.-48C.0 D.xyz 30 第二章有理数的运算 9,已知a=2025X2025-2025 (2)睿睿认为还有一种更好的解法，请你仔 2024×2024+2024,b= 细思考，把它写出来 2026×2026-2026 2025X2025+2025,c= (3)用你认为最合适的方法计算：391骨× 2027×2027-2027 2026×2026+2026,则abc= (-8). 10.新考法·新定义题(2025·石家庄平山期末 改编)课本第42页小结了几个数相乘，积的 符号确定方法，现尝试利用这一方法，结合分 数的约分解决下面的问题：规定“”是一种 特殊的运算符号，且（一1）◆=一1，（一2）◆= (-2)×(-1),(-3)=(-3)×(-2)× （1求。的瓶 思维拓展 12知时×号=×号×星- ×号× n十1一n十试根据以上规律，解 这X…X”1 答问题： 1)计算：（号-1×3-1×(-1×…× (0 (2②)将2026减去它的分，再减去余下的行， 11.学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这 样-道题：计统49×（一5），看谁算得又 接者减去余下的，再减去余下的…以 快又对，有两名同学的解法如下： 此类据，直到跋去余下的2026最后的结果 聪聪：原式= 1249 ×5=- 1249 是多少？ 25 5 一249 4 明明：原式=(+ ×(-5)=49×(-5)+ 第×(-5)=-249 (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法更 简便？ 31 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第3课时有理数的除法法则 ☑基础进阶 (2)1÷(-2.25)÷8 45 1.给出下列各式：①（一24)÷（一8）=一 3; ②(-8)×(-2.5)=-20：®(-)÷ (-)=1:④(-3)÷(-1.25)=-3.其 中，计算正确的有 () A.1个B.2个 C.3个D.4个 8)(-0.75)÷5=() 2.下列说法中，错误的是 A若ab>0,则号>0 B若行<0，则ab<0 C若ab=0,则%-0 0(812星是(-16 D.若号=0，则ab=0 3.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 示，则的值是 a 6 -10 1 幻素能攀升 (第3题) A.负数 B.正数 7.(2025·上海杨浦期末)如果两个数的商为正 C.0 D.正数或0 数，那么下列结论正确的是 () A.这两个数的和为正数 4.计算：(》=(24) B.这两个数的差为正数 5.计算：(-1)÷-0.1 0.6 C.这两个数的积为正数 D.这两个数都为正数 6.计算： 0)-357÷(-50. 8.对于有理数x,y,若<0，则y十 y十x的值是 () A.-3B.-1 C.1 D.3 9.若a+1=2,b-2=3,且ab<0,则%的 值是 32 第二章有理数的运算 10.若a<0,a+b+c=0,则b+c+la十c+l 爸思维拓展 金 a b 13.已知a,b,c均是不等于0的有理 latbl_ 数，计算：a+6+十 a b 11.计算： labllaclbelabel 1)(-15)÷(-1)÷4÷(-43)÷9. ab ac'bc abc (2)3×3÷7》=2:(-1) 12.若a>0,b>0且分>1，则a>b:若a<0, b<0且0<分<1，则a>6:这种比较大小 的方法称为作商比较法.试利用作商比较 法，比较与的大小 33 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第4课时有理数的加减乘除混合运算 自基础进阶 (3)-3--5+(1-0.2×g)÷(-2), 1.计算12十（一18）÷(-6)-(-3)×2的结 果是 ( A.7 B.8 C.21 D.36 2.易错题计算-2-1÷3×3的结果是（ A.-3B.-1 c-26n-18 ④8÷(-5》÷2a×(-1)】 3.已知x+5引+|y-2|=0,则式子(x-y)÷ 1.75÷ 1 义的值为 4.(2024·杨州期末)“五月天山雪，无花只有 寒.”这句话反映了地形对气温的影响.研究 表明，海拔每升高100米，气温约下降0.6℃. 有一座海拔为2750米的山，在这座山上海 拔为250米的地方测得气温是8℃，则此时 幻素能攀升 山顶的气温约为 ℃. 6.若a,b互为相反数，且都不为零，则(a一1+ 5.计算： 6)1-分)的值为 () 1)27×-1)÷15-(-13号）÷(-015. A.0 B.-1C.1 D.-2 ab 7.定义一种新运算：a※b=1b,如5※3= 5×3 15 1-5×3 计算(3※2)※。的结果为 ( (②(-3÷4-1号÷4+8x A.4 C 6 n 8.已知m,n互为相反数，p,q互为倒数，x的 绝对值为2，则202+2026十r的值是 9.请你将四个数一2,4，一6,8组成算式（四个 数都用到且每个数只能用一次)并进行混合 运算，使运算结果为24，你列出的算式为 34 第二章有理数的运算 10.已知a为有理数，[a]表示不大于 思维拓展 a的最大整数，如 =0 12.(2025·武汉武昌期末)给出下列说法： 1引-1.-=-1.-32=-4则 ①若a+b=0,则6=-1：②若a十b<0, 计算-6-[5]×[一引=[4.9]的结果 且20，则a+36=-a-36:⑤若1a1> b,则(a+b)(a一b)>0.其中，正确的有 是 (填序号). 1.数学老师布置了一道计算题：() 13.观察图①~④所示的图形，解答 传 问题： (1)计算图①②③中三个角上的三 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法 个数的积，三个数的和，再计算三个数的积 来解决这个问题， 与和的商. 小明的解答： (2)请用你发现的规律求出图④中的数x 原式的倒数为得》：()=得 的值. )×(-12)=-4+10=6, 5 所以(-)（传）=8 ① ② 2 (1)小明的解答是否正确？请说明理由. 17 (2)请你运用小明的方法计算：（一动）÷ 17 -8 ④ (第13题) 哈+ 35